АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 3, с. 230-239
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.2
ДИФРАКЦИЯ ЗВУКОВЫХ ИМПУЛЬСОВ НА УПРУГОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ, ПОМЕЩЕННОЙ В ОКЕАНИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД © 2014 г. Н. С. Григорьева*, Г. М. Фридман**
*Санкт-Петербургский государственный морской технический университет 190008 Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, 3 E-mail: nsgrig@natalie.spb.su **Санкт-Петербургский государственный экономический университет 191023 Санкт-Петербург, ул. Садовая, 21 E-mail: grifri@finec.ru Поступила в редакцию 04.10.2013 г.
Статья посвящена моделированию акустического поля, рассеянного упругой сферической оболочкой, помещенной в волновод с жидким поглощающим дном. Излученный сигнал представляет собой широкополосный импульс с гауссовой огибающей. В частотной области для вычисления поля точечного источника в свободном волноводе и коэффициентов рассеяния оболочки используется метод нормальных волн. Перемещение приемника вдоль вертикальной прямой, расположенной за оболочкой, позволяет получить "трехмерный" образ поля, рассеянного оболочкой. В этом представлении горизонтальной осью является время, вертикальной осью — глубина погружения приемника, а интенсивность показывает амплитуду принятого сигнала. Такие трехмерные изображения позволяют проанализировать зависимость сложной дифракционной структуры акустического поля от глубины приемника. В рассмотренном численном примере тонкая упругая сферическая оболочка находится вблизи поглощающего жидкого дна.
Ключевые слова: упругая сферическая оболочка, рассеяние акустических волн, волновод с жидким поглощающим дном, нормальные волны, звуковой импульс.
DOI: 10.7868/S0320791914030058
ВВЕДЕНИЕ
В статье [1], посвященной обзору результатов, полученных в ходе хорошо контролируемых экспериментов в бассейне, впервые были показаны "трехмерные" изображения тонкой упругой сферической оболочки, помещенной в волновод. При этом в качестве горизонтальной оси выступает время, вдоль вертикальной оси откладывается глубина погружения приемника, а цвет показывает амплитуду принятого широкополосного сигнала.
Цель данной работы состоит в том, чтобы получить подобные "трехмерные" изображения ("диаграммы время—глубина") численно. В модели, использованной для расчетов, тонкая упругая сферическая оболочка находится в водном слое небольшой глубины вблизи жидкого поглощающего дна. Излученный сигнал представляет собой широкополосный импульс с гауссовой огибающей. Параметры оболочки, характеристики дна и форма излученного импульса взяты из работы [1] (см. также [2]).
В частотной области для вычисления поля точечного источника в свободном волноводе и ко-
эффициентов рассеяния оболочки используется метод нормальных волн [3]. Другие методы, позволяющие рассчитать дифракционную структуру поля в волноводах, обсуждаются в работах [4—8].
Полученные в работе диаграммы время-глубина позволяют проанализировать зависимость сложной дифракционной структуры акустического поля от глубины приемника.
ТЕОРИЯ
Рассмотрим упругую сферическую оболочку, помещенную в волновод с жидким дном. Скорость звука в воде с0 предполагается постоянной. Начало координат совпадает с центром оболочки, внешний радиус которой равен а. Ось 0z направлена вертикально вверх, как это показано на рис. 1. Источник находится в точке М5 волновода -й < г < Ь, а приемник — в точке М. Декартовыми и сферическими координатами точки Мх являются (л^,0, ) и (г, ф^), точки М — (х,0, г) и (г, 0, ф) соответственно. Первоначально мы будем предполагать, что точечный источник излучает сфе-
рическую падающую волну с циклическом частотой ю.
Воспользовавшись методом, предложенным в [9], будем искать суммарное поле в волноводе Ф total в виде суммы вклада от источника Ф source и вклада от рассеивателя Ф scatterer
Ф total Ф source + Ф scatterer" (1)
Если z > zs, то вклад от источника дается формулой
фsource - 4п JqhLj°(q\x Xs_ UVe2"
2ih(b+d)
(2)
х ((¿-ь) + иге-'^-ъ) )(е-мл-ь) + уеш(ь+а)е1ъл-ь)) Здесь /0 — цилиндрическая функция Бесселя нулевого порядка, q и к = к(д) = ^к0 - д2 — горизонтальная и вертикальная компоненты падающего волнового вектора в воде, к0 = ю/ с0 — волновое число. Коэффициенты отражения от верхней границы раздела и и нижней границы раздела V равны соответственно [10]
оТк
U = -1 VLq) = Р^ - q2 -Р^^ - q2
Ръ4к0 - qL + р^kb - qL В уравнении (3) kb = ю/cb — волновое число в жидком дне, cb > c0, р0 и pb — плотности воды и дна соответственно. При этом предполагается, что на комплексной ^-плоскости Imh(q) > 0 и
ImAj(q) = Im^kb - q2 > 0. Если Zs > z, то Фsource дается формулой, которая получается из (2) заменой г на zs и наоборот.
Вклад от рассеивателя, учитывающий влияние многократного рассеяния, может быть представлен в виде
lmax l
2 -2 ■ - Vk2 ~2
(3)
Фscatterer = , ^^ Aml(r )TlCml" k0 l =0 m=0
(4)
Для случая сферической упругой оболочки, заполненной воздухом, коэффициенты T, содержащие всю информацию о свойствах оболочки, приведены в [3]. Эти коэффициенты удобно трактовать также как элементы диагональной T-мат-рицы. Функции Aml(r) в уравнении (4) называются коэффициентами рассеяния сферы. Если z > 0, то коэффициенты рассеяния Aml(r) имеют вид 1/2
Aml (Г) = " О C°S m^ J qhqJm(q XI) X
0
■(eih(z-b) + Ue -ih(z-b) )x
1
1 - UVe
2ih(b+d)
(5)
„ I h I ihb , rr 2ih(b+d)
B„l I ——I e + Ve y '
B
ml
h I -ihb
e
г Воздух
г = b
Ms (источник) rs а M (приемник) е r
a1 0 х Вода
г = -d Жидкое дно
Рис. 1. Упругая сферическая оболочка, помещенная в волновод.
В уравнении (5) б0 = 1 и б т = 2 при т > 1, 1т — функция Бесселя порядка т, Вт11 к I — элементы матри-
^ ко)
цы преобразования, связывающей цилиндрические и сферические базисные функции уравнения Гельмгольца
B,
ml
h
Л-m
2l + 1 (l - m)! 2 (l + m)!
12
h
(6)
где Pjm — присоединенные функции Лежандра порядка Iи ранга m (см., например, [11]);
B" h)-(-1)l ""b»I (h
Величина lmax в формуле (4) выбирается в соответствии с правилом, предложенным в [12]:
l max + 4.05(k,a)1/3 ] + 3,
где [х] — целая часть х, а — внешний радиус оболочки. Таким образом, lmax с ростом частоты возрастает пропорционально безразмерному параметру k0a.
Коэффициенты cml в уравнении (4) находятся из линейной системы алгебраических уравнений
Lml
= Aml (Г s) + ^ R^m^Tl^Cml^,
l'=0
где lmax = lmax, 0 ^ m ^ ^^ l') и
(7)
т=-2i J
qdq
1
hko 1 - UVe
2ih(b+d)
UVBml\ h |x
x Bml.\-h} em(b+d) + VBml [A] BmlÁh\ e2ihd +
+ UBmi \ -h ] BmlÁ-h \e2ihb +
+ UVBml\-hjBmi^h |e2ih(b+d)
(8)
Ami (r) = A;ode(r) + Amf(r),
где
A^V) = 2n (2n)
V2
cos qm x
X £NH (ko^|x|)Мц(^c)sinк0ц0(Ь - z)
(10)
H» — первая функция Ханкеля порядка m. В (10) числа находятся из уравнения
tgY о = -i^. Ро Hi
(11)
1
N.. коЦо
Y о - sin у о cos у о
2
Ро • 2 ,
■ ^о sin у оtgY о
Pi У
. (13)
Интеграл по берегам разреза ЛЦЩ (г) может быть представлен в виде [3]
АЦТ (r)
fe Г
ni/ ,14
n --(m+1)
Ро 2
—cos mye x
Pi
4nhv
2
Гп 2ч, i 12 2 о vtc(1 - nb)ко x cos yо
гко |x|nb
e о| 1 b x
(14)
x sin(k^V^(b - z))Mml(Vi-i)I(v2). В формуле (14)
2
v =
ко x
2
1 - Пь
Щ. — это коэффициент преобразования 1-й сферической гармоники в гармонику с номером I' в рассматриваемом волноводе.
Интегральные представления вклада от источника (2) и коэффициентов рассеяния (5) справедливы при любых частотах, расстояниях между источником и приемником и глубинах волновода. В случае, когда глубина волновода невелика, очень полезным является представление интегралов (2) и (5) в виде суммы нормальных волн и интеграла по берегам разреза [3].
Для коэффициентов рассеяния это представление имеет вид
(15)
2n í I \2¿ 2 о о. о' 2Пь (р о/pi) tg Y о - Y оtgY о
Y о = ко(Ь + (16)
2
Множитель I(v ) выражается через интеграл вероятности erf (а):
I (v2) = ^ + Пf ei(v2+П4) (erf(eíV4v) -1), (17)
erf (а) =
Гп
J e 4 2 dt.
(18)
Вклад от источника также может быть представлен в виде суммы нормальных волн и интеграла по берегам разреза
ф =фmode +фcut (19)
^ source ^ source 1 ^ source' V у /
(9) где (см. (13), (16)—(18))
Ф S;°udcee = £ NjHо1) ( X - X,\)х
j (20) X sin ко^о(Ь - Z)sinко^о(Ь - Zs)|^ ,
-2
фc
2n¡Y
1
Ро
3/2,, 2ч 2 о , |2 „
л' (1 - Пь )cos Y о ко X - xJ Рь
sin(к^1 - nb(b - z))sin(к^ 1 - Пь2(Ь - Zs)) x (21)
(к:о|x-xs\nb T, л2ч
x e о| s bI(v ),
-2 _ ко |x - xs
1 2 1 - Пь
Здесь y о = коцо(Ь + d), b + d — глубина волновода,
Но = 41 2, Hi = VПь2 - £2, nb = Со/Сь, nb <2,- < 1. Функция Mml(^ о) и нормирующий множитель
1 N2j даются формулами [3], см. также (6)
Mml (Ио) - Bml(-HоУ^оЬ - Bml (Ио)e^Ф =
Г- cos коиоЬ, если m + l нечетное (12) = 2Bml (и оп ,
[i sin коиоЬ, если m + l четное
" 2и / / 2 0 0. 0 • (22)
2ПЬ (Р0/Рь) у0 -у^у0 Использование формул (9)—(22) существенно упрощает вычисление интегралов (2) и (5), дающих вклад от источника и коэффициенты рассеяния.
Для того чтобы учесть поглощение в дне, нужно положить сЬ = RecЬ + ЯтсЬ, 1тсЬ < 0. Это приводит к комплексности в уравнении (11) и, как следствие, к комплексности ^ которые приобретут малую положительную мнимую составляющую.
ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР
Для оценки влияния поля, рассеянного оболочкой, на суммарное звуковое поле в волноводе
о
2
о
были использованы параметры оболочки и характеристики дна, взятые из хорошо контролируемого эксперимента в бассейне [1, 2]. Тонкая упругая сферическая оболочка, изготовленная из сплава никеля и молибдена, имеет физические свойства, приведенные в таблице. Внутренний радиус оболочки равен 1. 44 х 10 м. Оболочка заполнена воздухом с плотностью 1.293 кг/м3 и скоростью звука 331 м/с.
Скорость звука в воде с0 = 1500 м/с, плотность воды р0 = 103 кг/м3. Расстояние Ь от центра оболочки до верхней границы волновода равно 0.104 м; расстояние ё до дна равно 1. 6 х 10 -2 м. Таким образом, волновод имеет глубину Ь + й = 0. 12 м.
Дно волновода предполагается песчаным. Для того чтобы учесть поглощение в нем, скорость звука в дне сЬ считается комплексной
сь = 1675 - 15.34/ м/с. Мнимая часть этой величины соответствует затуханию 0.5 дБ/^Ь, где ХЬ — длина волны в дне на рассматриваемой частоте. Плотность п
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.