Письма в ЖЭТФ, том 102, вып. 3, с. 159-166
© 2015 г. 10 августа
Динамическая дифракция в кристалле с пространственной модуляцией падающей и отраженной рентгеновской волны
В. И. ПунеговС. И. Колосов
Коми научный центр УрО РАН, 167982 Сыктывкар, Россия
Поступила в редакцию 19 мая 2015 г. После переработки 23 июня 2015 г.
Предложен новый подход к проблеме динамического рассеяния пространственно ограниченных рентгеновских пучков. На его основе разработана динамическая теория дифракции в кристалле с латеральной модуляцией падающей и отраженной рентгеновских волн. Дано физическое объяснение и выполнено численное моделирование необычного углового распределения интенсивности рассеяния от кристалла с поглощающей поверхностной решеткой. Продемонстрированно влияние инструментальной функции на формирование дифракционной картины.
БО!: 10.7868/80370274X15150023
1. Введение. Одними из основных элементов рентгеновской оптики являются дифракционные решетки, широко используемые в различных спектроскопических исследованиях в качестве высокоразрешающих узкополосных монохроматоров и энергетических сепараторов [1]. В настоящее время предпринимаются попытки создания новых типов дифракционных решеток [2-4]. Неожиданное угловое распределение интенсивности рассеяния наблюдали при дифракции рентгеновских лучей на кристалле кремния с вольфрамовым поверхностным рельефом [3, 4]. Необычность наблюдаемой дифракционной картины в обратном пространстве заключалась в том, что, помимо ожидаемых латеральных сателлитов присутствовали дополнительные вертикальные и диагональные дифракционные порядки. Для объяснения этого явления в [3] предложена феноменологическая дифракционная модель, на основе которой выполнено численное моделирование углового распределения интенсивности рассеяния, и проведено сопоставление теоретических результатов с экспериментальными данными. Однако формирование сегментальной ромбоидальной структуры рентгеновских полей в объеме кристалла в рамках феноменологической модели [3] являлось лишь предположением. Настоящая работа посвящена развитию нового подхода к динамической теории рентгеновского рассеяния, в рамках которого исследована дифракция на кристалле с латеральной периодической модуляцией амплитуды падающей и дифракционной волн.
-1'e-ma.il: vpunegov@dm.komisc.ru
2. Дифракция в кристалле с латеральной модуляцией рентгеновского излучения. Рассмотрим динамическую дифракцию рентгеновских лучей в кристалле, на поверхности которого вдоль оси у равномерно размещены полосы поглотителей падающего излучения шириной I с периодом Т (рис. 1). Введем прямоугольную систему координат,
Рис.1. Схема дифракции рентгеновских лучей в кристалле с периодически расположенными поглотителями
оси х и у которой параллельны входной поверхности, а ось £ направлена в глубь кристалла, причем хОг образует плоскость дифракции. Для простоты рассмотрим симметричную дифракцию в геометрии Брэгга. Пусть на кристалл под углом в = вв + ш падает плоская рентгеновская волна, где ш = в — в в — отклонение рентгеновского пучка от угла Брэгга вв ■ В отсутствие деформаций в кристалле при описании дифракции будем исходить из уравнений Такаги [5], записанных в декартовой системе координат:
= iaaEa(x, z) + ia-hEh{x, z), ( » \ (1)
(rtsfBäj-fJ £»(:»,») =
_ = i(a0 + i])Eh(x, z) + iahE0{x, z),
где Eoth(x,z) - амплитуды проходящей и дифракционной рентгеновских волн, а о = я"Хо/(^7о);
л = Cnxh,h/№h,o), V = 27rsin(20B)w/(A7h) -угловой параметр, используемый в двухкристальной дифрактометрии в режиме в—20-сканирования, А -длина волны рентгеновского излучения в вакууме, 7о,л = sin(#B), С ~~ поляризационный фактор, Хд = —ro^2Fg/(irVc) - фурье-компоненты рентгеновской поляризуемости, д = 0, h, h. Здесь Vc -объем элементарной ячейки, г о = е"2/{тс?) - классический радиус электрона, е, т - заряд и масса электрона, Fg - структурный фактор, h - вектор обратной решетки, причем h = 2n/dhki, где dhki ~ межплоскостное расстояние.
Периодически расположенные в латеральном направлении поглотители модулируют амплитуду падающего на поверхность кристалла рентгеновского пучка. Дифракционная волна, выходящая из объема кристалла, также претерпевает пространственную модуляцию, поскольку встречает периодический барьер поглотителей со стороны кристаллической среды. Таким образом, периодическое расположение поглотителей модулирует как падающий, так и дифракционный рентгеновские пучки. Отметим, что проходя через полосу поглотителя прямоугольного сечения, рентгеновская волна испытывает фазовый сдвиг. Однако эти фазовые изменения пространственно-неоднородны, поскольку рентгеновский пучок падает под углом к поверхности поглотителя и рентгеновские лучи проходят разные пути внутри поглощающей среды. Кроме того, поглотитель, как правило, имеет поверхностные и боковые шероховатости, по размерам в десятки раз превосходящие длину рентгеновской волны. Поэтому возникающие оптические разности хода, а следовательно, и фазовые сдвиги носят случайный характер и дают вклад в диффузное рассеяние рентгеновских лучей, которое находится вне рамок рассматриваемой зада-
Для описания динамической дифракции на кристалле с латерально-периодической модуляцией падающей и отраженной рентгеновских волн примем следующую модель. Пусть модуляция падаю-
щей рентгеновской волны задается функцией вида (рис. 2)
/(•г')
1, xG±((T-t)/2, 7, x(/±(T-t)/2,
(2)
где 7 - доля пропускаемого через поглотитель излучения. Функция ${х) может быть представлена интегралом Фурье:
1 [
Будем считать, что ширина фронта падающей на кристалл с поверхностной решеткой рентгеновской
1 Т
Y
Рис. 2. Функция модуляции падающего и дифракционного излучения: 7 - доля пропускаемого излучения, I -ширина полосы поглощения, Г - период модуляции
волны равна ЫТ, где N - число периодов модуляции падающего излучения. Перейдем от функции /(х) к ее фурье-образу:
со мт/2
/(к) = J f(x)exp(—iкx)dx= J f(x) exp(—iкx)da
-со -дгт/2
(3)
где к - переменная обратного пространства. Для периодической функции пропускания (2) получаем аналитическое выражение ее фурье-преобразования:
_ МкТМ/о) 8ш(«Т/2) Х
х|(1_7),пИТ-.)/2]+7ЗИ^| (4)
Решение системы уравнений (1) удобно искать в виде [6]
E0,h(x, z) = I dKexp(iKx)E0,h(K,z), (5)
где фурье-образы амплитуд рентгеновских полей запишутся как
+оо
Êoth{iî,z)= J dxexp(—iKx)Eoih(x, z). (6)
— оо
Подставив (5) в (1), для фурье-амплитуд рентгеновских полей получаем
дЁр(к,г) _ dz
= i(a0 - Kctg6B)Eo(n, z) + ia-hEh(K, z),
(7)
dEh(K,z) _
dz
= i(a0 + 1] - nctg6B)Eh(K, z) + iahE0(n, z).
Таким образом, от системы двумерных уравнений (1) в прямом пространстве мы перешли к одномерной дифракционной задаче, которая имеет аналитическое решение. Для этого уравнения (7) должны быть дополнены граничными условиями. Если на кристалл падает плоская волна, амплитуда которой из-за периодически расположенных на поверхности кристалла поглотителей равна Ео(х, 0) = /(ж), то для ее фурье-образа имеем Ео(к, 0) = /(к). Для дифракционно отраженной от кристалла толщиной lz волны выполняется второе граничное условие, Êh{n,lz)= 0.
Аналитические решения системы связанных уравнений (7) для амплитуд проходящей и дифракционной волн в объеме кристалла имеют вид
E0(k,z) =---f(K)exp[i(a0+b)z],
a , ч exp(i£/z)-exp(i£z)
Eh(K,z) = ah---f{K)exp[i{ao + b)zl
(8)
где cr0 = a0 - wctg6>B, Q = gi exp(i£lz) - £2, С = = л/iv + 2a0 - 2Kctgé»B)2 - 4aha-h, £ij2 = [-(i?+2a0-— 2«ctg0B) ± £]/2. Подставляя (8) в (5), получаем, в частности, решение для амплитуды дифракционного рентгеновского поля в объеме кристалла:
Eh(x, z) = х ¿тг
+ оо — оо
(9)
Используем решение (9) для нахождения амплитудного коэффициента отражения от кристалла с
периодически расположенными поверхностными поглотителями. Амплитуда дифракционной волны в плоскости z = 0 до встречи с поглотителями равна
+ оо
Eh(x, 0) = jg J (10)
— оо
Заметим, что решения (8)—(10) зависят от углового параметра г/ ос ш и относятся к двухкристаль-ной геометрии. Для описания дифракционной картины в обратном пространстве в режиме трехосевой дифрактометрии параметр г/ следует представить в виде г] = qxctg6»B - qz, где qx = ksm6B(2uj - e) и qz = —к cos6Be - проекции вектора q, задающего отклонение вектора дифракции от узла обратной решетки [7, 8], ш и е - угловые положения образца и анализатора.
Поскольку f(x) также модулирует выходящую на поверхность кристалла дифракционную волну шириной волнового фронта NT, конечная регистрируемая амплитуда отражения запишется как
+оо
Rh(qx,qz) = т^ J 6XP^gZ')—-/(«)/(« - qx)dn.
— оо
(П)
Распределение в обратном пространстве интенсивности рассеяния от кристалла с поверхностной модуляцией падающей и отраженной волн находится из соотношения
Ih(qx,qz) = \Rh(qx,qz)\2. (12)
3. Инструментальная функция. Строго говоря, вид экспериментальной RSM (Reciprocal Space Map) зависит не только от исследуемого образца, но и от типа монохроматора и анализатора, т.е. от так называемой инструментальной (аппаратной) функции.
Предположим, что вдоль оси qy интенсивность рассеяния уже проинтегрирована. Кроме того, мы не будем учитывать спектральный разброс по длинам волн падающего излучения, поскольку его влияние существенно меньше функции разрешения монохроматора и анализатора [9]. Рассмотрим угловое распределение интенсивности рассеяния Ih(qx, qz), которая регистрируется в методе трехосевой дифрактометрии, с учетом инструментальной функции.
Пусть Дм(/3) - угловая зависимость отражательной способности монохроматора (М), a RA(S) - угловая зависимость отражательной способности анализатора (А). Для симметричной дифракции повороты
образца (из) и анализатора (е) связаны с проекциями Qx,z в обратном пространстве соотношениями [10]
qx cos с?в ~ 4z sm t h cos 6>b
£ =
4z
к cos вв
(13)
где /? - величина вектора обратной решетки, к = = 2тг/Х. В эксперименте угловая отстройка образца из вызывает угловые отклонения монохроматора /3 = = —из и анализатора 6 = из — £. Соответствующие отражательные способности будут равны Дм(— из) и НА(иЗ-£).
Тогда с учетом (13) и соответствующей нормир
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.