РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 12, с. 1413-1420
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 534.26;537.874.6
ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ НА БОЛЬШОМ ВЫСТУПЕ ИМПЕДАНСНОЙ ПЛОСКОСТИ
© 2004 г. А. Г. Кюркчан, С. А. Маненков
Поступила в редакцию 18.05.2004 г.
Предложен гибридный подход для решения задачи дифракции на большом по сравнению с длиной волны выступе импедансной плоскости. Метод основан на переносе граничных условий с поверхности выступа на вспомогательную поверхность. Указанный метод комбинирован с методом физической оптики.
ВВЕДЕНИЕ
Рассматриваемая задача дифракции представляет большой практический и научный интерес в различных областях, в частности при анализе искажений волн крупными препятствиями на земной поверхности. Импедансное приближение, т.е. замена точных граничных условий приближенными (импедансными условиями Леонтовича [1]), широко применяется в задачах о распространении волн вдоль земной поверхности (см., например, [2]). В данной работе исследуется двумерная задача дифракции плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль импедансной плоской поверхности, имеющей выступ трапециевидной формы. Представляет интерес случай, когда размеры выступа велики по сравнению с длиной волны. Задача о дифракции волн на дефекте (выступе или впадине) плоской границы раздела сред рассматривалась ранее (см., например, [3, 4]), однако в указанных работах исследовались случаи, когда размеры дефекта были порядка длины волны падающего поля. Как уже отмечено, размеры выступа могут быть много больше длины волны, что делает задачу значительно более сложной.
Для решения задачи используется так называемый метод продолженных граничных условий (МПГУ) [5]. Данный метод ранее успешно применен для решения задач дифракции на незамкнутых экранах. Основная идея метода состоит в том, что граничное условие краевой задачи "переносится" на вспомогательную поверхность, расположенную на небольшом расстоянии от исходной в области, где ищем решение. Такой подход позволяет свести задачу к решению интегрального уравнения с гладким ядром. Это обстоятельство позволяет существенно упростить численную реализацию метода. Тем не менее, прямое использование МПГУ для решения поставленной задачи затруднительно в силу больших размеров области, на которой распределена искомая функция (ток). С целью умень-
шения размеров этой области были приняты дополнительные меры.
Во-первых, при сведении задачи к интегральному уравнению использована функция Грина полупространства над импедансной плоскостью. Благодаря такому подходу задача сводится к нахождению неизвестного тока только на поверхности выступа, что существенно уменьшает число уравнений соответствующей алгебраической системы.
Во-вторых, использована априорная информация о решении, позволяющая применить метод физической оптики [6]. Суть этого метода состоит в приближенном вычислении тока на той части контура выступа, где можно пренебречь краевыми эффектами. При этом поле на данной части поверхности выступа (дефекта) принимается таким же, как на плоскости с тем же значением импеданса. В результате уменьшается область, на которой ищем неизвестный ток, и, следовательно, число уравнений алгебраической системы.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим двумерную задачу дифракции плоской электромагнитной волны на бесконечном выступе импедансной плоскости. Выберем систему координат так, как показано на рис. 1 (ось г направлена вдоль образующей импедансно-го выступа). Будем предполагать, что форма выступа - произвольная трапеция, в том числе прямоугольник. Отметим, что развиваемый подход применим к задаче рассеяния на дефекте произвольной геометрии: в виде как выступа, так и впадины, либо в виде комбинации выступа и впадины (см. также численные результаты).
В силу того, что задача двумерная, можно рассмотреть отдельно случаи Е- и Н-поляризации. При этом будем обозначать и = Ег в случае Е-по-ляризации, и = Нг в случае Н-поляризации. Тогда в обоих случаях задача может быть сформулирована следующим образом. Требуется найти вто-
Рис. 1. Геометрия задачи.
ричное волновое поле и1(х, у), удовлетворяющее уравнению Гельмгольца:
ли1 + к2 и1 = 0
(1)
/л д2 Э2 , в верхнем полупространстве (Л = —2 + —2., к =
Э х Э у
= ^ УЁ0ц0 - волновое число, где £0 и - параметры среды, ю - частота падающего поля) и граничному условию:
эии
Э п
= 1Ц иЬ + V
(2)
5 + 50
и = и0 + и1,
(3)
п =
гкг0
, Е - поляризация,
кг
(4)
Н - поляризация.
П =
По на 50
_П1 на 5.
(5)
2. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ПРОДОЛЖЕННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
В рассматриваемом случае задачи о рассеянии выступом первичной плоской волны величина и0 в (3) имеет следующий вид:
и (х, у) = ехр(-гкх8т0)х х (ехр(гкусо86) + Я0ехр(-гкусо86)),
(6)
где 6 - угол падения плоской волны, Я0 - коэффициент отражения от импедансной плоскости:
г к со ^ 6 - п 0 0 гк со8 6 + п0'
(7)
В дальнейшем аналогичным образом может быть рассмотрено рассеяние выступом пучка плоских волн либо полем произвольных локальных источников. Сущность излагаемого ниже подхода при этом остается неизменной.
Для дифракционного поля и1 можно получить интегральное представление. С этой целью рассмотрим функцию Грина в полупространства у > 0, ограниченного плоской импедансной поверхностью. Таким образом, рассматривается вспомогательная краевая задача
Л в + к2 в = 8( Г - Р), Эв
у
= гп0в
(8)
0" |у = 0-
у = 0
где 5 - граница выступа (дефекта), а 50 - часть импедансной плоскости вне дефекта (см. рис. 1). В формуле (2)
где поле и0 равно сумме падающего (плоской волны) и отраженного от плоской импедансной границы (без выступа). Через п обозначена величина
Здесь 8( г - Р) - дельта-функция. Используя разложение в в интеграл плоских волн, нетрудно показать, что эта функция может быть представлена в виде
в(х, у, х', у') = -00Н02>(и(х - х')2 + (у - у')2)-
4п | Я (к) ехр (- г (у + у' )л/к2 - к2 - г к( х - х')) х (9)
х0
й к
Здесь — - импеданс поверхности, а Ъ0 = л/ц0/е0 -волновой импеданс среды верхнего полупространства. Будем предполагать, что коэффициент п принимает различные значения на поверхностях 5 и 50, т.е.
Тк^"
к
где
Я (к) =
к2 - к2 -
п0
к2-
к + п0
В формуле (9) предполагаем, что мнимая часть квадратного корня отрицательная. Далее приме-
ним теорему Грина для поля и1 в верхнем полупространстве. Тогда можем записать
и1 (х, у) =
ТТЭ О „э ил,, и дм- о Ш) ^ •
(10)
чинить краевому условию на контуре X. Тогда получим
д2о
дп д п
. дО дО)
--1Ч до + до 1" пО
Здесь д/дп' означает дифференцирование по внешней к выступу нормали. Как видно из формулы (10), интегрирование проводится лишь по контуру выступа. Интеграл по 50 обращается в нуль благодаря специальному выбору функции Грина. С учетом краевого условия (2) формула (10) принимает вид
и 1(х,у) = 1 по); (г) (П)
где ](Г) = Ц|5 - ток на контуре выступа. Таким образом, получено интегральное представление для дифракционного поля в верхнем полупространстве, аналитически удовлетворяющее краевому условию на плоской части импедансной поверхности.
Представление (11) позволяет получить интегральное уравнение относительно неизвестного тока ]. Существуют различные методы сведения исходной краевой задачи к интегральному уравнению. Как указано во Введении, одним из эффективных алгоритмов является МПГУ [5]. Применим этот подход для решения рассматриваемой задачи. Для этого будем считать, что краевое условие (2) на контуре выступа поставлено не на самом контуре 5, а на некотором другом контуре X, смещенном относительно исходного на малое расстояние 5 и расположенном в области, где определяется поле (рис. 1). Поскольку решение уравнения Гельмгольца (1) есть вещественно-аналитическая функция [7] в области над плоскостью и выступом, а также вследствие того, что задача решается численно, т.е. с конечной точностью, такая замена краевой задачи вполне уместна и не влияет существенно на окончательный результат [5]. При этом указанное изменение формулировки задачи позволяет избавиться от ряда серьезных вычислительных трудностей; в частности, ядро получаемого интегрального уравнения не имеет особенности при совпадении аргументов. Опуская точку наблюдения на X в формуле (11) и используя (3), получим
] (Г) = и 0( Г) + КЛ" (по) ] (Г) ж-, (12)
где точка г (х, у) принадлежит указанному контуру X. В результате получено уравнение Фредголь-ма 2-го рода с гладким ядром. Отметим, что представление (11) позволяет свести краевую задачу и к уравнению 1-го рода. Для этого необходимо подставить (11) в (3), а затем полное поле и под-
тто
= Щ1 и -
] (г) м =
(13)
ди_
дп
Подчеркнем, что подынтегральное выражение
в (13) не имеет особенности, так как точка Г (х, у) расположена на вспомогательном контуре X. Уравнение (12) более удобно при численной реализации, чем (13), поэтому при дальнейшем рассмотрении будем использовать уравнение (12).
Сведем теперь интегральное уравнение (12) к системе алгебраических уравнений. Пусть контур 5 имеет параметрическое представление вида х = = х(г), у = у(г), где г - параметр, например длина дуги контура. Тогда неизвестный ток ] можно представить в виде следующего разложения:
](5) = I вп/п(5)
(14)
п = 1
по некоторой системе функций. В частности, можно использовать кусочно-постоянные функции вида
/п (г) =
1, £ €= [ гп гп ] ,
-О, 5 £ [гп _ 1, гп] ,
п = 1, 2, N
где - границы малых интервалов, на которые разбивается интервал интегрирования. При этом угловые точки выступа (в случае, если поверхность 5 имеет ребра) берем в качестве точек деления контура. Подставим (14) в (12) и приравняем левую и правую части соотношения (12) в дискретных точках (так называемых точках колло-кации), выбранных на контуре X так, чтобы они были проекциями середин интервалов, на которые разбивается контур В результате придем к системе вида
I ^
^0
т = 1, 2, 3, N, (15)
матричные элементы которой выражаются следующими соотношениями:
А„
Г ( „дО ,,дО . ,
= -К(хэу"37эхтгП1 О)
(16)
В формуле (16) значения функции О и ее производных взяты в точках коллокации Гт на контуре X.
Рассматриваемая не
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.