научная статья по теме ДИНАМИЧЕСКАЯ СПИНОВАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ В T—J-МОДЕЛИ: МЕТОД ФУНКЦИИ ПАМЯТИ Математика

Текст научной статьи на тему «ДИНАМИЧЕСКАЯ СПИНОВАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ В T—J-МОДЕЛИ: МЕТОД ФУНКЦИИ ПАМЯТИ»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 145, № 2 ноябрь, 2005

© 2005 г. A.A. Владимиров*, Д. Иле*, Н.М. Плакида* ДИНАМИЧЕСКАЯ СПИНОВАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ В t-J-МОДЕЛИ: МЕТОД ФУНКЦИИ ПАМЯТИ

Вычислена динамическая спиновая восприимчивость для t-J-модели в парамагнитной фазе на основе метода уравнений движения для функции релаксации от операторов Хаббарда. С помощью проекционной техники типа Мори функция релаксации выражена через функцию памяти второго порядка. Последняя вычислена в приближении взаимодействующих мод для дырочных возбуждений и спиновых флуктуаций в четвертом порядке по параметру перескока t и обменному взаимодействию J.

Ключевые слова: сильные электронные корреляции, динамическая спиновая восприимчивость, высокотемпературная сверхпроводимость, ¿-./-модель.

1. ВВЕДЕНИЕ

Исходные нелегированные образцы медно-оксидных высокотемпературных сверхпроводников являются антиферромагнитными (АФ) изоляторами, спиновая динамика которых хорошо описывается в рамках квазидвумерной модели Гейзенберга [1]. В то же время природа аномальной спиновой динамики легированных образцов требует дальнейшего изучения [2]. Одной из базисных моделей, предложенных для описания высокотемпературных сверхпроводников, является f- J-модель для плоскости СиОг сверхпроводящих купратов. Эта модель, или ее расширенная версия - t-t'-J-модель, является эффективной моделью для описания низкоэнергетической части спектра возбуждений. Она выводится из модели Хаббарда в пределе большого кулоновского взаимодействия при исключении дважды занятых электронных состояний с высокой энергией. В результате t- J-модель можно записать в виде однозонной модели с помощью проекционных операторов Хаббарда, которые подчиняются более сложным коммутационным соотношениям по сравнению с ферми- и бозе-операторами. Это обстоятельство затрудняет использование стандартной диаграммной техники при изучении t-J-модели. Разные подходы, такие как метод вспомогательных бозонов [3] или фермионов [4], специальная диаграммная техника для операторов Хаббарда [5], были использованы для изучения спиновой динамики в рамках t- J-модели. В методе вспомогательных полей локальное

'Объединенный институт ядерных исследований, 141980, Дубна, Россия. E-mail: plakida@thsunl.jinr.ru

^Институт теоретической физики, Лейпцигский университет, D-04109, Лейпциг, Германия. E-mail:

ограничение на число допустимых квантовых состояний обычно заменяется глобальным, не зависящим от номера узла. Такая замена вносит неконтролируемое приближение в данном подходе. В то же время при использовании операторов Хаббарда такой проблемы не возникает, поскольку локальное ограничение автоматически выполняется. Численные вычисления на конечных кластерах также были использованы для изучения ¿-«/-модели (см. работы [6]).

В настоящей работе изучается спиновая динамика в t-J-модели в парамагнитной фазе с помощью метода функции релаксации [7]-[9] в терминах операторов Хаббарда. В работе [10] в рамках этого метода динамическая спиновая восприимчивость была вычислена в приближении низшего порядка для функции памяти в виде корреляционной функции от операторов тока. Проведенные нами численные вычисления показали, что приближение первого порядка является недостаточным для получения физически разумных результатов для динамической спиновой восприимчивости. (Отметим, однако, недавнюю работу [11], где авторам удалось в этом приближении описать появление несоразмерной магнитной фазы.) Поэтому в данной работе функция памяти вычисляется во втором порядке и при этом выражается через корреляционную функцию сил. Вычисление статической восприимчивости мы провели в приближении среднего поля аналогично работе [12] в рамках теории, предложенной в работе [13].

В предельном случае модели Гейзенберга (t = 0) наши результаты совпадают с представлением динамической спиновой восприимчивости, полученным Церковниковым [9] в методе проектирования для функций релаксации, и с результатом работы [14], полученным с помощью метода проектирования для запаздывающих коммутаторных функций Грина [15] для двухкомпонентной матрицы от операторов спина (5^, iS^ ). Полученное нами выражение для динамической спиновой восприимчивости для обшей t-./-модели согласуется также с результатом работы [16], где был использован стандартный метод проектирования Мори.

Работа построена следующим образом. В разделе 2 вводится формализм метода функции релаксации и находится общее представление для динамической спиновой восприимчивости в терминах функции памяти с помощью проекционной техники типа Мори. В разделе 3 вводится t-J-модель в операторах Хаббарда и вычисляется массовый оператор в приближении взаимодействующих мод. Полученные результаты обсуждаются в разделе 4. В приложениях приводится выражение для оператора силы для спиновых операторов и дается вывод уравнения для статической спиновой восприимчивости.

2. ФОРМАЛИЗМ ФУНКЦИИ РЕЛАКСАЦИИ

Динамическая восприимчивость для спиновых операторов Sf = Sf ± iSf определяется функцией

X(q,w) = -«S+ I Slq»w = - £ exp{-iq. (R, - | S~))u, (1)

R, ,Rj

где ((A | В)} обозначает фурье-образ запаздывающей временной коммутаторной функции Грина [8], [15]:

roo

«A\B))u = -i dte<wt<[A(t),B]), (2)

Jo

4 ТРОПРТИиРГТ^ЙЯ м И^ЯТРИ/ГЯттгоогхгэо Аи^тп/о т 1 /1S V» О ОППС ~

где Imw > 0, A(t) = elHtAe~lHt, (АВ) - статистическое среднее от операторов АВ.

В парамагнитной фазе с нулевой намагниченностью подрешеток среднее от коммутатора ([5г+, 5^]) = 2Sij(Sf) равно нулю. Поскольку эта величина входит в качестве начального значения (í = 0) в уравнение движения для функции Грина (1), удобнее рассматривать уравнение движения для релаксационной функции Кубо-Мори (см.

И, [17]) =

roo

((.А I В))и = -i] dteilJjt(A(t),B), (3)

где (A{t), В) - скалярное произведение Кубо-Мори, определяемое выражением

[A{t),B)= f d\(A(t-iX)B), (4)

Jo

и принята система единиц: h = кв = 1, ¡3 = 1 /Т. Функции Грина (2) и функции релаксации (3) связаны соотношением

Ш{{А\В))ш = {(А\В))^{{А\В))ш^. (5)

В дальнейшем мы также воспользуемся следующими полезными соотношениями, полученными из определений (2)-(4):

(С¿i I В))Ш = ((А I -iÈ))w = {(А I В))Ш, (6)

(iÀ,B) = (A,-iÈ) = ([A,B}), (7)

(А,В) = -((А\В))ш=0, (8)

где i À = idA/dt = [A, H].

Используя приведенные выше определения, мы можем выразить динамическую спиновую восприимчивость (1) через спиновую функцию релаксации Ф^, и) =

((S+ I 51ч))ш:

x(q.w) = хч (9)

где Xq = XÍ4i 0) = (Sq , 5Zq) - статическая спиновая восприимчивость. Используя метод уравнения движения, получим следующую систему уравнений для функции релаксации:

«№l5lq))ùl = X q + ((¿5+|Slq))w, (10)

«((iáÍI5l4))11> = ((¿5+|-<5rq))w. (И)

Здесь мы приняли во внимание, что в последнем уравнении согласно соотношению (7) статическая корреляционная функция (îS+,£Cq) = ([S+,STq]) = (2/VÑ)(S^=0) = 0 в парамагнитной фазе.

Для дальнейших вычислений необходимо применить проекционную технику для разделения когерентных и некогерентных процессов в распространении спиновых флукту-аций. Существует несколько проекционных методов решения этой проблемы. Наиболее

часто используется метод Мори [18], основанный на введении неприводимых операторов и неприводимого оператора Лиувилля для исключения секулярных членов из временных корреляционных функций (см. также монографию [17]). В то время как нахождение неприводимых операторов, основанное на проекционной технике для статических корреляционных функций, достаточно просто, вычисление временной зависимости с помощью неприводимого оператора Лиувилля имеет определенные трудности и иногда приводит к необоснованным результатам (см. работу [19]). Церковников предложил общий метод проектирования для временных функций Грина [8], в котором в качестве скалярного произведения используется исходная временная функция Грина. При таком подходе уравнения для спроектированных функциий Грина удовлетворяют формально точной цепочке уравнений, обрыв которой на некотором шаге позволяет получить приближенное выражение для исходной функции Грина. Этот метод был использован им в работе [9] для вывода динамической спиновой восприимчивости в модели Гейзенберга в парамагнитной фазе.

Здесь мы применим упрощенную версию проекционной техники типа Мори для функций Грина [7], которая использовалась для вывода в модели Гейзенберга уравнения Дай-сона, совпадающего с результатами диаграммной техники [20]. Метод основан на введении неприводимых (irreducible) операторов со скалярным произведением, определенным для статических корреляционных функций. Для учета только спроектированной части временной зависимости корреляционных функций мы определяем собственную (proper) часть матрицы рассеяния, играющую роль массового оператора, который, как и в методе Мори, не содержит функций Грина, описывающих свободное распространение частиц.

Следуя выбранному методу, мы должны спроектировать операторы спинового тока iSq на исходный оператор спиновой плотности, определяя его неприводимую часть с помощью уравнения

z5± = [S±, Я] = + {¿5q }irr, ({г5±Г, 5?q) = 0. (12)

Условие ортогональности для неприводимой части записано для скалярного произведения, определенного как одновремеш^ функция Кубо-Мори (4). Формальное определение неприводимой части дает нам следующее выражение для частоты спиновых флук-

(0)

туации нулевого порядка uiq ':

4 (S$,ST4) Xq

которая равна нулю, поскольку рассматривается в парамагнитной фазе. Следовательно, неприводимые части операторов (12) равны исходным операторам: {¿5q}irr = ¿Sq.

В результате решение системы уравнений (10), (11) для функции релаксации может быть записано в виде

Ф(Ч,ы) = Ф°(Ч,и;) + Ф0(Ч,Ш)Т(д,ы)Ф0(д,Ш), ф°(ч,ш) = *а, (13)

где мы определили матрицу рассеяния первого порядка как релаксационную функцию токов:

Xq

Чтобы учесть только спроектированную временную зависимость корреляционных функций в матрице рассеяния (14), так же, как в методе Мори, мы определяем собственную часть матрицы, не содержащую частей, соединенных одной функцией релаксации нулевого порядка $°(q, ш). Собственная часть определяет функцию памяти М(q, и>) соглас

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»