АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 2, с. 173-176
^=ФИЗИЧЕСКАЯ АКУСТИКА =
УДК 534.64:5767
ДИНАМИЧЕСКАЯ ЖЕСТКОСТЬ БИОЛОГИЧЕСКИХ ТКАНЕЙ В МОДЕЛИ С ЗАДАННЫМИ СМЕЩЕНИЯМИ НА ПОВЕРХНОСТИ ПОЛУПРОСТРАНСТВА
© 2007 г. Е. М. Тиманин
Институт прикладной физики РАН 603950 Н. Новгород, ГСП-120, ул. Ульянова 46 E-mail: eugene@appl.sci-nnov.ru Поступила в редакцию 08.12.05 г.
Приводятся результаты разработки модели формирования динамической жесткости биологических тканей, регистрируемой в экспериментах по вдавливанию в ткани перпендикулярно поверхности круглого плоского колеблющегося диска при наличии контакта с поверхностью не только диска, но и неподвижного корпуса измерительного устройства. Записаны аналитические выражения в виде квадратур для динамической жесткости тканей в модели полупространства, на поверхности которого заданы смещения. Выполнены численные расчеты и установлено соответствие эксперименту эффектов, связанных с фиксацией поверхности тканей корпусом измерительного устройства.
PACS: 43.80.-n, 43.40.Yq, 87.19.Rr.
В связи с активным развитием в последние годы ультразвуковых и ЯМР способов визуализации сдвиговых упругих параметров биологических тканей [1, 2] наблюдается повышенный интерес к различным контактным способам измерения модулей сдвиговой упругости и сдвиговой вязкости тканей, в том числе, к способам их определения на основе регистрации механических передаточных (импедансных, жесткостных) характеристик методом вдавливания колеблющегося штампа (диска) [3, 4]. Для определения вязкоупругих модулей тканей по их импедансным характеристикам необходима физическая модель взаимодействия колеблющегося диска с тканями, воспроизводящая экспериментально наблюдаемые свойства. К настоящему времени можно выделить три основных подхода к разработке таких моделей. Первый подход [3-6] основан на приближенной замене импеданса тканей при взаимодействии с круглым, плоским в плане поршнем, колеблющимся на поверхности, на импеданс тканей при взаимодействии с эквивалентной сферой, колеблющейся внутри безграничной среды. Второй подход [7-9] основан на строгой постановке динамической контактной задачи о колебаниях диска на поверхности тканей со смешанными граничными условиями на поверхности. Третий подход [4, 10-14] связан с постановкой этой динамической контактной задачи в приближении силового источника.
Все перечисленные выше модели соответствуют экспериментальной ситуации, когда колеблющийся поршень с плоским основанием касается
поверхности объекта по кругу фиксированного радиуса, вне которого поверхность является свободной. В экспериментах возможна ситуация, когда тканей касается не только колеблющийся диск, но и окружающий его неподвижный корпус измерительного устройства. Такая измерительная схема дает определенные преимущества, так как позволяет крепить датчик не на внешние координатные устройства, а непосредственно на исследуемый объект (тело человека). При этом снижаются ограничения на движения человека, и легче обеспечивается стабильность контакта штампа с тканями. Данная работа посвящена теоретическому рассмотрению такой измерительной схемы.
Если модели с силовым источником колебаний [4, 10-14] основаны на задании на поверхности тканей граничных условий по напряжениям (нулевые вне диска и ненулевые под ним), то описание измерительной схемы с контактом корпуса устройства вне диска может быть проведено при задании на поверхности тканей граничных условий по смещениям (нулевые вне диска и ненулевые под ним).
Общее выражение для силы реакции тканей, действующей на диск радиуса а, может быть записано в виде
F = jozz(r, 0)2пrdr = 2njozz(k, 0)kdk x
0 0 a ^
xjJ0(kr)rdr = 2najazz(k, 0)J1 (ka)dk.
a
0
0
Здесь к - параметр преобразования Ханкеля; ^(ка) и ^(ка) - функции Бесселя; (к, 0) - образ Ханкеля от напряжения с22(г, г) на поверхности г = 0.
Общие соотношения для образов Ханкеля от смещений в многослойной упругой среде приведены в работе [15]. Система граничных условий на поверхности полупространства г = 0 из них записывается в следующем виде:
- к2А2(к) - щБ2(к) = й°(к, 0), - кк;А2(к) - кБ2(к) = й1г(к, 0) = 0.
(2)
Здесь А2(к) и Б2(к) - произвольные функции, которые входят в общее решение волнового уравне-
ния; параметр к; = ^к - к1 определяется волновым числом волн объемной сжимаемости к;
й (к, 0) и йг (к, 0) = 0 - образы Ханкеля 0-го и 1-го порядка от осевых и радиальных компонент смещений поверхности. Осевые компоненты будут приниматься отличными от нуля под диском, а радиальные смещения будут считаться равными нулю на всей поверхности.
Общие соотношения для образов Ханкеля от напряжений в многослойной упругой среде также приведены в работе [15]. Выражение для образа напряжения на поверхности полупространства отсюда записывается в виде
огг(к, 0) = 2цк2к,А2(к) + |(к2 + к2)Б2(к), (3)
где | - модуль сдвига среды; параметр к = ^к^-к2: определяется волновым числом волн сдвига к. Подставляя в (3) решение системы уравнений (2) и подставляя результат в формулу (1), получаем для силы реакции следующее выражение:
F =
2 п а||
К(К2 к)(ка)й°(к, 0)ёк. (4)
к - К; к(
Осевые смещения поверхности полупространства могут быть заданы аналитически, например, в следующем виде
йг ( Г, 0 ) =
й
1 + 008
й0, г < а,
п(г-а)
Ь - а
0, г > Ь.
а < г < Ь,
(5)
Такая функция обеспечивает плавное сопряжение амплитуды колебательного смещения й0 в области под диском радиуса а с нулевым колебательным смещением под неподвижным корпусом с внутренним радиусом Ь. Зона сопряжения а < г < Ь соответствует воздушному зазору между колеб-
лющимся диском и корпусом, который будет считаться малым по сравнению с радиусом а.
Расчеты динамической жесткости тканей К = = F/й0 проведены по формуле (4) численно, включая вычисления образов Ханкеля й° (к, 0) от функции (5). Результаты приведены на рис. 1а, 16 вместе с результатами аналогичных расчетов в модели с силовым источником колебаний. В рассматриваемой измерительной схеме предсказывается увеличение действительной части жесткости (кеК) в низкочастотном диапазоне, увеличение крутизны частотной зависимости кеК и снижение демпфирования (1т К/ю).
Для сопоставления, на рис. 1в, 1г приведены результаты соответствующего эксперимента на бицепсе средствами аппаратно-программного комплекса, описанного в работе [14]. Использовался датчик импедансных характеристик с плоским основанием в виде кольца с внутренним диаметром 8.5 мм и внешним диаметром 40 мм. В центре отверстия в основании имелся колеблющийся диск диаметром 8 мм, который в одном случае значительно выступал из корпуса, а в другом имел контактную поверхность на уровне поверхности основания. В обоих случаях обеспечивалась одинаковая статическая сила давления диска на ткани, равная 0.2 Н и задавались его шу-моподобные колебания амплитудой около 0.1 мм со спадающим спектром смещений, лежащим в диапазоне частот от 30 до 300 Гц. Регистрировались спектры ускорения диска и силы сопротивления его движению со стороны тканей, по которым находились частотные зависимости динамической жесткости тканей.
Видно хорошее качественное соответствие рассчитанных и экспериментальных эффектов. Увеличение действительной части жесткости на низких частотах можно интерпретировать как затруднение деформирования среды при наложении ограничений на смещение ее поверхности вне диска. Увеличение крутизны частотной зависимости Яе К, соответствующее увеличению присоединенной к диску колеблющейся массы тканей, является несколько неожиданным, но наблюдается и на теоретических, и на экспериментальных графиках. Уменьшение демпфирования на теоретическом графике можно интерпретировать как уменьшение потерь энергии на излучение волн колеблющимся диском, по-видимому, за счет поверхностных волн, которые гасятся при появлении контакта корпуса с тканями. Излучение волн объемной сжимаемости здесь не может быть существенным, поскольку длина их волны в диапазоне частот 30-300 Гц изменяется от 50 до 5 м, что существенно превышает не только размер источника колебаний, но и всего исследуемого объекта. Длина волны сдвиговых и поверхностных волн в поверхностных тканях тела человека при-
0
ДИНАМИЧЕСКАЯ ЖЕСТКОСТЬ БИОЛОГИЧЕСКИХ ТКАНЕЙ
175
Динамическая жесткость тканей при взаимодействии с колеблющимся диском на поверхности. (а), (б) - расчет в модели полупространства с заданием напряжений (1) и смещений (2); (в), (г) - соответствующие экспериментальные зависимости.
Параметры модели, принятые при расчетах: р = 1100 кг/м3; С\ = 1570 м/с; ц = + где Мю = 1.945 кПа, п = 1.906 Па с; а = 4 мм; Ь = 4.2 мм.
мерно на 3 порядка меньше, то есть изменяется от 50 до 5 мм. Это уже сопоставимо с размерами исследуемого объекта и источника колебаний, что обеспечивает возможность их излучения. Применимость модели полупространства к бицепсу можно ожидать постольку, поскольку сдвиговые волны сильно затухают и их переотражение от границ объекта не должно играть существенную роль. На экспериментальных графиках эффект уменьшения демпфирования проявляется на низких частотах, но его частотная зависимость оказывается более крутой. По-видимому, за счет торможения поверхности рядом с источником колебаний все-таки происходит не только гашение поверхностных волн, но и улучшение условий излучения других типов волн (возможно, слоевых мод), не учитываемых в модели полупространства.
Таким образом, при измерении динамической жесткости тканей датчиками с колеблющимся штампом, не выступающим из корпуса, существуют значимые эффекты, связанные с влиянием корпуса. Для оценок модулей упругости и вязкости по результатам таких измерений необходимо использовать модели, учитывающие это влияние. В частности, может быть использована и модель, предложенная в данной работе.
Программное обеспечение аппаратно-программного комплекса, средствами которого получены приведенные экспериментальные данные, разработано Е.В. Ереминым.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ophir J., Alam S.K., Garra B, Kallel F, Konofagou E., Krouskop T, Varghese T. Elastography: Ultrasonic estimation and imaging of the elastic properties of tissues // Proc. Inst. Mech. Eng.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.