КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2014, том 59, № 1, с. 11-18
ДИФРАКЦИЯ И РАССЕЯНИЕ ИОНИЗИРУЮЩИХ ИЗЛУЧЕНИЙ
УДК 539.26
ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РЕЗОНАНСНОЙ ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В КОМПЛАНАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ
БРЭГГА © 2014 г. А. П. Орешко
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова E-mail: ap.oreshko@physics.msu.ru Поступила в редакцию 24.01.2013 г.
Развита динамическая теория резонансной дифракции рентгеновского синхротронного излучения в двухволновом приближении в компланарной геометрии Брэгга при больших углах скольжения в совершенных кристаллах. Проводится сравнение результатов кинематической и динамической теории дифракции на примере кристаллов Ge.
DOI: 10.7868/S002347611401010X
ВВЕДЕНИЕ
Резонансная дифракция (РД) рентгеновского излучения (РИ) наблюдается при энергии падающего излучения, близкой к краю поглощения какого-либо элемента, входящего в состав кристалла, и является интенсивно развивающимся методом изучения свойств кристаллов [1, 2]. Метод РД стал более доступным при появлении источников синхротронного излучения, сочетающих большую яркость и высокую степень поляризации излучения с возможностью выбора нужной длины волны.
Так как вблизи краев поглощения величина коэффициента поглощения резко увеличивается, а глубина проникновения излучения в вещество уменьшается, для интерпретации полученных экспериментальных данных по РД используется кинематическое приближение теории дифракции [3]. Однако ряд наблюдаемых явлений [4] не может быть удовлетворительно описан в рамках кинематической теории дифракции, что вызвало необходимость развития динамической теории РД. В то же время вопрос применимости кинематической теории для описания РД остается без внимания.
Впервые попытка описания динамического рассеяния РИ в условиях РД предпринята в [5], где используется подход, основанный на введении амплитуды рассеяния РИ резонансным атомом и рассмотрении процессов многократного рассеяния. В [6] был предложен альтернативный метод описания динамического рассеяния РИ в условиях РД, основанный на решении уравнений Максвелла в среде с периодически меняющейся поляризуемостью.
В настоящей работе теория динамического рассеяния РИ в условиях РД получила дальнейшее развитие.
ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РЕЗОНАНСНОЙ ДИФРАКЦИИ
Основой построения динамической теории дифракции в стационарных кристаллических средах является предположение о том, что материальные константы среды (тензоры диэлектрической 6 и магнитной Д проницаемости) в приближении линейной связи Б = б и В = ДН являются трехмерно-периодическими функциями координат. Вместо тензора диэлектрической проницаемости удобно ввести тензор диэлектрической поляризуемости (ДП) £ (ё = 1 + £), а в немагнитных кристаллах можно положить Д = 1 [7]. В этом случае тензор ДП можно представить в виде разложения по векторам обратной решетки кристалла И (временной зависимостью в стационарных средах пренебрегаем):
В указанном приближении из микроскопических уравнений Максвелла получим систему уравнений для фурье-амплитуд поля в совершенном кристалле с учетом анизотропии, пространственной и временной дисперсии [7]:
1 - (kk)
2
К0
+ Х° (фk)
E (ф k) + -1 ((E (ф k), k), k) +
2
К0
+
XXh (co,k )E (ф k + h) = 0,
(1)
h*0
где Е(ю, к) — фурье-компоненты напряженности электрического поля в кристалле, к0 — величина волнового вектора в вакууме, а общие соотноше-
eL е2 3 М х К ehУ
(hkl) е0 V e3 {¡п 1 ^^^ eh h
Чо\
Рис. 1. Схема расположения единичных ej
0, h
волно-
вых векторов проходящего и дифрагированного qл излучения и вектора обратной решетки Ь, (кк1) — отражающая плоскость.
ния симметрии для величины ДП среды к) рассмотрены в [8]. Второй член (1) учитывает не-поперечность поля.
Решение уравнений (1) с привлечением граничных условий является основной задачей динамической теории дифракции РИ. В традиционной рентгеновской кристаллооптике расчет поляризуемости проводится обычно в приближении сильной связи [8], в котором не учитываются анизотропия и пространственная дисперсия, т.е. поляризуемости Ху считаются скалярами, а поля — поперечными. Однако вблизи краев поглощения явлением анизотропии пренебрегать нельзя. Как было показано в [1], в наиболее общем виде с учетом всех вкладов, возникающих как вблизи, так и вдали от краев поглощения, тензор ДП можно представить в виде
z » . »» v 0 an m
Xij = (Xp + Xp + iXp )Sj + Xü + Xi
(2)
где xp вызван потенциальным вкладом в диэлектрические свойства кристалла; х'р, х'Р — добавки, включающие в себя изотропную часть эффектов
mag
дисперсии и поглощения; хц вызван нерезо-
an
нансным магнитным рассеянием, а х ц — анизотропным резонансным вкладом. Для рентгеновских длин волн можно считать пространственную дисперсию кристалла слабой и воспользоваться разложением тензора ДП по волновым векторам падающей (k) и рассеянной (k') (дифрагированной) волн [1, 7—9]:
X Г(ю>k) = x Г(^) + (X tjM ki + X tjM k) +
+ Xinjl(^)knki + ... .
В силу малости анизотропного вклада в тензор ДП волновые векторы в разложении (3) можно считать волновыми векторами в вакууме [10].
Для нахождения амплитуд электрического и магнитного полей в среде уравнение (1) необходимо дополнить соответствующими граничными условиями, в общем виде состоящими в удовлетворении условий непрерывности тангенциальных составляющих электрического и магнитного полей Е и Н, а также нормальных составляющих векторов электрической и магнитной индукции Б и В [11]. В теории дифракции из условия однородности решения вдоль поверхности эти условия записываются отдельно для проходящих и дифрагированных волн.
Решение задачи динамической теории в наиболее общем случае скользящей некомпланарной геометрии является весьма громоздким. Однако ситуация значительно упрощается в компланарной геометрии — в этом случае собственные поляризации дифракционной и граничной задачи совпадают [3], и граничная задача может решаться в скалярном виде отдельно для а- и п-поляри-заций излучения.
Эксперименты по РД рентгеновского излучения проводятся в двухволновом приближении в компланарной геометрии при больших углах скольжения (в симметричном случае углы скольжения могут достигать единиц и десятков градусов). В таком приближении ситуация еще больше упрощается: в этом случае можно пренебрегать непоперечностью электрического поля в кристалле [12], что позволяет записать систему уравнений (1) в случае двухволновой дифракции в простой координатной форме:
° ejFW _ X0ejFj _ X-hej Fj - 0 °0e0F0 X e0F0 X ehFh - 0,
° ejF j _x0ejF j _XhejF j = 0 °hehFh X ehFh X e0F0 - 0,
(4)
(3)
где скалярные амплитуды, q0 и qh = q0 + Ь волновые векторы проходящей Е 0 = е 0)Е() и дифрагированной Е н = е ^) Е^ волн в кристалле соответственно, е0, н (у = 1, 2) — единичные вектора а- и п-поляризации проходящего и дифрагированно-
113
го излучения (е 0 = е Л), е 0,Л — единичные векторы вдоль направлений q0, к соответственно, а 80> к =
2
= [(q0, л, q0, л)/] — 1. В (4) проводится суммирование по повторяющимся индексам у = 1—3. Схематичное пространственное расположение векторов е0,н и q0, к приведено на рис. 1. Из условия поперечности полей следует, что Е^ = 0. Введем
обозначения С{1) = (е0, е\) = |1(/ = 1); еов29 (/ = 2)}, С(3) = 8т29, где 9 — угол между падающим излучением и отражающими плоскостями (кк1), и полу-
чим следующую основную систему уравнений динамической теории резонансной рентгеновской дифракции:
(5с - Х?1)¿Г - С(1)х-Е1) - Х?2Е02) -
- (С(2)х-, - С(3)х-3А)42) = с,
-С( 1)х?1 ЕС1' + (5, - хС1)- х?2еС2) -
- ( С(2) хС2 - с(3)хСз) 42> = С,
0 р(1) -Ъ-гА!) {Ч 0 \ 1?(2) -Х21Е0 - Х21 Eh + (5о - Х22)Eo -
(г(2) -Ъ „(3) -Ъ. „(2)
- (C Х22 - C Х23 )Eh = 0
(5)
-(С(2)х2*1 - С(3)х, 1)ЕС1' - (С(2)х201 - С(3>хзс1)Е1) -
- (С(2)х22 - с(3)х32)е02) +
+ {(5, - [х202С(2)2 + хСзС(3)2]) +
, Г(2)Г(3)^, 0 , 0 ч ч „(2)
+ С С (х23 + хз2)} Ен =
Отличие системы уравнений (5) от хорошо известной основной системы динамической теории в случае скалярной восприимчивости среды состоит в наличии недиагональных элементов тензора ДП Ху, что приводит к взаимосвязи а- и я-компонент электрического поля, отсутствующей в случае скалярной ДП. В предположении х — скалярная величина, система (5) совпадает с традиционной основной системой уравнений динамической теории [13].
Система основных уравнений имеет нетривиальное решение только в случае равенства нулю детерминанта этой системы
det A = 0,
(6)
где А — матрица коэффициентов а у (5). Дисперсионное уравнение (6) позволяет с привлечением граничных условий для волновых векторов на границе раздела сред найти комплексные величины волновых векторов д0, ь в кристалле и тем самым рассмотреть процессы динамического дифракционного рассеяния рентгеновских лучей.
Как следует из (5), амплитуды проходящих и дифрагированных волн в кристалле связаны соотношениями
т-гСТ тлО т-гСТ ггЛ тлП т-гЛ т-гЛ тлОЛ riO /П\
Ehj = KhjE 0 j, Ehj = KhjE 0 p E0 j = R jE0 j, (7)
где
CT 2 1/2
Rlj = [-Cij + (Clj - 4C2jC0j) ]/[2C2j],
Rhj = -[ b21j + bujRhj ] / [ b23 + b24jRj ],
R0j = -[a21 + a22jRhj]/[a23 + a24Rj] ,
и введены обозначения
b11j = a11Ja23 — a21a13, b12j = a23a12 — a22ja13, b13j = a11ja24 — a21a14, b14j = a12a24 — a22ja14, b21j = a31a23 — a21a33j, b22j = a32a23 — a22ja33j, b23 = a31a24 — a21a34, b24j = a32a24 — a22ja34, c0j = b11jb23 — b13jb21j, c1j = b11jb24j + b12jb23 — b13jb22j — b21jb14j, c2j = b12jb24j — b14jb22j
Вдали от условий резонанса, в случае, когда недиагональными элементами тензора ДП можно пренебречь, соотношения (7) принимают вид
Rj = a11j/a12, = - a33j/a34, R0 = 0,
что совпадает с результатами традиционной динамической теории.
Из граничных условий следует, что волновой вектор проходящей в среде волны q0 получает приращение только вдоль нормали к поверхности (направленной в глубь среды) n, т.е.
qo = ko + fc^n, (8)
где е — так называемая аккомодация, подлежащая дальнейшему определению, а k0 — волновой вектор падающей на кристалл волны.
Дисперсионное уравнение (6) является уравнением четвертой степени относительно величины аккомодации е. Тем самым внутри кристалла могут распространяться четыре п
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.