ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА РАН Том 7, № 4, 2011, стр. 5-10
МЕХАНИКА
УДК 539.3
ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОГО СЛОЯ
© 2011 г. М.О. Леви1
Рассмотрена динамическая связанная задача о гармонических колебаниях электромагнитоупругого слоя под действием осциллирующей нагрузки при различных электрических и магнитных условиях на его гранях. Поверхность слоя предполагается свободной от механических напряжений, нижняя грань слоя жестко защемлена. Для случая сдвиговых колебаний построена функция Грина среды, исследовано влияние различных магнитных и электрических условий для верхней и нижней грани слоя на его дисперсионные свойства.
Ключевые слова: динамика, электромагнитоупругость, магнитное поле, сдвиговые волны, функция Грина, дисперсионные свойства.
ВВЕДЕНИЕ
В работе [1] исследовано взаимодействие упругих и магнитных полей в электрических проводниках. В монографии [2] дан вывод основных уравнений электромагнитоупругости, изложены методы их решения. В [3] выведено представление функции Грина для полупространства, но не были исследованы влияния магнитных условий на среду. В работе [4] была рассмотрена задача распространения БИ-волн в электромагнитоупругой гетероструктуре для материалов класса 6тт, выведены дисперсионные соотношения и получены графики скоростей. В настоящей работе в рамках теории распространения электромагнитоупругих волн, следуя подходам, изложенным в [5-8], развивается эффективный метод исследования дисперсионных свойств электро-магнитоупругого слоя при разных граничных условиях для материалов с осевой симметрией 2тт.
1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОЙ СРЕДЫ
Колебания электромагнитоупругой среды описываются уравнениями движения и уравнениями Максвелла
а2 u
V ■ T = р-
dt
V • D = 0,
V • B = 0.
2 '
(1.1)
(1.2) (1.3)
Здесь u - вектор перемещений среды, р - плотность материала, T - тензор механических напря-
жений, D и B - векторы индукции электрического и магнитного полей соответственно. Их компоненты имеют вид (I, ], к, I = 1, 2, 3)
6у = с]1к! ^к! - е1]кЕк - А]кНЪ
Т\ 9 I -^S, 0 Г7
Di = eiklskl + ej Е
ij j
Bt = f0klski + g%0Ej +
S,i
gs Hj,
ns,0 H nij Hj.
В матричном представлении уравнения движения (1.1)—(1.3) имеют вид
1 Южный научный центр Российской академии наук, 344006, Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41; тел. (863) 250-98-10, e-mail: levi@ssc-ras.ru
c -e -f
„г
fT g
f g n
X
c11 c 12 c13 c12 c22 c23 c13 c 23 c33 0 0 0
0 0 0
0 c44 00
0 0 0 0
c 55
0 0 0 c 66
0 0 e 31 0 0 f31
0 0 e32 0 0 f32
0 0 e33 0 0 f33
, f=
0 e24 0 0 f24 0
e15 0 0 f15 0 0
0 0 0 0 0 0
c
e
£
£11 0 0 П11
0 е22 0 п = 0
0 0 £ 33 0
g 11 0 0 "
% = 0 g22 0
0 0 gзз _
0
П22 0
0 0
Пзз
А.. ё 24 А
ё15 = ё15 $ ? С 44 = ё24 $ 9 С44
/. ? С44 _к1. / 9 С44 л
/15 = ~ /15 $ /24 = /24 $
£ '11 = £ 11 $ ? С44 £ 22 = £ 22 ' С44
П11 = /. П'22 . /
П11 $ ? С44 = П22 С44
g '11 = $ ккИ. g 22
^11 С44 = g22 $ 9 С44
к = 1, р' = 1, ~
У,
8еГ
К = 1010 Н/Кл,
/ = 107 м/А, ке = 109 В • Кл/м2 • с.
| |, | х3 | < з; 0 < х2 < к, выполненном из материала класса 2тт. В уравнениях (1.1)—(1.3) необходимо положить
u,
u 2
0,
8x1
= 0; un = un(xl, x2), (2.1)
где Т = Т Т2, Tз, T4, Т5, ^ и 8 = ф, ^ ^з, S^, S5, S6} - компоненты тензоров напряжений и деформаций второго порядка (используется система обозначений Фойгта), Б и В - векторы электрической и магнитной индукции, Е и Н - векторы напряжения электрического и магнитного полей, с, е, ¿, £, п, § - упругие, пьезоэлектрические, пьезомагнитные, диэлектрические, магнитной проницаемости и магнитоэлектрические коэффициенты соответственно.
Далее перейдем к безразмерным параметрам, используя соотношения
^ S2 Sз S6 0;
компоненты уравнений движения (1.1) (1.2) (1.3) примут вид
Т4 С44 $ и3,2 Ьё24 Ф,2+/24 $ },2, (2.2)
Т5 = С55 $ и3,1 Ьё15 Ф,1+/15 $},1, (2.3)
Dl = ё 15 и3,1 " -£11 Ф,1 - g 11 $},1, (2.4)
D 2 = ё 24 и3,2 - £22 Ф,2 - g22 ^ (2.5)
В1 = /15 $ и3,1 - gl1 Ф,1 - П11 $},1, (2.6)
В 2 = /24 $ и3,2 - g22 Ф,2 - П22 $ },2, (2.7)
Т = Т2 = Tз = Т6 = 0, D3 = B3 = 0.
Здесь {1 = E1, { 2 = E2, } 1 = H1, }2 = H2. Подставляя выражения (2.2)-(2.7) в уравнения движения (1.1)—(1.3), получаем
8
дx1
(С55 •Uз)l+ £15 •ф,1+/15 $},0 +
д / ^ д2 и 3
(С44 $ и3,2 + £24 $ Ф,2 +/24 $ },2) = Р '
дх
дг1
(2.8)
д
дх1
д
дх2 д
дх1
(ё15 $ и3,1 - £ 11 $ф,1 - gll ,1) + (ё24 $ и3,2 - £22 $ Ф,2 - g22 $ },2) = 0 (2.9) ■(/15 $ и3,1 - gll $ Ф,1 - П11 $ },1) +
д
Здесь У,е{ - скорость сдвиговой волны в электро-магнитоупругой среде, кё, к/ kg - обезразмерива-ющие константы. Линейные параметры отнесены к характерному размеру задачи, плотность - к характерной плотности среды. Поскольку колебания предполагаются установившимися, происходящими по гармоническому закону, все функции представляются в виде Г = Г0ё~тГ. Далее экспоненты и штрихи опущены.
2. ЗАДАЧА О СДВИГОВЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОГО СЛОЯ
Рассмотрим задачу о распространении сдвиговых волн в электромагнитоупругом слое
+ — ( /24 $ и3,2 - g22 $ Ф,2 - П22 $ },2) = 0. (2.10)
дх2
Введем обозначения:
д2 д2
дх 1 дх 2
с = {c55, c44}, е = {ё^ ё24};
Г = {/l5, /24}; £ = £22}; § = {gll, ^1};
п = {П11, П22}; и = щ
и запишем уравнения (2.8)-(2.10) в виде
Д $ (си + еп + Г}) = - Р~2 и, Д $ (еи - £п - §}) = 0, Д $ (¿и - - П}) = 0.
(2.11)
2
3. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Рассмотрим колебания слоя, нижняя грань которого жестко защемлена, верхняя грань свободна от механических напряжений. Колебания в слое инициируются осциллирующей нагрузкой д(х1, г) = д0(х1)ё-,"г, распределенной в области | Х' | < а (д = {^3, ^5}; здесь q3 - компонента вектора механической нагрузки, q4 - электрическая нагрузка, q5 - магнитная нагрузка). Вне области | Х' | < а поверхность свободна от механических напряжений.
Граничные условия имеют вид
>4 = 0, и3 = 0,
Х 2 = 1: • D 2 = Г(Х'), х 2 = 0: • D1 = 0, (3.1)
}2 = 0; В2 = 0;
>4 = 0, и3 = 0,
х 2 = 1: • D 2 = Г(Х'), х2 = 0: • D1 = 0, (3.2)
В 2 = 0; }2 = 0;
>4 = 0, и3 = 0,
х2 = 1: • D 2 = Г(Х'), х2 = 0: • D1 = 0, (3.3)
В2 = 0; В2 = 0;
>4 = 0, и3 = 0,
х2 = 1: • D 2 = Г(Х'), х 2 = 0: • D1 = 0, (3.4)
} 2 = 0; } 2 = 0.
д2 и 2
дх'
5ф 2 , д } 2 -+ £24$-Г+/'5$ (-а г})+/2 " ......
дх2 т/ 724 дх2
д2 и3 2 д2 Ф
-рм и3,
ё 15$ (-а и3)+ ё24
2-\, д и 3 / 2 - \ Я'"
4 1 - - £ 11$ (-а Ф)-£22'
дх 2
- gll $ (-а2г}) - g22
д2 г} дх 2
дх 2
-Ах'), (4.1)
/'5$ (-а2 и3)+/24
д2 и
3 - g 11 $ (-а2 Ф )-
дх 2
д2Ф , 2 Тч д2}
- g22--- - П11 $ (-а г}) - п22--2"
дх2 дх2
= 0.
Решение нашей краевой задачи будем искать в виде (к = 1, 2, 3)
3
и 3(а, х 2) = / У3к [ Ск сЬ О кх 2 + Ск+3эЬ
к =1
3
Ф(а, х2) = / у4к [СксИОкХ2 + Ск+3 эИОкХ2], (4.2)
к =1
3
г}(а,Х2) = / у5к[СксИОкХ2 + Ск+3эИОкХ2],
к =1
где ок является решением характеристического уравнения
Здесь ф2 и }2 - электрический и магнитный потенциалы соответственно.
Далее будем считать, что граница является магнитно открытой при заданном значении потенциала }2 = 0; граница является магнитно замкнутой при В2 = 0. Во всех задачах верхняя граница является электрически открытой при заданном значении D2 = Г(Х'), механические напряжения отсутствуют (Т4 = 0). На нижней границе слоя смещения и электрическая индукция равны нулю (и3 = 0, D2 = 0).
4. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
После применения к системе уравнений (2.11) преобразования Фурье по координате Х' (а - параметр преобразования Фурье; -ди = 1а и,
С 44 О 2- С55а2 + рм2 ё24 О2- ё 15 а 2 /24 О2- /15а2 ё24 О2- ё 15 а 2 -£ 22 О 2 + £ 11 а2 ^22 О2 + g11 а2 /24 О 2 - /15 а2 ^ 22 О 2 + g 11 а2 -П22 О2+ п 11а2
= 0.
- а и), получим систему обыкновенных
дх'
дифференциальных уравнений:
2 - д и/ 3 2 -
С55 $ (-а и3)+ С44--- + ё 15 $ (-а Ф ) +
дх 2
(4.3)
Неизвестные урк (к = 1, 2, 3) являются нетривиальными решениями системы
(с44б2 - С55а2+ Р~2)у3к + (ё24О2 - ё 15а2)У4к + + (/24О2- /'5а2)у5к = 0,
(ё24О2 - ё 15а2)у3к + (-£22О2 + £'1 а2)у4к +
+ (-g 22 О 2+ g Па 2)у 5к = 0, (/24О2 - /'5а2)у3к + (-g22О2 + g 11 а2)у4к +
+ (-П 22 О2 + п 11 а2)у 5к = 0.
Для отыскания неизвестных коэффициентов Ск подставим представление решения (4.2) в граничные условия (3.1)-(3.4). Получим систему линейных алгебраических уравнений, которую можно записать в матричном виде:
А • С = О, (4.4)
где С = {С1, С2, С3, С4, С5, С6} - искомые коэффициенты, О = {^3, Q4, Q5, 0, 0, 0} - компоненты вектора нагрузки.
Матрица А для задачи (3.3) будет иметь вид
А =
/ц51 112^2 кзяз /цС1 ^12с2 късъ
¡22^2 къИъ к1с1 ¡22С2 късъ
У51-У1 У52^ У51С1 У52с2 Лзсз
У31 У32 Узз 0 0 0
У 41 УА2 У43 0 0 0
У 51 У52 У53 0 0 0 (4.5)
где
11к = С44 у3к + е24 у4к + 24 у5к 12к = е24 у3к _ £22 у4к _ §22 у5к 13к = ^24 у3к _ §22 у4к _ П22 у5к
Яр = ^Чвр^ Ср = ^рСН^рк).
Для задач с магнитно открытой поверхностью на верхней границе слоя третья строчка матрицы А изменяется на
[131Я1
132Я2
/33^ 3
131С1
132С2
/33С3].
Для задач с магнитно открытой поверхностью на нижней границе слоя шестая строчка матрицы А изменяется на
[0 0 0 У51V У52^2 У53^3]. Дисперсионное уравнение задачи имеет вид
ае1(А) = 0.
Решая систему (4.4) относительно Сь получаем формулы (к = 1, 6)
А lkQ 3+ А2 кQ 4 + AзkQ 5
Ск = ■
А0
(4.6)
где А0 = det А, Ак - алгебраическое дополнение элемента матрицы А с номером 1к.
С учетом выражений (4.2), (4.5) и (4.6) решение краевых задач (3.1)-(3.4) представляется в виде
и(х 1, х2) = | к(х 1 - Р, х2, м))dp, (4.7) г
к(я, х2, м) = У К(а1, х2, м)е-,а1 sda 1. (4.8)
тов матрицы-функции К(а1, х2, м) на вещественной оси.
К(а^ ^ м) = II Ктп \ \ш,п = 3,4,5 - матрица-функция
размера 3 х 3 с элементами:
К33 = А01 / N
к =1 3
К35 = А01 / N
к =1 3
К44 = А 01 / N
к =1 3
^ = А01 / N
31 к,
33к,
4 1 к,
51 к,
К34 = А01 / N
к =1 3
K43 = А 01 / N
к =1 3
К45 = А 01 / N
к =1 3
К54 = А-1 / N
32к,
4 1 к,
4 1 к,
51 к,
к =1
к =1
^ = А-1 / N
31 к,
к =1
Кк = /тк (А nk сЬ бкХ 3+ ап, к+3»Ь бкХ з), т = 3,4,5.
5. ДИСПЕРСИОННЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОГО СЛОЯ
Представления (4.7) и (4.8) описывают перемещения, электрический и магни
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.