РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2010, том 55, № 4, с. 405-414
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 621.371.333;537.874.6
ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА ТРЕХМЕРНОЙ ПЛОСКОЙ РЕШЕТКЕ
© 2010 г. С. А. Маненков
Поступила в редакцию 25.02.2009 г.
При помощи модифицированного метода дискретных источников решена трехмерная задача рассеяния на плоской решетке, состоящей из импедансных тел вращения. Выведена система интегральных уравнений. Получены численные результаты для случая идеально проводящих элементов решетки. Проведена проверка закона сохранения энергии.
ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрeна дифракция плоской электромагнитной волны на трехмерной плоской решетке, состоящей из импедансных тел вращения, оси которых параллельны. Данная задача представляет большой интерес, так как моделирует, например, рассеяние волн на кристаллической решетке. При этом задача является довольно сложной в смысле численной реализации в силу того, что геометрия не имеет осевой симметрии. Для решения задачи в работе использован модифицированный метод дискретных источников (ММДИ), который ранее успешно применен к решению задач рассеяния одиночным телом вращения [1], [2], группой тел вращения [3], [4], а также использован при исследовании рассеяния на теле вращения, расположенном в круглом волноводе [5]. Вывод основных соотношений при помощи ММДИ основан на использовании тензорной функции Грина (ФГ), вид которой во многих задачах дифракции незначительно меняется.
В случае рассеяния на плоской трехмерной решетке использована периодическая ФГ. Эта функция рассчитана двумя способами. В случае большого расстояния (вдоль оси, перпендикулярной плоскости решетки) между точкой источника и точкой наблюдения ФГ может быть разложена в ряд, получаемый при помощи формулы Пуассона. В случае, когда указанное расстояние мало, можно использовать разложение ФГ в ряд по сферическим гармоникам. Коэффициенты этого ряда представляют собой двойные интегралы, зависящие только от параметров решетки, но не от геометрии ее элементов. Для вывода коэффициентов указанного ряда использована методика, аналогичная подходу, предложенному в работе [6], но модифицированному для трехмерного случая. Преимущество данного метода расчета ФГ решетки состоит в том, что двойные интегралы могут быть вычислены заранее, т.е. до вычисления матричных элементов алгебраической системы, к которой сводится исходная краевая задача. Заметим, что предлагаемый комбиниро-
ванный алгоритм вычисления ФГ решетки аналогичен методу, предложенному в работе [5], где рассмотрена дифракция моды круглого волновода на компактном препятствии внутри волновода. В указанной работе ФГ также вычислялась двумя способами. Для малых расстояний между точкой наблюдения и точкой источника ФГ представлена в виде интегралов Зоммерфельда. В противоположном случае использовалось разложение ФГ в ряд по собственным модам волновода. Очевидно, что разложение в ряд по плоским волнам ФГ решетки полностью аналогично указанному разложению ФГ волновода по собственным модам.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим плоскую решетку, составленную из одинаковых импедансных тел вращения, оси которых параллельны. Считаем, что решетка имеет два периода: йх и йу. Введем декартову систему координат, причем ось г направим перпендикулярно плоскости решетки (рис. 1). Обозначим через поверх-
>0
) о с о о
ОООФО
йх
Рис. 1. Геометрия задачи.
У
й
у
X
ность центрального элемента решетки. Считаем, что структура облучается плоской волной:
E = poexp(-ikr(sin0osin0cos(ф - ф0) + ^ + cos 0ocos 0)).
Предполагаем, что окружающее решетку пространство заполнено изотропной и однородной средой так, что рассеяное поле вне решетки удовлетворяет стандартным уравнениям Максвелла:
-я -я -я ik-> i
V х E = -ikZH , V х H = ikE , (2)
где к = к0Л/вц, к0 — волновое число в свободном
пространстве, Z = л/ц/s, И, 6 — магнитная и диэлектрическая проницаемости среды. Кроме того, вторичное поле удовлетворяет условиям периодичности Флоке:
->i -я
E (x + dx, y, z) = E (x, y, z) exp(-ihx), (3)
E (x, y + dy, z) = E (x, y, z) exp (-ihy), (4)
где hx = M^sin 0ocos ф0, hy = Ыу5т0,озтфо — параметры Флоке. Формулы для магнитного поля аналогичны приведенным выше. На бесконечности полное поле удовлетворяет условиям излучения:
да да
E(x, y, z) = E (x, y, z) + ^ ^ APq exp (-ÍKP9r),
-да q = —да
z < z м
дада
->+
E(x, y, z) = ^ ^ A+q exp (—iK+qr),
p = —да q = —да
z > zM
где K+q, = ^pix + 4ah ± Гpqiz, kp =
hx + 2 np
dx ,
(5)
(6)
П =
hy + 2nq f~2 Г2 2
= —-, rpq = ¿Jk — kp — nq, причем знак квад-
dy
ратного корня выбираем из условия неположительности его мнимой части. В формулах (5) и (6) zмин и £макс — минимальное и максимальное значения координаты z поверхности элемента решетки,
Ард и Ард — неизвестные коэффициенты. Заметим,
что величины |^Е| = |а—0| /|ро| и |ТЕ| = Аоо| /|ро| представляют собой модули коэффициентов отражения и прохождения плоской волны (1).
На поверхности каждого элемента решетки выполнено импедансное краевое условие для полного поля:
nE = Z0 n х (n x H),
где п — нормаль, внешняя к поверхности тела, — импеданс. В силу того, что элемент решетки представляет собой тело вращения, условие (7) эквивалентно двум скалярным условиям:
пгЕв — пвЕг + ЗНф = 0, (8)
Еф — 20(иНе — «еН) = 0, (9)
где Ег, Ее, Еф, Нг, Не, Нф — компоненты электрического и магнитного полей.
2. ВЫВОД СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Будем решать поставленную задачу при помощи метода вспомогательных токов, который в дальнейшем сводится к ММДИ [1—5]. Для этого представим вторичное поле в виде
Е (|) = х V х |/(Г')в(Г, Г)(10)
->1 H
(r) = kVx J7(r')G(r, r')ds', r' e E0. (11)
В этих формулах Е0 — вспомогательная поверхность вращения, расположенная внутри исходной поверхности центрального элемента решетки 50,
а / — неизвестный ток, распределенный на поверхности Е0. Функция О представляет собой периодическую функцию Грина, которая имеет вид [7]
да да
5(Г, Г') = £ £ во(Ярд) ехр(-1ркх - 1дку), (12)
p = —да q = —да
где
Go (Rpq) =
exp (—ikRp q ) 4 п Rp
(7)
p (13)
Rpq = J( x — x' — pdx )2 + (y — y — qdy )2 + (z — z' )2.
Таким образом, рассеяное поле в виде (10) и (11) удовлетворяет условиям периодичности Флоке. Зададим далее поверхность 50 в сферической системе координат:
x = rsin 0 cos ф, y = rsin 0 sin ф, z = rcos 0, (14)
где r = r(0). Тогда для вспомогательной поверхности Е0 справедливы следующие уравнения [1—5]:
x' = r2 sin 02 cos ф', y' = r2 sin 02 sin ф',
z' = r2 cos 02, (15)
Здесь
02 = arg t),
r2 = t)|, t) = r(t + i5)exp(it — 5). (16)
В формулах (16) 5 — положительный параметр, отвечающий за степень деформации контура осевого сечения тела, t e [0, п]. Выбор параметра 5 подробно описан в работах [1—4].
i
£
В силу периодичности рассматриваемой структуры и падающего поля задача сводится к определению неизвестного тока только на поверхности центрального элемента решетки.
Разложим неизвестный ток в ряд Фурье:
22 1
к ( ¡1п 0 ¡1п 0' Бтп +
1 д2 Б ■
+ СОБ 0 ¡1п 0'Р,Шп) - -1----т тп' гг' 5050'.
(25)
/(г, ф') = > Л(г)ехр(/пф).
(17)
Функция Грина (12) может быть разложена в двойной ряд Фурье:
0(г, 0, ф, г, 0', ф') =
да да
= X X Б».(г, 0, г', 0')ехр(/шф - /пф).
(18)
т = -да п = -да
Подставив формулы (17) и (18) в представления (10) и (11), получим выражения для рассеяного волнового поля:
-и
Е (г, 0, ф) =
дада
X X |Етп(г, 0, г) Jn(г)йгехр(/тф),
(19)
т = -да п = -да г
дада
-и
Н (г, 0, ф) =
= X X |нтп(г, 0, г)Jn(г)йгехр(/шф).
(20)
т = -да п = -да о
Здесь 15 тп и И тп — тензорные функции электрического и магнитного типов. Матричные элементы
функций Етп и Итп имеют следующий вид:
11 1
к ( СОБ 0 СОБ 0' Бтп +
+ яп 0 ¡1п 0^) -
¿-Бш
дгдг' _
(21)
12 1
к (-соб 0 ¡1п 0' Бтп +
1 д2 V
+ ЯЛ 0 СО8 0'Р+тп ) - 1д '
г' дгд 04
к^Ш 0Ртп + -Г-^'д^
г ¡1п 0 дг
21 1 е = -
^тп 2
к (-¡1п 0 соб 0' Бтп +
+ СОБ 0 ¡1п 0'Р+тп ) -
1д2^т
(22)
(23)
(24)
г 0 г'
23 I
е = ■
тп 2
31 -I
32
к2С08 0Ртп + —¿^.П . гг'¡1п 0' д 0 _
к СОБ 0'Ртп +
. г¡1п 0 дг _
к2со8 0' Ртп + -Ш— ^т-гг'Б1п 0 д 0'
33 1
к» =
к2Р+ -к Ртп
тп
2г ¡1п 0
гг'Бт 0 ¡1п 0' _ ¡1п0соб0'шбш. -
- Вшпсоб0¡1п0' - ¡1п0¡1п
дР'
т
,12 = -/к ктп =
2 г ¡1п 0
д 0 ] ¡1п 0 ¡1п 0' шБт„ +
д Р
+ В». соб 0 соб 0' + ¡1п 0 собР' ш
к13 = к
тп
2 г ¡1п 0
к21 = -----/-к----
ктп ~ ■■ ■ п
2г ¡1п 0
50
дР+
8Ш 0 + Б». СОБ 0 СОБ 0 СОБ 0' шБш. +
д Р
+ В». ¡1п 0 ¡1п 0' + г ¡1п 0 ¡1п 0' 3
к22 = /к ктп =
дг _
- соб 0 ¡1п 0' шБтп + дР '
+ В»п ¡1п 0 соб 0' + г ¡1п 0 соб 0' ——
дг _
2 г ¡1п 0
к23 = -к
тп
2г
В». + г
кШ = к
тп 2
С 5 Р ¡1п 0'' Р
г
■СОБ0 -
5Р+ дг _
1 дР»
г д 0
■ ¡1п 0 ) -
- СОБ 0'СдБ— ¡1п 0 + 1 дБ— С0Б<
г
к32 = к
тп 2
Р
СОБ 0' I —22 СОБ 0 -
V дг
г д 0 1 дР,
г д 0
¡1п 0 ) +
+ ¡1п 0' V5Б- ¡1п 0 + 1 дББт-- соб( V дг г д 0
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
да
п = -да
п
п
13
е =
тп
,зз _ ik
™mn 2
dP~
m
_ dr
- cos 0 -
1 5 Pm
r 50
-sin (
где
Dmn _ 2 ((m + 1) Sm + 1, n + 1 ±(m - 1) Sm - 1, n - 1) ,
P+ _ 1 ( S + S )
1 mn 2^- m + 1, n + 1 — ^m - 1, n - 1/"
(38)
(39)
Проведем замену неизвестных функций Jn по формуле:
Jn _ In/(Xsr2sin02), Xs _ 7rz(0E) + rs(02), (40) где штрих означает производную по соответствующему аргументу,
I _ т1 rS ( 0s )i + А + А
in _ т„-——-ir' + Ini0' + Tni«i.
(42)
n _ -да о
ния параметра t точками tj = —т[ j - - J, j = 1, N, и
п /А \ п" п V
(41)
Г2(02 )
Таким образом, имеются два множества неизвестных функций {1\} |да =-да и {12п} |да =-да.
Подставив формулы (19) и (20) в граничные условия (8) и (9) на поверхности 50, можно получить следующую бесконечную систему интегральных уравнений:
¿ [ joo, t) i\ (t) dt + jKm2n(0, t) ii (t) dt
_ -да о 0
_ Bm (o),
да / П П ^
^ [ jKmuo, t) in (t) dt + jKm2n(o, t) ii (t) dt
бесконечные ряды конечными суммами, считая, что п = -М, М. Разобьем интервал [0, я] измене-
пЛ Л .
заменим интегралы в формуле (42) суммами Рима-на. Далее приравняем полученные равенства в точках коллокации, которые выберем при 0 = В результате перейдем от
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.