МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2013
УДК 539.3:534.1
© 2013 г. М. Ш. ИСРАИЛОВ
ДИФРАКЦИЯ АКУСТИЧЕСКИХ И УПРУГИХ ВОЛН НА ПОЛУПЛОСКОСТИ ПРИ РАЗНОТИПНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ
Рассматривается классическая задача о дифракции волн на полуплоскости при разнотипных граничных условиях и ее обобщения на упругие среды. Предложен способ решения, состоящий в комбинированном применении метода разделения переменных Фурье и техники суммирования рядов путем использования интегральных представлений бесселевых функций. Полученные таким образом аналитические решения одинаково эффективны в ближней и дальней зонах дифракции. Впервые обнаружено присутствие двучленной особенности в угловой точке (в напряжениях для упругих сред и в скорости для акустической среды). Знание особенности в скалярной задаче позволило построить решение векторной задачи дифракции продольных упругих волн. Исследовано влияние типов граничных условий на обеих сторонах полуплоскости на поведение решения в дальней зоне. Указаны возможные физические интерпретации полученных результатов.
Ключевые слова: дифракция, волны акустические, волны упругие, разнотипные граничные условия.
1. Введение. Задача дифракции акустических волн на полуплоскости с разными граничными условиями на ее лицевых сторонах была впервые рассмотрена А. Роулинзом [1]. Однако, несмотря на большое значение задачи для практических приложений, за период со времени публикации работы [1] этой проблеме посвящено лишь единичное число исследований. Причина, несомненно, состоит в значительных математических трудностях, возникающих при решении такого класса задач.
Традиционным методом решения задач дифракции на плоских препятствиях (полуплоскости, пластине, щели) является метод Винера—Хопфа, который и был использован Роулинзом. Но здесь, в отличие от случая с однотипными граничными условиями, метод приводит к связанной системе двух функциональных уравнений Винера— Хопфа и, таким образом, к необходимости выполнения так называемой матричной факторизации. Иными словами, нужно аналитическую в полосе комплексной плоскости матрицу 2 х 2 (матрицу, каждый элемент которой есть аналитическая в этой полосе функция) представить в виде произведения двух матриц, одна из которых анали-тична в верхней полуплоскости комплексной плоскости, а другая — в нижней; полоса является областью пересечения этих полуплоскостей.
В [1] эта сложность преодолена путем угадывания решения системы функциональных уравнений. В дальнейшем были разработаны методы прямой матричной факторизации [2, 3], однако это довольно сложные процедуры, связанные со сведением проблемы к неоднородным задачам Гильберта.
Формальное решение найдено Роулинзом в виде контурного интеграла, из которого обозримые результаты удалось получить лишь в дальней зоне, на расстояниях от кромки полуплоскости, значительно превышающих длину волны.
Цель настоящей работы показать, что существует более простой способ решения этой задачи и ее обобщений на упругие среды, позволяющий избежать указанных трудностей. Он приводит к более эффективному (с точки зрения возможности получения количественных результатов) аналитическому решению. Представленное решение позволяет также весьма просто исследовать поведение физических полей как на больших расстояниях, так и вблизи угловой точки. В частности, первый член асимптотики в дальней зоне (коэффициент дифракции) совпадает с результатом Роулинза, который здесь несколько упрощен.
2. Постановка задачи и метод решения. Изотропная упругая среда занимает пространство, в которое вставлена жесткая полубесконечная пластина пренебрежимо малой толщины. На пластину (полуплоскость y = 0, x > 0 в декартовой системе координат) набегает плоская гармоническая ^ff-волна uz = U'(x, y)exp(—'rot) частоты ю, фронт которой параллелен ребру пластины. Тогда в среде реализуется стационарное состояние антиплоской деформации с единственной, отличной от нуля, компонентой вектора перемещений uz = Uexp(—'rat), зависящей от координат (x, y) или (р, 9), если на плоскости z = 0 введены полярные координаты.
В этом случае функция перемещения U(p, 9) удовлетворяет при отсутствии массовых сил однородному уравнению Гельмгольца
A U + k2U = 0 (2.1)
в котором к = ю/c — волновое число, c — скорость распространения сдвиговых волн в среде, а А означает оператор Лапласа.
Падающая плоская волна задана в виде
U = exp {-ikpcos(0 - 0О)} (2.2)
и образует угол 90 с полуплоскостью.
Граничные условия на верхней и нижней сторонах пластины берутся различными в форме однородных условий Неймана и Дирихле:
U, 0 = 0 при 0 = 0; U = 0 при 0 = 2п (2.3)
Здесь и далее индексом после запятой обозначается частная производная по указанной переменной.
В рассматриваемом случае антиплоской деформации физические условия (2.3) означают равенство нулю напряжения ствг на верхней стороне (таким образом, она свободна от напряжений, поскольку это единственное напряжение, могущее возникнуть на границе) и прилипание на нижней стороне пластины. Первое условие может реализоваться, когда сторона 9 = 0 является гладкой, либо когда на ней произошло отлипание среды с образованием зазора. Для акустической среды, когда функция U имеет смысл потенциала скорости или давления, условия (2.3) означают, что 9 = 0 — "акустически" твердая или идеально отражающая звук поверхность, а 9 = 2п — "акустически" мягкая, поглощающая поверхность, на которой давление равно нулю.
Поскольку рассеивающее падающую волну тело (полуплоскость) имеет угловую точку, то для обеспечения единственности решения необходимо наложить некоторые ограничения на поведение решения в окрестности этой точки, называемые условиями на ребре. Вывод условий на ребре для акустической среды дан в монографии [4], а для упругой среды, например, в [5]. Применительно к исследуемому случаю эти условия означают, что перемещение U ограничено в окрестности ребра и имеет асимптотическое поведение
U = C(0) + O(pa), а > 0 при р^ 0 (2.4)
равномерно по 9; С(9) — ограниченная функция.
Фиг. 1
Если предположить дифференцируемость асимптотики (2.4), то легко видно, что условие (2.4) эквивалентно (двум) требованиям (5.2.3) в [4], полученным для акустической среды.
Наконец, решение стационарной динамической задачи должно удовлетворять условию излучения на бесконечности. Чтобы правильно сформулировать это условие в случае наличия границ, простирающихся до бесконечности, нужно выделить из решения падающую волну и все отраженные волны [6], которые не обязаны удовлетворять условию излучения.
Представим и в виде
и = и + и + и4 = Ц + Ц (2.5)
где и и иг — падающая (формула (2.2)) и отраженная волны, а ий — дополнительное возмущение, вызванное дифракцией. Тогда последнее должно удовлетворять следующему условию излучения Зоммерфельда на бесконечности
ИтТрОЭи/др - 1кЦ) = 0 (2.6)
р ^ да
равномерно по 9. Знак минус в (2.6) выбран в соответствии со знаком во временной экспоненте для падающей волны.
Физически условие излучения в двумерном случае означает, что возмущение, возникающее дополнительно к падающей и отраженным волнам, ведет себя на бесконечности, как уходящая от точечного источника цилиндрическая волна.
Из приведенной формулировки задачи следует, что необходимо, прежде всего, найти отраженную волну иг. Для этого рассмотрим два случая: 0 < 90 < п и п < 90 < 2п. В первом падающая волна идет "сверху" и иг есть волна, отраженная от свободной от напряжений стороны полубесконечной пластины. Во втором падающая волна идет "снизу" и иг есть волна, отраженная от нижней стороны полуплоскости с граничным условием Дирихле. На фиг. 1 изображена ситуация для 0 < 90 < п/2; при п/2 < 90 < п расположение зон I (где присутствуют и падающая, и отраженная волны), II (освещенной зоны, где присутствует падающая волна, но нет отраженной) и III (теневой зоны, где нет ни падающей, ни отраженной волн) будет таким же, только изменится их геометрия.
Отметим, что при однотипных граничных условиях на сторонах пластины имеет место симметрия относительно оси у = 0 и достаточно рассмотреть только один из указанных выше случаев, скажем, когда волна падает "сверху". В данной задаче с разнотипными граничными условиями оба случая должны быть рассмотрены раздельно.
Поскольку отраженные волны от каждой из сторон полуплоскости элементарно определяются, то имеем для суммы падающей и отраженной волн следующие результаты. При 0 < 90 < п:
и0 = и' + иг =
и при п < 90 < 2п:
и0 = и' + иг =
0, 0 <0<|
ехр [-'кр ео8(0 - 00)] + ехр [-'кр ео8(0 + 00)], 0 < 0 < я - 0О ехр [-'кр ео8 (0 - 0 0)], п - 00 <0<п + 00 (2.7)
0, п + 00 <0< 2 п
I-п
ехр [-'кр ео8(0 - 00)], 00 - п < 0 < 4п - (00 + п)
ехр[-'крео8(0 - 00)] - ехр[-'крео8(0 + 00)], 4п - (00 + п) < 0 < 2п
(2.8)
В дальнейшем будем рассматривать только первый случай; полное решение для второго случая может быть получено аналогичным образом с использованием выражения (2.8) для и0.
Наиболее простой путь построения решения исходной задачи состоит в использовании метода Фурье. Тогда ряд
да
и(р, 0) = и0 + Vй = 1 У и(р, п)ео8
п
1( п )0 2
2п
(2.9)
и(р, п)= |и(р, 0)ео8Кп)0¿0
удовлетворяет граничным условиям (2.3) почленно, если 1(п) = 1/2 + п (п = 0, 1, 2, ...).
Удовлетворяя теперь уравнению (2.1), получаем для коэффициентов ряда уравнение Бесселя
р2 и рр + рй, р + (р2к2 - /2(п)/4) и = 0
общее решение которого в данном случае может быть представлено в виде и (р, п) = = ап1цп)/2(кр) + Ьп/_;(п)/2(кр), поскольку функции /у(г) и /_у(г) с нецелыми индексами линейно независимы.
Далее, ряд (2.9) может удовлетворить условию на ребре (2.4) только если все Ьп = 0, так как /_у(г) ~ (1/2г)-УГ(1 — V) при z ^ 0 (Г — означает гамма функцию). Следовательно, ряд (2.9) с функциями
и(р, п) = ап11(п)/2(кр)
(2.10)
удовлетворяет всем условиям задачи, кроме условия излучения (2.6). Найдем теперь коэффициенты ап в (2.10) так, чтобы и эти условия удовлетворялись. Пусть, как и для и, черта над буквой означает конечное косинус-преобразование Фурье функции, определенное в формуле (2.9). Тогда, согласно (2.5):
и(р, п) = ап11{п)П(кр) - и0(р, п)
(2.11)
0
п
0
Найдем асимптотические
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.