МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2013
УДК 534.16
© 2013 г. К. Л. АГАЯН, Э. Х. ГРИГОРЯН, К. Г. ГУЛЯН
ДИФРАКЦИЯ сдвиговой плоской волны в составном УПРУГОМ ПРОСТРАНСТВЕ С ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ТРЕЩИНОЙ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ЛИНИИ НЕОДНОРОДНОСТИ
Проблемы распространения и дифракции волн напряжений в упругих неоднородных средах представляют для исследователей несомненный интерес как с точки зрения изучения фундаментальных закономерностей динамических процессов, так и с точки зрения использования полученных результатов в приложениях к технике и технологии. В работе исследуется динамическая контактная задача о дифракции сдвиговой плоской волны на краю полубесконечной трещины в составном пространстве, состоящем из двух упругих полупространств. Затрагиваются также вопросы, связанные с возникновением поверхностных волн и поведением волнового поля в дальних зонах.
Ключевые слова: волновое поле, дифракция, функциональное уравнение, факторизация, асимптотические формулы.
1. Введение. В свете воплощения идей Н.Х. Арутюняна в области смешанных и контактных задач теории упругости [1] в последнем десятилетии учениками его школы был опубликован ряд работ, относящихся к вопросам исследования особенностей распространения и дифракции сдвиговых плоских волн в упругих и пьезоэлектрических средах, содержащих включения и трещины. Так в работах [2—5] рассматривались упругие среды, а в работах [6—11] — пьезоэлектрические, причем в случаях, когда среды были составными, концентраторы напряжений располагались по линиям раздела материалов.
Определяющие функциональные уравнения этих задач сведены к задаче теории аналитических функций на действительной оси типа Римана. Правые части упомянутых уравнений содержат обобщенную функцию Дирака 5 (х). Это значительно облегчает построение решения определяющих уравнений методом факторизации на действительной оси. Полученные в обобщенных функциях решения функциональных уравнений позволили разработать новый подход к построению асимптотических формул для дальних зон в задачах дифракции сдвиговых плоских волн в упругих и пьезоэлектрических средах [15], который наиболее прост и эффективен.
В настоящей работе рассматривается задача о дифракции сдвиговой плоской волны в упругом кусочно-однородном пространстве с концентратором напряжений в виде полубесконечной трещины, расположенной внутри одного из полупространств.
2. Постановка и решение задачи. Рассмотрим составное упругое пространство, состоящее из двух различных полупространств, ослабленное полубесконечной сквозной трещиной. В декартовой системе координат Оху1 полупространства занимают области (|х| < да, у > 0, |г| < да) и (|х\ < да, у < 0, |г| < да), а трещина есть полуплоскость
(х < 0, у = -Н, |г| < да) (фиг. 1). Полупространства контактируют по плоскости у = 0 и находятся в условиях полного контакта. В полупространстве, занимающем область
Фиг. 1
из бесконечности в сторону вершины трещины распространяется заданная сдвиговая
ОТТ / A Í \ -ikx cos sin В] -i(üt í \
плоская SH волна u\ ' (x,y, t) = w„ (x,y)e = e 1 , где w„ (x,y) — ампли-
туда упругого перемещения, p1 (0 < p1 < п/2) — угол скольжения падающей упругой волны, kj = с® — волновое число, c1 = Vm-i/Pi — скорость распространения сдвиговых упругих волн; p1 — модуль сдвига и плотность среды в области Q1; ю — частота колебаний; t — время.
Предполагая, что среда находится в условиях антиплоской деформации, определим распределение дифрагированного волнового поля во всех участках составного пространства.
Для решения задачи составное пространство разделим на три части: Q1, Q21
(Ix| < да,- h < y < 0,|z| < да) и Q22 (Ix| < да,y < -h,|z| < да). Гармонический множитель e mt, как обычно, опустим, т.е. будем решать задачу относительно амплитуд. Уравнения движения в амплитудах перемещений имеют вид [13]:
Awi + k^wi = 0 (x, y) e Q1
Aw2; + k2w2j = 0 (x, y) e Q2;, j = i, 2
(2.1)
где (х, у), (х, у) — амплитуды перемещений в областях и , = 2/Р2 — волновое число, ц2, р2 — модуль сдвига и плотность нижнего полупространства.
Берега трещины свободны от напряжений, а на поверхностях соприкасания выполняются условия полного контакта. Тогда, граничные и контактные условия, посредством (х,у) и ] (х,у), запишутся в виде
wi (x, + 0) = w2i (x,-0); dwi
dy
= Ц 2"
dw-
21
y=+0
dy
x < да
(2.2)
y=-0
w21 (x, -h + 0) = w22 (x, -h - 0); ц2
dw21
dy
= Ц 2"
dw2
y=-h+0
dy
, x > 0
(2.3)
y=-h-0
Ц 2'
dw21 dy
= Ц 2"
y=-h+0
dw22 dy
= 0, X < 0
y=-h-0
Решение задачи должно удовлетворять также условию уходящей волны. Перейдем к решению краевой задачи (2.1)—(2.4). Введем функции
(х, -Н + 0) - ^22 (х, -Н - 0) = 2у (х), (-да < х < да)
Ц 2'
д w
21
dy
= Ц2'
d w
22
y=-h+0
dy
= Ф+ (x), (-да < x < да)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
y=-h-0 +í
где у (x) = 0 при х > 0, а ф+^) = 0 при х < 0.
Применив преобразование Фурье к (2.1)—(2.4) и учитывая, что в областях 021 и 022 имеются только излученные волны, приведем задачу к краевой задаче типа Римана на действительной оси относительно образов Фурье неизвестных функции у (х) и ф (х) из (2.5) и (2.6) (см. [10-12]):
ц-1Ф + (с) + K (с) у 2 (с)¥- (с) = -2niA0b (о-Mos Р1)
(2.7)
2k1 sin p1k2 sin в2 -íhk2sinp2 ао --e
■ i -Hl
■ * —-
■ 1
(j = 1,2)
(2.8)
k1 sin в1 + ^*k2 sin в2 K (o) = L (ah)e - 27(УШ1 + Y 2Ц 2)
h (o) = ^1Y1ch (y2h) + Ц2Y2sh (Y2h), Yj (о) = у[аГ-к где в2 — угол преломления, k1 cos в1 = k2 cos в2.
Для функции jj(a) из (2.8) принимается, что ^а2 - kj > 0 при |а| > kj, ^а2 - kj = = -iijkj -а2 , т.е. в (2.7) предполагается, что действительная ось обходит точки ветвления Gj = —kj функции комплексного переменного y j (а) = -\ja2 - kj сверху, а oj = kj — снизу [14].
В дальнейшем, для определенности, будем полагать k < k, когда возможно появление локализованных (поверхностных) волн Лява [13, 14].
Решение функционального уравнения (2.7) построим методом факторизации [14]. Пользуясь известным представлением 2ni5(o — k1cosP1) = (о-k1cos в1 - i0) 1 — (о-k1cos в1 + i0) 1 решение уравнения (2.7) представим в виде
Ф + (с) = А
Ч (а) = -
с + k2K + (с) с - k1 cos в1 + i0
А
А =
^ а + k2K + (а) (а - k1 cos p1 - i0)
Ао_
K + (k1 cosp1))k2 (1 + cos p2)
(2.9) (2.10)
(2.11)
Здесь К (с) = К + (с) • К (с), где функция К + (а) (а = а + п) регулярна и не имеет нулей при 1т (а) > 0, а функция К~ (а) регулярна и не имеет нулей при 1т (а) < 0. При
этом К+ (а) ^ 1 при |а| ^ да в своих областях регулярности, а К+ (с) определяются формулами
К + (с) = ехр(Т + (с)), К~ (с) = ехр(Т" (с)) (2.12)
го о
Т + (о) = |Т (х) в'х(а+'°с1х, Т- (о) = | Т (х) ¿х(5-0йх
F (x) = 1 f ln K (a) -axdo = 1 f ln w 2я J v Л 2n
Yi - 2 -2y2h 1 +--e
2 (yi -ц*у2)
2dG (2.13)
Имея решение функционального уравнения (2.7) в виде (2.9)—(2.13), для образов амплитуд упругих перемещений получим следующие формулы.
1. В области Q1 (y > 0) будем иметь
eY2h-Yiy _ , _
w1 (о, y) = e-Ф+ (о) + 2e ~Yiych (y 2h)^ - (o) +
Ц2У2 (2.14)
+ 2n[e -ikiy sin e - eikiy sin Pi]5 (o - k1 cos p1)
2. В области Q21 (-h < y < 0) найдем
e Y 2(y+ _
w21 (o, y) = --Ф + (o) + 2ch (h + y - (o)
Ц2У 2
3. В области Q22 (y < -h) получим
_ eY2(y+h) _ +
w22 (, y) =-Ф (o)
Ц2У 2
В частном случае, когда трещина бесконечна (Ф + (с) = 0), из формул (2.7) и (2.14) следует
w1 (^ y) = w<x> (x y) - wref (^ y) +
+ 2k1 sin p1 cos (hk2 sin p2)e-kixc°sPi+i% sinPi >0 (2.15)
k1sinp1cos (hk2sinp2) - ;p*k2sinp2sin (hk2sinp2)
/ \ -ikix cos Ri +ikiy sin Ri
где wref (x, y) = e 1 K1 K1 — амплитуда отраженной волны.
Решение (2.15) показывает, что в рассматриваемом частном случае, независимо от значений k1 и k2 в двухслойной упругой системе, локализованные (поверхностные) волны Лява не возбуждаются.
3. Исследование волнового поля. Из-за ограниченности объема, приведем результаты по волновому полю только в области Q(2) (x < 0, y > 0) и на линии контакта y = 0. Из соотношения (2.14), после обратного преобразования Фурье, для амплитуды упругих перемещений получим
0
т
а
Фиг. 2
(2) / \ Ац* K + (а) Уа + k2 e'Y1Viax ^ , , ч , , ч (31)
w1 (x, y ) = - — I--------d а + wM (xy)- Awref (x,y) (3-1)
2n J L1 (а) а - k1 cos p1 + /0
k1sinP1 -^*k2sinP 2 , ч -ik1x cos в1 +ik1y sin в1
A1 =-, wref (x, y) = e 1 M1 u M1
k1sinp1 + ^*k2sinp2
Для полного и детального изучения характерных особенностей волнового поля следует исследовать интегральные составляющие, входящие в (3.1), так как именно этими составляющими обусловлено влияние полубесконечной трещины на распределение волнового поля. Здесь использован подход, приведенный в работах [10, 12], в которых асимптотические формулы получены новым, более простым путем. Основная идея этого подхода заключается в том, что после сведения интегралов из (3.1) на линии разрезов, асимптотические формулы для дальнего поля вычисляются из тех же интегральных представлений при помощи интегрирования по частям.
Для исследования интеграла из (3.1) перейдем в комплексную плоскость и рассмотрим контур Г1 (фиг. 2). Аналитическое продолжение подынтегральной функции внутри Г1 имеет единственную точку ветвления a = k1. А функция L1 (a) из (2.8) имеет действительные корни am = ±am (m = 1,2,... n), принадлежащие интервалу k1 < a < k2, число и распределение которых существенно зависит от параметра fo¡k° - k1 [3]. Отметим, что в этих корнях подынтегральная функция внутри Г1 имеет простые полюсы, а действительная ось обходит отрицательные корни -am сверху, а положительные am — снизу, тем самым обеспечивая выполнение условия уходящей волны.
Функция L1 (a), очевидно, не имеет чисто мнимых корней. Она не может иметь также и комплексных корней в разрезанной плоскости (фиг. 2). Действительно, если положить, что в первой четверти a = a 0 является корнем L1 (a), то вследствие равенства
V2 2 I 2 2
a0 - k1 = yja0 - k1 число a0 также будет корнем L1 (a). Это означало бы, что поле перемещений имеет, дополнительную к wM (x, y) составляющую в виде приходящей волны из бесконечности, что противоречит физической постановке задачи.
Имея в виду эти замечания, на основании (3.1) найдем амплитуду упругих перемещений, которая в полярных координатах (r, 9) име
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.