АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 3, с. 219-226
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.26
ДИФРАКЦИЯ НА ЭЛЛИПТИЧЕСКОМ ЦИЛИНДРЕ С СИЛЬНО ВЫТЯНУТЫМ СЕЧЕНИЕМ © 2014 г. И. В. Андронов
Санкт-Петербургский государственный университет, НИИФ 198504 Петродворец, Ульяновская, 1/1
E-mail: iva---@list.ru
Поступила в редакцию 02.12.2013 г.
Рассмотрена задача дифракции высокочастотной плоской волны на бесконечном цилиндре, сечением которого является сильно вытянутый эллипс. Получены асимптотики поля в пограничном слое у поверхности. Эти асимптотики содержат параметр, характеризующий степень вытянутости эллипса и равный отношению квадрата поперечного волнового размера к продольному. Путем сравнения с численными результатами, проведенными в среде pdetool пакета MatLab, исследована точность аппроксимации и область применимости асимптотических формул.
Ключевые слова: асимптотические методы, высокочастотная дифракция, сильно вытянутое тело, эллиптический цилиндр.
DOI: 10.7868/S0320791914030010
ВВЕДЕНИЕ
В [1, 2] получены асимптотики поля в задачах дифракции на сильно вытянутых телах сфероидальной формы. Эти асимптотики учитывают степень вытянутости тела и корректируют формулы В.А. Фока, в которые они переходят, если степень вытянутости мала.
Для электромагнитных волн сравнение расчетов по асимптотикам на сильно вытянутых телах с численными расчетами [3, 4] показало, что эти асимптотики дают достаточно высокую точность приближения при волновых размерах порядка двух—трех длин волн и выше. Данная статья возникла из желания провести аналогичное сравнение в акустике. Поскольку численный счет в задачах дифракции на сфероиде достаточно сложен, в этой статье в качестве первого шага рассматривается задача дифракции на эллиптическом цилиндре. Эта задача сводится к двумерной, ее численное исследование существенно проще и может быть проведено средствами Ма^аЬ [5].
Задача дифракции на эллиптическом цилиндре интересна сама по себе. Дело в том, что, с одной стороны, в задаче имеется параметр, позволяющий видоизменять геометрию рассеивателя от одного предельного случая — полосы до другого предельного случая — кругового цилиндра. С другой стороны, эта каноническая задача допускает разделение переменных, что позволяет представить решение в виде рядов по функциям Ма-тье. Эти ряды пригодны для счета, если сечение цилиндра имеет небольшие волновые размеры.
На высоких частотах эти представления мало пригодны. Так, например, в [7] авторы ограничиваются случаем кЬ = 5 при а/Ь = 0.1. Случай сильно вытянутого эллипса представляет дополнительную трудность, связанную с устойчивостью вычислений. Поэтому для высоких частот используются методы высокочастотной дифракции. Однако, если эллипс достаточно сильно вытянут, между областью частот, для которых возможен численный счет, и областью частот, на которых асимптотические формулы классической теории дифракции дают приемлемую точность, образуется зазор, закрыть который и призваны построенные в этой статье асимптотики.
При выводе этих асимптотик сечение цилиндра рассматривается как сильно вытянутое тело, то есть предполагается выполненным соотношение
X = ^ = 0(1), b
(1)
где к — волновое число падающей плоской волны, а и Ь — соответственно малая и большая полуоси эллипса.
Параметр х встречался и ранее, см., например, [6], где развивается теория возмущений по этому параметру, стартующая с решения задачи дифракции на полосе, для которой х = 0. Наши рассмотрения, проведенные в духе подхода из [1, 2], имеют свойство равномерности по х в достаточно широком диапазоне значений.
Во второй части статьи проводится численное решение нескольких тестовых задач средствами
pdetool пакета MatLab и полученные результаты сравниваются с асимптотическими.
АСИМПТОТИКА ПОЛЯ
Рассмотрим задачу дифракции плоской волны частоты ю, падающей на эллиптический цилиндр с полуосями a и b. Зависимость от времени при-
-mt -п
нята в виде е и всюду ниже опущена. Введем декартовы координаты таким образом, что образующая цилиндра ориентирована вдоль оси г, ось х сонаправлена с большой осью эллипса, а начало координат совпадает с его центром. Будем рассматривать падение волны в плоскости ху под углом ф0. Поле при этом не зависит от г и задача является двумерной. Мы будем пользоваться эллиптическими координатами ц, £,, которые введем формулами
* = РПЪ У = W1 - цЧ2 -1, (2)
где фокусное расстояние p определяется полуосями, p b2 - a2.
Преобразования (2) дают y > 0, поэтому исходную задачу надо свести к задачам в полуплоскости. Это делается выделением четной u0 и нечетной u1 по у частей поля. В частности, падающая волна представляется в виде
u (х, y) = u0 (х, |y|) + isign(y)u1(x, \y\),
где
u0(х,y) = е cosф0 cos(ky sin ф0), u{(x,y) = е'кcosф0 sin (ky sin ф0). Задачи дифракции для u0 и u1 можно рассматривать в полуплоскости y > 0. При этом u0 удовлетворяет условию Неймана на границе y = 0, а u1 — условию Дирихле.
Поверхность цилиндра задается условием
2 = , b =. Ввиду предположения (1) эта кон-
vb2 - a2
станта асимптотически близка к единице и представляющая интерес область значений радиальной координаты £, также отвечает % « 1. В связи с этим введем растянутую координату
т = 2кР 1) X
так, что т = 1 на поверхности.
Следуя методу параболического уравнения, выделим быстро осциллирующий множитель
u(x, y) = eikpnU (х, y). Тогда в старшем порядке по kb получим для U параболическое уравнение
+ 2f + 2'Х(. -П2)f-
дт
- 'ХП U + х2tU = 0.
дп
(3)
Разделение переменных в (3) позволяет написать элементарное решение в виде
(ХТ)-1'4 (1 -п2) ^" (4)
где ¥ (г) — некоторое решение уравнения Уиттеке-ра [9]
F"(Z) + |-1 + - + IF(Z) = 0.
(5)
■1 + ^ + 4 г 16г2
Нас будут интересовать следующие три функции Уиттекера, являющиеся решениями уравнения (5) и характеризуемые своими асимптотиками:
Мх^(г) = г1/4 (1 + О(г)), г ^ 0, (6)
Мхц,(1) = г3/4 (1 + О(г)), г ^ 0
и
Wx-l/4(z) - WXlh(z) ~ гхе2, г ^ а^(г) < п.
Четная часть поля. Рассмотрим сначала четную
часть поля. Выделяя из и0 быстро осциллирующий множитель и раскладывая получающуюся функцию по обратным степеням параметра кЬ, в старшем порядке получим
и 0 =
i -ikpn
u0e
= exp
2(хт - а2)n)cos(( а),
где а = ф 0(кЬ)12 будем считать величиной порядка единицы.
При разложении и 0 по элементарным решениям (4) в качестве Ш удобно взять функцию Уиттекера Мх_ц4(-1%т), которая дает решение параболического уравнения, удовлетворяющее условию Неймана при т = 0, и функцию Уиттекера Wx-1/4(-i%T), которая дает решение, удовлетворяющее условию излучения. Тогда общее решение можно образовать из элементарных решений (4) путем интегрирования по параметру разделения:
и, = М-'4 (1 -П2) Ь (1-3]1 » (7)
* [МХ^4(-1Т) + RoWK-l|4(-iгт)} с1 X. Здесь контур интегрирования и подынтегральные весовые множители и Я0 пока произвольны. Требуется лишь сходимость интеграла и возможность произвести дифференцирование под знаком интеграла дважды по т и один раз по п.
Если в формуле (7) положить = 0, полученное решение будет удовлетворять условию Неймана при т = 0, и, поскольку таким же свойством обладает падающее поле и 0, можно найти такую функцию П0, чтобы выполнялось тождество
U0 = (хт)-1/4 (1 -п2 )
. 1
-1/4
1 - п
1 + п)
(8)
Mx,-i/4(-iXT)d Ь
И левая, и правая части этого равенства являются решениями параболического уравнения (3), что позволяет проделать некоторые упрощения. Функция П0, являясь весовым множителем при разделении переменных, не зависит от т. Однако т входит в уравнение (8) лишь посредством произведения %т. Таким образом, О0 не может зависеть и от х. Более того, в левой части равенства, в выражении
для и0, произведение хт присутствует симметричным образом с -а2. Поэтому, если ввести новую неизвестную
-Уа
4Д) = ■
-Qo(^),
Мх-щЦа)
то она не будет зависеть и от угла падения. Тогда в уравнении (8), переписанном для Л(к), можно выбрать любые удобные значения т и а. Наиболее простой вид получается при т ^ 0 и а ^ 0. С учетом асимптотики (6) имеем
ТУ/4
л/Г
+ s
= Ja0(à)S xdX,
(9)
где положено
П
s -1 s +1'
Если в уравнении (9) выбрать путь интегрирования вдоль мнимой оси, интегральный оператор легко отождествится с обратным преобразованием Меллина [8]. Тогда решение выражается интегралом
Ao =
ÎX-3/4 I_'_
0
ds,
вычисляемым в гамма-функциях. Окончательно имеем
Ao =•
г Г (1 + х) Г (1 -X
л/2п3/2 \4 / \4 Таким образом, множитель О0 определен и четная часть решения задачи дифракции может быть записана в виде
ikpn
1
n
i (1
1 -n + n
г|4 + n
(10)
_ Rh _ _ 4iyMit,-1/4(-i%) + Mu_1/4(-ix) ^'X^WK-'X) + Wt.-^Hx) '
Ro _ Ro _ _
а в случае мягкой
К = ^ = _ -у4(_Х)
0 0 ^,-1/4(_Х)' Выражение (10) описывает волну, бегущую по поверхности в положительном направлении оси х. Эта волна достигает правого конца эллипса, где она частично излучается, а частично продолжает движение вдоль поверхности и формирует обратную волну, бегущую по поверхности в направлении отрицательных х. Эта волна может быть представлена в виде, подобном представлению (10), с той лишь разницей, что теперь отсутствует падающая волна и направление распространения противоположно, то есть
b Uo
-ikpn
1
>/2л3/2
n
i [1
1 -n + n
г|4+й
(11)
Для удобства амплитудный множитель в подынтегральном выражении (11) представлен в виде произведения амплитуды прямой волны и дополнительного множителя г0, который можно воспринимать как коэффициент отражения прямой волны от затененного края цилиндра.
Для того чтобы найти г0, необходимо рассмотреть асимптотику поля вблизи х = Ь, то есть при П ^ 1. Поступим так же, как и в [4], будем приближать эллипс вблизи его конца параболой с подходящим образом выбранными параметрами. В параболических координатах (V, у),
2 2 , w - V
p +-, y = vw
2
(12)
х М-^/а2){Мй>_1/4(-1хт) + В^и^—хТ)}^. Здесь переменная интегрирования г = -гХ
Множитель В0 может быть выбран из требования, чтобы поле и0 удовлетворяло граничному условию на поверхности цилиндра, то есть при т = 1. В случае жесткой поверхности находим
уравнение Гельмгольца допускает разделение переменных и имеет эл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.