ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 461, № 4, с. 394-397
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
ДИХОТОМИЯ РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА © 2015 г. Р. К. Романовский, Е. М. Назарук
Представлено академиком РАН Е.И. Моисеевым 25.11.2014 г. Поступило 24.06.2014 г.
БО1: 10.7868/80869565215100072
Работа является продолжением выполненных в последние несколько лет исследований по прямому методу Ляпунова для подклассов эволюционных уравнений [1—5]. Рассматривается задача Коши
N
x(t) = £ d k(t)x (t - ak), t > 1,
k=0
X [0,1] = Фе E = H1 ([0,1] ^ ^).
(1)
Определим скалярное произведение в E формулой
(ф, Y> = jV>dt + vi0 ф о
Нетрудно убедиться, что соответствующая норма
dt + |ф о
Здесь 0 = a0 < a1 < ... < aN = 1, , dk: [1;да) ^ C£x£, |d k ^ const, элементы d k — измеримые функции. Имеет место однозначная разрешимость задачи
(1) в классе Ж1 функций x: [0,да) ^ С€, принадлежащих H1 на каждом отрезке полуоси [0, да) [6, гл. 2]. Доказан достаточный признак экспоненциальной дихотомии в терминах операторных неравенств сведением к такой же задаче для разностного уравнения в фазовом пространстве E. Приведен иллюстрирующий пример.
Далее | • | — эрмитова норма в С1, так же обозначается согласованная с ней матричная норма.
1. Функции фе E абсолютно непрерывны, в частности, однозначно определяются данными (t), ф(0). Будем отождествлять ф с этой парой:
Ф
Ф
1_Ф0.
ф = Ф 6 H0 = L ([0,1] Ф0 = ф(0).
(2)
Операторы из End E представляются в "базисе" (2) операторными матрицами второго порядка.
топологически эквивалентна стандартной норме в Е.
2. Записывая систему (1) в точке I + п, t е [0,1], п — целое > 1, представляя сумму в (1) в виде X = X' + X'' где в X' входят слагаемые с ак < I, и, вводя обозначения хп (I) = х (I + п), М кп (I) = = М к (I + п), получим
+
Xn (t) = £ 'd kn (t) Xn (t - ak ) + [£''dkn (t)Xn-1 (1 + t - ak), t < 1,
I 0, t = 1.
(3)
Функция х: [0, да) ^ С является решением класса
Ж1 системы (1) точно тогда, когда все хп принадлежат Е, удовлетворяют (3) и условию согласования хп (0) = хп-1 (1). В "базисе" (2) эти требования принимают после вычислений вид
"I0 - & n 0" un =
_ 0 I_
Г n? -
S
Г nS I
*n-U
Un =
L n0 J
t -ak
пФ|t = £'dkn (t) J ф(s)ds,
Омский государственный технический университет E-mail:elmarnaz@mail.ru
пФ|t<1 = £"dkn (t) J ф(s)ds,
1+t-ak
0
2
0
0
Sф = Jф (s) ds, Г „ = £ d к„ (t),
к=о
I0, I — единицы в H0, Се.
Лемма 1. Оператор I -
имеет равномерно
по n ограниченный обратный H0 ^ H0. Тем самым
задача Коши (1) в классе ностной задаче Коши
эквивалентна раз-
Un = лnUn-1 (n = 1,2,...), Uoo = ф е E,
л „ =
(Io - & n) 0 0 I
Г nS ^ n Г nS
I
S
(4)
Лn — компактный, равномерно по n ограниченный оператор, Лn: E ^ E.
3. Операторная матрица
9 =
'9 1 9 2S"
Як
S9 2 9 о
91,9 2 е EndHи , 9 0 е Cext, (5)
E = E+ + E-, Ek ф {0}, dim E- < да,
фе E+
и и -v1(n-m)ii
w! < № 1 w„
t-I II II ^ -v2(m-n) ||
фе E- ^ uj < № 2 ||u„
(8)
(и > т), (п < т).
Поясним последнее требование (7). В автономном случае Лп = Л дихотомия решений — следствие распада спектра Л на компоненты а, ае, лежащие внутри и вне единичного круга, и Е± — со-
ответствующие спектральные подпространства. В силу структуры спектра компактного оператора множество ae состоит из конечного числа собственных чисел с конечномерными корневыми подпространствами, поэтому dim E- < да. В общем случае это свойство постулируется.
Введем класс J операторных матриц-функций Z + ^ End E вида
Fn = Tfdiag(J! - P2,Q1 - Q2), (9)
где Tn e EndE, |\T„\\ ,||T^Ц < const, Pk, Qk — эрмитовы
проекторы соответственно в H0, Се, P1 + P2 = I0, Q1 + Q2 = I, при этом
dimP2H0 < да, пk = diag(Pk,Qk) ф 0, к = 1,2. (10)
Отнесем оператору (9) эрмитову форму v (ф, n) = = {F„q>, ф). Разностная производная v(un,n) — — v (un-1, n -1) формы v вдоль траекторий системы (4) после подстановки un = Лnun-1 и замены
с эрмитовыми 9 0,91 задает с учетом Б = Б в Н эрмитов оператор в Е .
Лемма 2. Пусть при некотором c > 0 имеют место оценки
9 0 > с1, А = 91 - 9 29 0-19* > с10. (6)
Тогда при некотором С > 0 имеет место оценка 9 > с1Е.
Лемма 3 [6, с. 64, 66]. Пусть Н — комплексное гильбертово пространство, Л,Ж,Же БпёН, Ш* = Ш. Если Л*ЖЛ - Ж < - с1Н при некотором с > 0 и при этом спектр Л не покрывает окружность = 1, то ЛЖ_1Л* - Ж< -с1Н при некотором с > 0.
4. Будем говорить, что имеет место экспоненциальная дихотомия в Н1 -топологии решений задачи Коши (1), если имеет место прямое разложение
n-1
ф принимает вид
V (ф, п) = (£иф, ф), = А^Ап - Еп-1.
Теорема. Для того чтобы имела место экспоненциальная дихотомия в И1-топологии решений задачи Коши (1), достаточно, чтобы при некоторой Еп е £ операторная матрица Оп была равномерно отрицательна:
Gn < -sIE (б = const > 0).
(11)
Укажем основные опорные пункты доказательства.
1°. Обозначим Ек = ПкЕ, к = 1,2, где Пк — проекторы (10). Очевидно, Ек Ф {0}, Е1 ± Е2, Е1 + Е2 = Е, < да. Векторы (2) в "базисе"
(Е[,Е2) принимают вид
Ф
(7)
такое, что для решений задачи Коши (4) имеют место при некоторых vk оценки
Замена в (4) un (4) к виду
х = П1Ф, y = П 2 Ф. (12)
hn по формуле hn = Tnun приводит
hn = A„h„_1, h = фе E, (13)
и требование (11) — к виду
A*JAn - J < -aIE (a = const > 0), (14)
где An = Tn Л BTB:1, J = diag (Iv, -I2), Ik — единица в Ek. Доказательство теоремы приводится к построению при условии (14) разложения (7), (8) с заменой un на hn.
0
п
u
396
РОМАНОВСКИИ, НАЗАРУК
2°. В силу леммы 1 и оценок для Т п ,Т п 1 оператор An компактен и равномерно по п ограничен.
Очевидно, dimE- < да, E+ f| E- = {0},E± Ф {0}. Представление фе E в виде суммы функций из
Из структуры спектра компактного оператора E+, E- имеет место, если при некоторых следует: спектр An заведомо не покрывает окружность = 1. В силу леммы 3 из (14) следует при некотором а > 0 неравенство
x е E1, y е E2 разрешимо уравнение
ф.
■ 11 -K*" x
-K 12 _ _ У _
(21)
A„JA* - J < -aIE
(15)
(учтено J 1 = J). Обозначим Un оператор Коши
шть
(16)
В силу оценки (20) и вытекающей из нее оценки ||К*|| < q оператор в левой части имеет ограниченный обратный E ^ E, поэтому уравнение (21) од-К ^ К уравнения (13). Из (15) нетрудно получить нозначно разрешимо при любой Ф е E. Тем самым E = E1 + E2.
j - u„ju:<äiE, n > l.
Представляя Un в "базисе" (12) Ulln Ul
Un =
11,n u12,n U21, n U22, n
Uii,n : Ej ^ Ei,
подставляя матрицы J, Vп в (16) и сравнивая в полученном неравенстве элементы (2, 2), найдем:
V22, V22, п - V21, V21, п * (1 + а)12, откуда, в частности, х е ^ Имеем:
следует существование и221,п е Биё^2. Построим оператор
4°. Из (13), (14) нетрудно получить Jhn+bhn+i) < {Jh„,hn) -a\\h„\\2, n > 0. (22)
(17) В частности {Jhn+1, hn+^ < Jhn, hn). Далее не в ущерб общности а < 1.
Пусть hn = U„(p, ф е E+: ф = lim фj, ф = lim фj,
J—т
K n = U22,nU21,n
Kn: E1 ^ E2. (18)
Из последнего неравенства легко получить:
Jhn, К) = lim^UtJUn^j, ф Jj > > lim U* JUn . ф J ,ф j) = limJ V J, V j) ,
где у j = Un фу. Вычисления по формулам (17),
КпКп < 12, откуда следует ||Кп|| < 1. Выкладки с учетом этого факта и (16) дают более точный ре- (18) дают: V; е Ввиду ^у, у) = (у, у) щи
^е E1 получаем: (¿кп,И„) > 0. С учетом этого из (22) вытекают оценки
зультат:
||K „И < q < 1, n = 1,2,...
(19)
3°. Ввиду dimE2 < да, оператор (18) задается конечным числом линейных функционалов
a|hn||2 < Jhn,К), Jhn+1,hn+1> < (1 - a)Jhn,hn). (23)
е E1 = E1,/ = 1,2,..Д I = dimE2, при этом с учетом (19) ||УП, ¡\ ^ q ^ 1. Отсюда в силу слабой компактности замкнутого шара в гильбертовом
пространстве следует: существуют последова- откуда следует первая оценка (8) для кп при
Пусть n > m > 0. Применение оценок (23) дает: a||hn||2 < (1 - a)n-m(Jhm,hm) < (1 - a)n-m \\hm\\2,
тельность номеров n, T да и оператор K: E1 ^ E2
такие, что
lim Knjx = Kx (x e E1), ||K|| < q < 1.
(20)
-1/2 , /1 4-1/2
= а , v1 = 1п (1 - а) .
Вторая оценка (8) доказывается с помощью близких рассуждений.
Пример. Рассмотрим задачу Коши
Построим подпространства E+ = i Ф =
x (t) = bx (t -1), t > 1, x\
[0,1]
Ф
(24)
x -Kx
E1 k
b e R, E = H1 ([0,1] ^ R). Здесь матрица (4) имеет вид
E = {ф =
-K*y У
,x e E9
Л и = Л =
b(S - S) bS S I
1
S = j • ds.
t
Покажем, что при Ь е
1, л/2) для решений задачи 1_2 )
(24) имеет место свойство экспоненциальной дихотомии в ^-топологии. Положим
1 2
А > с10, с = 1 --Ь > 0. В силу леммы 2 отсюда
следует оценка (11) для матрицы О, что и требовалось.
' I0 0 " т, т = '10 Ь
_ 0 -I _ _ 0 I _
Р _ т *
Матрица Р имеет вид (9) при Р1 = 10,Р2 = 0, Q1 = 0, 02 = I. Вычисления дают:
-О = Р - Л*РЛ =
10 - Ь2Я*§ + S
. 8 С1 - Ь)
С1 - Ь)
7 2
. (25)
Матрица (25) удовлетворяет первому требованию (6). Имеем
А = 10 - Ь+ Ь~2 (2Ь -1)8 (учтено 5 = 5). Нетрудно получить || < 1,
8 > 0. С учетом этого требование Ь е
дает
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Романовский Р.К., Мендзив М. В. // Сиб. мат. журн.
2007. Т. 48. № 5. С. 1134-1141.
2. Романовский Р.К., Мендзив М.В. // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 2. С. 257-262.
3. Романовский Р.К., Бельгарт Л.В. // Мат. заметки.
2008. Т. 84. № 4. С. 638-640.
4. Романовский Р.К., Бельгарт Л.В. // Сиб. мат. журн.
2009. Т. 50. № 1. С. 190-198.
5. Романовский Р.К., Бельгарт Л.В. // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 8. С. 1125-1134.
6. Власов В.В., Медведев Д.А. // Соврем. математика. Фундам. направления. 2008. Т. 30. С. 3-173.
7. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Мир, 1970.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.