ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 5, 2014
УДК (532.5+539.3):534.26
© 2014 г. Д. П. Коузов, Ю. А. Соловьева
ДИФРАКЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЛИНЕЙНО НЕОДНОРОДНОЙ АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ, СОСКАЛЬЗЫВАЮЩЕЙ С МЯГКОГО ПОЛУБЕСКОНЕЧНОГО ЭКРАНА
Получено и проанализировано точное аналитическое решение новой нестационарной скалярной дифракционной задачи. Плоская акустическая волна с профилем в виде дельта-функции движется вдоль мягкого полубесконечного экрана. По фронту волны амплитуда ее изменяется линейно. После достижения волной конца экрана она "соскальзывает" с экрана, порождая дифракционное поле. Для нахождения этого поля используется некоторая специальная модификация метода Смирнова—Соболева. Решение получено в виде элементарной функции. Показано, что соскальзывающая волна возбуждает бегущее возмущение, неограниченное на продолжении экрана. Подобное явление, по-видимому, имеет место и при соскальзывании упругих волн с разреза (трещины), это следует учитывать, в частности, в теории разрушения.
1. Введение. Среди задач о волнах, амплитуда которых линейно изменяется вдоль их фронтов, были рассмотрены, в частности, задача о волне Релея в изотропной упругой среде [1], а также задачи о плоских волнах в анизотропной упругой среде [2]. Рассматривалась дифракция плоской акустической волны с линейным изменением амплитуды, падающей под некоторым углом на полубесконечный экран [3]. Подобно последней работе, ниже также используется метод Смирнова—Соболева, однако в процедуру построения и оправдания решения внесены определенные изменения.
В нестационарных двумерных задачах теории дифракции метод Смирнова-Соболева (метод функционально-инвариантных решений [4]) использовался неоднократно для "автомодельных" процессов [5-7], т.е. таких, когда развитие процесса во времени представляет собой равномерное растяжение: в безразмерных переменных х/(ct) и y /(ct), где c — скорость звука, процесс как бы останавливается.
Чтобы определяющими были только безразмерные переменные х/(ct) и y /(ct), требуется выполнение двух условий: модель должна не меняться при растяжении, а исходный процесс должен зависеть только от х/(ct) и y /(ct), т.е. быть однородной функцией нулевого порядка аргументов х, y, t. В качестве такой функции в методе Смирнова—Соболева обычно выбирается плоская волна типа включенной единицы:
f (х, y, t) = e(ct - х cos ф° - y sin ф°), e (£) = j°' °
/ 0 • °\
распространяющаяся в направлении (cos ф , sin ф ).
Плоская нестационарная волна с произвольным профилем, но с неизменяемой амплитудой вдоль фронта, представима в этом случае через сонаправленную плоскую волну типа включенной единицы с помощью интеграла Дюамеля. Та же самая операция применима и для их дифракционного поля.
,о
Р
о
У
У
х
Фиг. 1
Для применения метода функционально-инвариантных решений в случае плоской волны, амплитуда которой вдоль фронта меняется по линейному закону, требуется, чтобы ее профиль был однородной функцией минус первой размерности. Представляется естественным [3] использовать для этой цели дельта-функцию Дирака:
С помощью свертки здесь также легко найти представление для сонаправленной плоской волны с произвольным профилем.
Ниже находится точное аналитическое представление для дифракционного поля волны, сбегающей с мягкого полубесконечного экрана. Волна имеет профиль в виде дельта-функции и обладает линейным ростом по декартовой координате, ортогональной направлению экрана. По сравнению с предыдущим исследованием [3], где использовалась аналогичная модель, но рассматривался другой источник поля, в процедуру решения внесены достаточно существенные изменения.
Дифракция сбегающих волн такого типа, по-видимому, ранее не рассматривалась. Обращает на себя внимание следующее обнаруженное свойство сбегающей волны: волна, которая при движении вдоль экрана в силу свойств экрана не развивала в нем давления, на продолжении экрана создает неограниченное бегущее усилие. Подобное явление, судя по всему, должно иметь место и для упругих поверхностных волн, сбегающих с разреза (трещины) в упругом теле, и оно должно учитываться в теории разрушения. Поэтому полученное ниже решение ввиду его простоты (аналитическое выражение дифракционного поля представляет собой элементарную функцию) можно рассматривать также как удобную простейшую модель аналогичного упругого процесса.
2. Постановка дифракционной задачи. Плоская волна р0 с линейно изменяющейся амплитудой
Здесь р (х, у, г) — акустическое давление, для которого всюду вне экрана предполагается выполненным однородное волновое уравнение
-е I Л I -0 0чг/ . О • 0Ч
/ (х, у, г) = (-х 81П ф + у 008 ф )о(сг - х 008 ф - у 81П ф )
р = р° = Луд (у) 8 (сг + х), г < О
(2.1)
движется вдоль мягкого полубесконечного экрана (левая часть фиг. 1): р = 0; х > 0, у = О
(.2)
(2.3)
В начальный момент времени t = 0 волна достигает конца экрана и начинается процесс дифракции. После начала дифракции (волновая картина изображена в правой части фиг. 1) волновое поле представляет собой суперпозицию падающего поля p0 и искомого дифракционного поля q:
p = p0 + q (2.4)
Дифракционное поле отлично от нуля только в "круге дифракции" r < ct.
Дифференцируя выражение (2.1), заключаем, что исходное поле p0 после прохождения острия экрана удовлетворяет неоднородному волновому уравнению
□ p0 = Л5(y) 8(ct + x), t > 0
Поэтому дифракционное поле вне экрана также описывается неоднородным волновым уравнением
□q = -Л5 (y) 5 (ct + x), t > 0 (2.5)
правая часть которого определяет источник возбуждения дифракционного поля, возникший в момент начала дифракции на острие экрана и движущийся по направлению распространения падающей волны со скоростью звука.
Поскольку как полное, так и падающее поле удовлетворяют однородному граничному условию, этому же условию удовлетворяет и искомое дифракционное поле q :
q (x,0, t) = 0, x > 0, t > 0 (2.6)
Таким образом, пришли к задаче нахождения дифракционного поля, удовлетворяющему уравнению (2.5), граничному условию Дирихле (2.6) и нулевым начальным условиям (при t < 0 дифракция отсутствует). В начале координат (на острие экрана) должно быть выполнено условие Майкснера:
q (r, ф, t) = O(Vr), r ^ 0 (2.7)
Оценка предполагается равномерной по углу ф е [0,2п] и времени (t > s > 0). При r > ct дифракционное поле должно отсутствовать. Здесь r и ф — полярные координаты: x = r cos ф, y = r sin ф. Как было показано [3], на границе круга дифракции ct = r за исключением точки местоположения источника дифракционного поля (в рассматриваемой задаче ф = п) дифракционное поле должно отсутствовать.
3. Эвристическое нахождение дифракционного поля. Поскольку падающая волна задается однородной функцией нулевой размерности, а рассматриваемая модель не меняется при растяжении, следует ожидать, что искомое дифракционное поле также будет задаваться однородной функцией переменных x, y, ct нулевой размерности:
q(x,y,t) = Q(p,ф)0(p-1), p = ct/r
В переменных p, ф волновое уравнение для дифракционного поля q принимает вид
(Р2 -Df2!^Рд2 + д2! = -8(Ф-П)8(Р- 1) (3.1)
др др 5ф
Внутри круга дифракции (в области р > 1) это уравнение эллиптическое.
На фиг. 2 изображена внутренняя часть круга дифракции в переменных р, ф, которые мыслятся как полярные координаты. Образ его внешней части заштрихован.
Внутренняя часть круга дифракции в переменных р, ф отображается на внешность круга единичного радиуса с разрезом [1, +<») по положительной части оси абсцисс. Точка C задает положение бегущего источника дифракционного поля. Окружность BCD
С(1, п)
(1, 0) B
(+да, 0) A
(1, 2п) D
(+<ю, 2п) E
Фиг. 2.
соответствует периферии круга дифракции, интервалы AB и DE — образы сторон части экрана, которая расположена внутри круга дифракции.
После замены р = cha уравнение (3.1) внутри круга дифракции переходит в уравнение Лапласа
^ + ^ = 0, а > 0 (3.2)
да дф
Здесь не используется полная запись с дельта-функцией в правой части, поскольку функция cha -1 (заменившая величину р -1) имеет при нулевом значении новой переменной а корень второго порядка, и это уравнение рассматривается только внутри круга дифракции.
Искомую гармоническую функцию Q будем считать мнимой частью новой неизвестной аналитической функцией f(z). Аргумент этой функции выберем так:
Ф + ia ,,
z = cos^— (3.3)
Если перейти от плоскости (р, ф) к плоскости комплексной переменной z, то образом внутренности круга дифракции окажется нижняя полуплоскость Imz < 0, при следующих образах характерных точек
zA zB = 1. zc = 0, zD =-1, zE = -ад
Теперь естественно предположить, что искомое дифракционное поле имеет вид
Q = A Im1 (3.4)
2п z
В самом деле, функция (3.4) удовлетворяет волновому уравнению внутри круга дифракции. В силу вещественности числа А также выполнены и граничные условия как на экране (участки ED и BA), так и на границе круга дифракции (участок DB за исключением точки C). Особенность в начале координат (полюс первого порядка) должна соответствовать дельта-функции в правых частях уравнений (2.5) и (3.1).
Ранее [3] проверка соответствующих уравнений проводилась непосредственно с использованием правил дифференцирования обобщенных функций. Этот путь достаточно громоздок, и проводить его заново в каждой новой дифракционной задаче нецелесообразно. Ниже будет использован другой подход, основанный на сравнении дифракционного поля с полем бегущего источника в безграничной среде. Соответствующее выражение для поля бегущего источника (оно имеет и самостоятельное значение) будет найдено в следующем разделе.
4. Поле бегущего источника. Введем в рассмотрение фундаментальное решение [8]
««-■о
ус t - x - y волнового уравнения
qs = -Л8 (x) 8 (y) 8 (t) (4.2)
Величина s представляет собой поле мгновенного источника, возбужденного в начальный момент времени в начале координат. Рассмотрим теперь непрерывно работающий источник s, возбужденный в начальный момент времени в начале координат и равномерно двигающийся со скоростью звука в сторону отрицательных значений абсциссы. Поле этого источника отлично от нуля в круге дифракции и находится интегрированием:
t To(x,y,t)
г Лс г
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.