НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА
УДК 534.222
ДИФРАКЦИЯ ИНТЕНСИВНОГО ПОЛЯ В ФОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ КАК ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С НИЗКОЧАСТОТНОЙ ДИСПЕРСИЕЙ © 2015 г. О. В. Руденко1, 2, 3, 4, 5, К. М. Хедберг2
1Физический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова
E-mail: rudenko@acs366.phys.msu.ru 2Blekinge Institute of Technology, Karlskrona, Sweden 3Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского 4Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН 5Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН Поступила в редакцию 19.06.2014 г.
Описаны стационарные формы профиля нелинейной акустической волны, распространяющейся в пределах фокальной области. Использованы три модели, следующие из уравнения Хохлова-Забо-лотской (ХЗ) с тремя независимыми переменными: (1) упрощенное одномерное уравнение Остров-ского-Вахненко, (2) система уравнений для параксиального разложения акустического поля в ряд по поперечной координате и (3) уравнение ХЗ, редуцированное к двум независимым переменным. Структура последнего аналогична уравнению Вестервельта. Показана возможность его линеаризации с помощью преобразования Лежандра и сведения к хорошо изученному уравнению Эйлера— Трикоми. Стационарные профили при больших интенсивностях сфокусированных акустических волн оказываются периодическими последовательностями дугообразных участков с особенностями производной в точках их сшивания, существование которых подчеркнуто Маковым. Такие профили возникают во многих нелинейных системах с низкочастотной дисперсией. Профили с разрывами (ударными фронтами) изменяют свою форму при прохождении через фокальную область и не являются стационарными. Оценка максимальных давлений и интенсивностей в фокусе согласуется с полученными ранее данными компьютерных расчетов и экспериментальных измерений.
Ключевые слова: HIFU, нелинейность, низкочастотная дисперсия, ударная волна, разрыв производной, фокусировка, предельные поля.
DOI: 10.7868/S0320791915010104
ВВЕДЕНИЕ
Фокусированные акустические поля большой интенсивности (НШи) используются во многих ультразвуковых технологиях и приборах медицинской техники. Фокусировка нужна для локализации акустической энергии. С ростом локализации роль нелинейных эффектов возрастает. В сходящихся волнах образуются ударные фронты. Возникает нелинейное поглощение. В фокальной области принципиален учет дифракции. Анализ разнообразных явлений, связанных с нелинейной фокусировкой, дан в обзоре [1] (раздел 5). Там же приведен список публикаций. Укажем здесь только на некоторые из них, где были получены принципиальные результаты, необходимые для дальнейшего изложения.
В работе [2] рассчитан коэффициент концентрации и показано, что он уменьшается с ростом интенсивности из-за нелинейного затухания волны (см. также классический обзор Наугольных [3]). Однако нелинейность иногда способна, на-
против, увеличить коэффициент концентрации из-за более "острой" фокусировки высших гармоник [4, 5]. Расчет этого эффекта проведен Островским и Сутиным [5] на основе поэтапного подхода. Подход состоит в следующем.
При "острой" фокусировке (рис. 1) можно выделить два этапа — две области значений осевой координаты х. На первом этапе, который простирается от поверхности вогнутого излучателя до начала фокальной зоны, волна является сферически сходящейся. Она испытывает здесь главным образом нелинейные искажения, а дифракция несущественна. На втором этапе, в пределах короткой перетяжки длиной ^, фронт волны становится плоским, а ее профиль искажается практически только из-за фазовых сдвигов между гармониками. Сдвиги появляются благодаря низкочастотной дисперсии, вызванной дифракцией (см. учебник [6], глава 7, § 4, а также глава 9, § 6).
Как показано на рис. 1, наиболее интересная для нас область перетяжки имеет форму, близкую
к цилиндрической. Для пучков, круглых в поперечном сечении, длина этого цилиндра равна ^, а радиус основания равен а^:
1 2К ^ т> аК ^
I =-< К, а. = — < а.
* / * 1
ы ы
(1)
В этой формуле 1ё = юа2¡2с — дифракционная длина, К — радиус кривизны акустического излучателя (фокусное расстояние), а — исходный (в сечении х = 0) радиус пучка. Здесь и в дальнейшем фокусировку будем считать сильной, а дифракцию — слабой. Именно в этом случае, когда ¡а > К, можно сформировать наиболее интенсивные поля в фокусе.
Цилиндрическую область будем рассматривать как лучевую трубку, в которой распространяется плоская нелинейная волна. Теперь, суммируя сказанное, можно сформулировать математическую модель.
ПАРАКСИАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И ПРОФИЛИ ДИФРАГИРУЮЩИХ ВОЛН
Как известно, нелинейные пучки описываются уравнением ХЗ [7]:
Ц дР рдр | _ с| д_р + 1 др дт{дх с3р дт) 2\дг2 гдг
(2)
Рис. 2. Типичные профили периодической волны по данным аналитических (кривые 1) [11] и численных [12] (кривые 2) расчетов. Штриховая кривая — исходный гармонический профиль волны. На рис. 2а изображены профили в фокусе, на рис. 2б — за фокусом.
Первые решения для сильно выраженной нелинейности, приводящей к образованию разрывов, получены в работе [10] (см. также [1, 6]). Вблизи оси пучка решение отыскивалось в виде разложения в ряд по поперечной координате:
2 4
р (х, г, т) = Ро (х, т) - Р2 (х, т) + Р4 (х, т) + ... (3) 2а 4а
Ограничиваясь двумя первыми членами разложения (3), можно получить систему уравнений:
2 Р2,
д_(дро1 дро | _
дт\дх с Зр дх^
д{дР1 _^ д_ (ро р2 о.
дтудх с рдт
(4)
Здесь р — акустическое давление, х — аксиальная координата, г — радиальная полярная координата, т = I - х/с — время в движущейся системе отсчета, которая сопровождает волну, бегущую со скоростью звука с. Нелинейный параметр среды обозначен как е. История вывода уравнения (2) и получения основных результатов изложена в обзоре [8].
Решения уравнения ХЗ для слабого проявления нелинейности, найденные методом последовательных приближений, описаны в работах [4, 9].
Ее удалось решить точно [10].
Решение системы (4) для периодической волны из-за дифракции ведет себя иначе, чем в ее отсутствие [10]. Положительный полупериод уменьшается по длительности, отрицательный — увеличивается. Положительное пиковое давление превышает модуль отрицательного давления, а при определенном соотношении параметров — и свое исходное значение. Пилообразная волна содержит разрывы, несимметричные относительно нулевого уровня. Гладкие участки профиля между разрывами представляют собой не прямые линии (как в отсутствие дифракции), а кривые, похожие на параболы.
Такие формы профиля неоднократно наблюдались в экспериментах, рассчитывались аналитически и численно (рис. 2). На рис. 2а изображены два профиля в фокусе х = К. Кривая 1 сосчита-
на для значений параметров ¡¿/Я = 10, ¡ь\Я = 3.3. Для кривой 2 эти отношения полагались равными 2 и 0.8 соответственно. На рис. 2б кривая 1 сосчитана для расстояния х = 1.2 Я; при этом ¡¿/ Я = 10, ¡^¡Я = 3.3. Кривая 2 сосчитана для расстояния х = 2.4Я и значений ¡¿¡Я = 5, ¡ь/Я = 2. Участки "параболической" формы четко видны на всех кривых.
ПЕРВАЯ РАСЧЕТНАЯ МОДЕЛЬ
Для пояснения идеи подхода, используемого ниже для расчета сильных полей, рассмотрим вначале линейную задачу. Воспользуемся уравнением ХЗ (2). Положим в нем б = 0. Выпишем решение линеаризованного уравнения (2) для сфокусированного пучка с гауссовским поперечным распределением амплитуды. При этих условиях решение имеет наиболее простую форму [6]:
Р (х, г, т) = 1
Р I (х)
(
ехр
а 12 (х)
(ют + ф(х,г)). (5)
Здесь р — акустическое давление, Р0 — его амплитуда на оси пучка (при г = 0). Функции, входящие в решение (5), определяются выражениями
ф = аг^
I = х/Ь
1 -■
Я
(6)
+ пН (х - Я) - — ¡^ 1п / 1 - х/ Я а ах
Р = ¡а Р0 Я
ехр
г 2 ¡2 г ¡а
2 г>2
а Я
х 81пI ют + aгctg
(((х - Я))-
2
^¡а
а2 Я
(7)
Нетрудно проверить, что на оси пучка решение (7) удовлетворяет уравнению, более простому по сравнению с исходным уравнением (2):
д 2р 2с - =--2 Р.
дх дт а*
(8)
Здесь а* — ширина перетяжки (1). Длина перетяжки ¡* (1) (рис. 1) определяется как расстояние между двумя точками на оси, в которых ширина
пучка равна >/2а*.
Теперь перейдем к рассмотрению нелинейной задачи. Примем, что уравнение ХЗ в пределах перетяжки можно заменить очевидным нелинейным обобщением уравнения (8):
А\дРрдР I = -2ср.
5x1 дх сЗр дт) а!
с р и*
Уравнение (9) можно получить непосредственно из уравнения ХЗ (2), если формально предположить, что акустическое поле вблизи оси (г = 0) имеет следующую зависимость от поперечной координаты г:
(
р (х, т, г) =
1 -■
р (х, т).
(10)
Здесь Н — функция Хевисайда, равная единице при положительных значениях аргумента и нулю при его отрицательных значениях. В пределах "перетяжки" длиной ¡* (рис. 1), в приближении ¡а > Я, решение (5), (6) упрощается:
Подставляя эту форму в (2) и ограничиваясь параксиальной областью (г ^ 0), придем к одномерной модели (9). Эта модель радикально упрощает качественный анализ нелинейной низкочастотной дифракции. Очевидно, что одномерное уравнение (9) гораздо проще двумерного уравнения (2) как для аналитического, так и для численного исследования.
Очевидно также, что форма (10) есть частный случай параксиального разложения (3). Действительно, полагая в разложении (3)
р2 = р0 = р (х, т), а = а*, (11)
придем к выражению (10). Условие (11) означает, что значение акустического давления на оси и ширина пучка должны быть связаны между собой.
Следует указать, что уравнение (9) — довольно популярная модель в теории волн. Его часто называют уравнением Островского—Вахненко [13]. Оно было получено для неакустических задач — океанологии (внутренние волны во вращающемся океане [14]) и математической физики (нахождение решений, похожих на солитоны [15]).
Для сокращения записи формул уравнение (9) используется далее в безразмерной форме:
А(дК - г дК ] = _у 2Г
д0^ & д0у
(12)
Безразмерные обозначения вводятся следующим образом:
-ЯР а- ^ хк
V = , и = ют, г = ■ , ¡ар0 ¡¡ьЯ
¡¡ь =
_ с р
у2 = ¡¡ь Я'
(13)
8юр0
Здесь ¡¡ь — длина образования разрыва для плоской волны с теми же значениями исходной амплитуды и частоты, что и у сфокусированного пучка.
СТАЦИ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.