МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 6 • 2014
УДК 539.4
© 2014 г. А. Е. МАЙЕР
ДИНАМИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ ЖЕЛЕЗА НА СДВИГ И РАСТЯЖЕНИЕ: КОНТИНУАЛЬНОЕ И АТОМИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В статье на основе континуального и атомистического моделирования исследуется сдвиговая и откольная прочность железа в условиях высокоскоростной деформации. Континуальное моделирование проводится с использованием моделей дислокационной пластичности и разрушения за счет образования и роста микротрещин и полостей, молекулярно-динами-ческое моделирование проводится при помощи пакета ЬАММР8. Полученные результаты анализируются в свете экспериментальных данных по высокоскоростному соударению и облучению пленок железа ультракороткими импульсами интенсивного лазерного излучения.
Ключевые слова: высокоскоростная деформация, пластическое течение, откольное разрушение, железо, молекулярная динамика, континуальная теория дислокаций, модели разрушения.
1. Введение. В явлениях высокоскоростного деформирования и разрушения металлов ярко проявляются особенности элементарных процессов изменения существующих и образования новых структурных дефектов в материале (дислокаций, двойников, микротрещин, полостей): с увеличением скорости деформации характерное время деформирования становится сопоставимым со временем элементарных процессов в ансамблях дефектов. Особое значение для исследования данных явлений имеют экспериментальные данные по динамической сдвиговой и откольной прочности. Высокоскоростное соударение [1—4] и облучение ультракороткими импульсами лазерного излучения [5, 6] активно используются в настоящее время для динамического нагру-жения металлов. Интерферометрическое измерение профиля скорости свободной поверхности нагружаемой мишени представляет собой одну из наиболее информативных диагностик процесса [2].
Существенный интерес представляет исследование нагружения тонких пленок металлов [5—10], поскольку при этом достигаются предельно высокие скорости деформации — до 0.1^1 нс-1. Пленки толщиной до нескольких десятков микрометров могут нагружаться при помощи высокоскоростного соударения [9, 10], еще более тонкие пленки исследуются при помощи ультракоротких импульсов лазерного излучения [5-8]. Так, в работе [6] исследована реакция пленок железа субмикронных толщин на облучение мощными фемтосекундными импульсами лазерного излучения. Обнаружено, что в таких условиях в материале достигаются величины сдвиговых и растягивающих напряжений порядка 8 ГПа и 20 ГПа соответственно, что близко к их теоретическим предельным значениям. Обобщение этих данных и результатов ударно-волновых испытаний для больших толщин мишеней позволяет построить экспериментальные зависимости сдвиговой и откольной прочности железа в широком диапазоне скоростей деформации [11]. В данной статье полученные в работах [6, 11] экспериментальные результаты анализируются на основе континуального и атомистического моделирова-
ния. Континуальное моделирование проводится с использованием моделей дислокационной пластичности [12, 13] и разрушения [13—15]; молекулярно-динамическое моделирование выполняется при помощи пакета ЬАММР8 [16].
2. Континуальная модель. Рассмотрим одноосную деформацию материала вдоль оси х. Такие условия деформации стараются обеспечить в экспериментах по высокоскоростному соударению пластин и интенсивному облучению. В рамках подхода сплошной среды определим полную деформацию материала как сумму вкладов Щк + Щк - ^¡к [13]. Здесь щк — тензор макроскопической деформации, создаваемой движением вещества. В рассматриваемом случае единственная ненулевая компонента этого тензора есть ихх:
-ихх /— = ди/дх (2.1)
где и скорость движения вещества вдоль оси х. Тензор пластической деформации определяется движением дислокаций, а тензор Ж,к деформации, связанной с разрушением, определяется через характеристики ансамбля микроповреждений (микротрещин или полостей). Выражения для компонент этих тензоров будут выписаны ниже.
Основные уравнения включают уравнение непрерывности
-Р = _р (ди + -Екк\ (2.2)
- чдх - )
уравнение движения
р ТТ = 7Т (2'3)
-Т дх
и уравнение для внутренней энергии
р-§-^^-¿ИТ)
где Жкк обозначает сумму диагональных компонент соответствующего тензора, а = -Р + Бхх есть компонента тензора напряжений вдоль оси х; Р — давление, Бхх — компонента тензора девиаторов напряжений, р — плотность вещества, Т — температура. Удельная внутренняя энергия и не включает упругую энергию формоизменения, определяемую сдвиговыми напряжениями, а также энергию дефектов (дислокаций). Таким образом, и представляет собой внутреннюю энергию материала с такой же плотностью и температурой, как и рассматриваемое тело, но без сдвиговых напряжений и структурных дефектов. Для связи и, р, Р и Т используется широкодиапазонное уравнение состояния [17]. Второе и третье слагаемые в правой части (2.4) учитывают выделение теплоты при пластической деформации и уничтожении структурных дефектов соответственно. Здесь п ~ 0.1 доля энергии пластической деформации, затрачиваемая на образование новых дефектов, а Q — удельная мощность энерговыделения при уничтожении дефектов (аннигиляции дислокаций). При записи (2.4) учтено, что из соображений симметрии Буу = Б^ = -Бхх/2 и ^уу = = хх/2. Учет теплопроводности в (2.4) необходим при анализе процессов в тонких пленках; к — коэффициент теплопроводности.
Девиатор напряжений вычисляется из закона Гука:
Бхх = 20 (2ихх/3 - + Wхх - Шкк/3) (2.5)
где О — модуль сдвига.
Тензор пластической деформации определяется на основе модели дислокационной пластичности [12, 13]. Скорость пластической деформации может быть вычислена из обобщенного соотношения Орована [18], в котором в общем случае необходимо суммирование по всем возможным системам скольжения дислокаций [12]. Для простоты остановимся на случае монокристаллического железа (ОЦК решетка), нагружаемого вдоль кристаллографического направления [100]. В этом случае соотношение Орована может быть упрощено:
^ = Ь/»Рв (2.6)
М -ч/б
где Ь — модуль вектора Бюргерса, Ув — скорость движения дислокаций относительно вещества, рв — скалярная плотность подвижных дислокаций.
Приведенное в [13] уравнение для скорости дислокаций содержит квазирелятивистские поправки, учитывающие, что скорость дислокаций Ув не может превысить поперечную скорость звука с = ^ О /р:
-|3/2
йУв Ь
то—в = -
0 М 2
^хх - У ■ ^п (Эхх)
1 -|У^2
- В ■ Ув (2.7)
2
где то = рЬ есть масса покоя дислокации на единицу ее длины, У — статический предел текучести, В — коэффициент фононного трения. Движение дислокаций и пластическая деформация начинаются, если > У-у/ 2/3. Записываются кинетические уравнения для подвижных и иммобилизованных дислокаций, отражающие баланс между процессами образования, иммобилизации и аннигиляции дислокаций [13]:
^ = Ов - 0! - Ова С (2.8)
а р а
^ = 0! - 0!а + ^С (2.9)
ш р а
где 0» есть скорость образования новых подвижных дислокаций при пластической деформации, — скорость иммобилизации дислокаций, Ова и О!а есть скорости аннигиляции подвижных и неподвижных дислокаций. В работе [13] для этих величин предложены следующие выражения:
Ов = ^{2^^ а< = У! (рв-Ро)^ (2.10)
Ова = М|Ув| Рв (2рв +Р! ), 0!а = Р вР!
где ев « 8 эВ/Ь есть энергия образования единицы длины дислокационной линии, ка — коэффициент аннигиляции, р0 и У1 — параметры модели. Энерговыделение за счет аннигиляции дислокаций может быть выражено как:
О = 6в ■ (Ява + 0!а) (2.11)
Тензор деформации, вызванной разрушением, определяется через объемную долю цилиндрических микротрещин [13, 14] либо сферических пор [15]. В рассматри-
ваемом случае напряжения благоприятствуют развитию трещин, перпендикулярных оси х. Для тонких трещин единственная ненулевая компонента тензора есть [13]:
= (2.12) -Т 1 - а -Т
где а — объемная доля микротрещин в рассматриваемом элементе объема. Аналогично для сферических полостей может быть получено [15]:
-^хх = (1) Шкк = _ (1) _±_-а (213)
-Т Ы -Т Ы1 _ а -Т
Объемная доля а вычисляется через концентрацию и геометрические размеры повреждений. Изменение радиуса Я существующих трещин описывается приближенным уравнением [13]:
р§(я!-Ия(-Я)2И<^'>+64 <214)
где у — поверхностное натяжение, а у' — необратимая поверхностная энергия, связанная с пластической деформацией в окрестностях трещины:
у' = рЬр вс,Я 2 (Я/-г )/2 (2.15)
при растягивающем напряжении а > 0 расти могут трещины с радиусом больше критического Я > Ясг = (2/3)0у/с2. Для сферических полостей может быть записано похожее по структуре уравнение [15]:
р(Я' +2 ^И^1^Я" <2Л6>
где у" также есть необратимые потери на пластическую деформацию [15]:
у'' = 2пУЯ ■ sign(-Я/-г) (2.17)
Критический радиус полости равен Ясг = 2у/ (с - 2пУ).
Выражение для скорости образования обоих видов дефектов имеет одинаковую форму [13-15]:
-П = [ср(-(2.Т*)/(3квТ))-ехрН/АГ)] ^,2.!»,
- [1 - ( Ау Яс2 ) / (3квТ)) • [1 - ехр (-у/Ау)]
где п — концентрация повреждений, п0 — концентрация атомов вещества, / — частотный фактор, кв — постоянная Больцмана. Среднеквадратичное отклонение Ау характеризует дефектность материала, то есть, наличие областей с пониженным порогом зарождения повреждений.
Выписанная система уравнений решалась численно с использованием метода [19] для интегрирования уравнений механики сплошных сред. Моделировалось воздействие на поверхность железа импульса давления амплитудой 10 и 30 ГПа и длительностью 10 нс. Анализировалось затухание упругого предвестника по мере продвижения вглубь мишени. Результаты моделирования в сравнении с экспериментальными данными приведены на фиг. 1: а — амплитуда предвестника (ГПа), х — расстояние от нагружаемой поверхности (мм). Здесь маркеры 1 — результаты экспериментов по лазерному облучению тонких пленок [6], маркеры 2 — результаты работы [20], маркеры 3 —
Фиг. 1
результаты экспериментов по высокоскоростному соударению [11], кривые 4 и 5 — результаты расчетов для импульсов давления 30 ГПа и 10 ГПа соответственно.
В расчетах, как и в эксперименте, происходит быстрое затухание упругого предвестника в поверхностном слое — на глубинах до 300 мкм от нагружаемой поверхности
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.