ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 3, 2004
УДК 531.8(075.8)
© 2004 г. Алюшин Ю.А., Волков А.Э., Рыкунов Д.А.
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В КРИВОШИПНО-ПОЛЗУННЫХ
МЕХАНИЗМАХ
Проведен кинематический анализ кривошипно-ползунных механизмов с описанием движения в форме Лагранжа. Приведены соотношения для расчета координат, компонент скорости и ускорения любых частиц, заданных их начальными координатами. Подробно рассмотрены особенности изменения скорости ползуна, плоскость скольжения которого может быть смещена относительно оси кривошипа, вблизи плоскости симметрии его возможного движения. Выявленные эффекты можно использовать в прессах и машинах специального назначения.
Кривошипно-ползунные механизмы находят широкое применение в компрессорах, прессах, металлорежущих станках и других машинах. Их кинематический и динамический анализ подробно описан в учебной и периодической литературе [1-3]. В данной работе основное внимание уделено исследованию максимально возможных динамических эффектов, в частности характера изменения скорости и ускорения ползуна в окрестности оси, проходящей через ось кривошипа ортогонально направлению его движения, когда оси шарниров кривошипа, шатуна и ползуна находятся в одной плоскости, а расстояния между осями шарниров удовлетворяют условию H = L1 - L2 (рис. 1, а).
Уравнения движения в форме Лагранжа для частиц кривошипа OA имеют вид [4]
х = а cos (ф - ф0) - в sin (ф - ф0), у = а sin (ф - ф0) + в cos (ф - ф0), (1)
где а, в - лагранжевы координаты точек, в качестве которых приняты их начальные значения при t = t0, когда x = х0 = а, у = у0 = в, ф = ф0.
Дифференцируя уравнения (1) по времени, находим соотношения для компонент скорости xt = -ф^ sin^ - ф0) + в соэ(ф - ф0)] = -фу, yt = ф^ соэ(ф - ф0) - в sin^ - ф0)] = = фх и ускорения xtt = -фу, - фйу, у„ = фЛ + ФtX, где фр фи - угловые скорость и ускорение кривошипа, соответственно.
Уравнения для координат, компонент скорости и ускорения частиц шатуна AB имеют вид
х = xA + (а - аА) cos Ay - (в - в A) sin Ay, у = уА + (а - аА) sin Ay + (в - в A) cos Ay,
xt = (xt) A - у, (у - у A ) > у{ = (у{) A + у, (x - XA ) > (2)
xtt = (xtt) A - y tt( у - у A ) - у, [ Уt - ( Уt) A]' у« = (у«) A + y tt( x - xA ) + У t [ xt - ( xt) A] •
Координаты частиц ползуна определяют уравнения x = xB + а - ав, у = ув + в - вВ, а компоненты скорости и ускорения совпадают с вычисленными по соотношениям (2) для оси шарнира В.
Уравнение кинематической связи L1 sin ф + L2sin y = H позволяет определить зависимость между углами наклона кривошипа и шатуна
sin y = (H - L:sin ф) / L2, (3)
x O
а также между их угловыми скоростями и ускорениями
¥ t = ф
L^os ф tL2cos ¥'
¥ tt = ф«
L1 cos ф
т - фt т
L2cos¥ L2cos¥
2Li sinф
+ ф y¥t ■
--1 cos ф sin ¥
: 2 • 2 cos ¥
(4)
Отметим, что уравнение (4) имеет два решения (¥ и ¥' = п - ¥), соответствующих двум вариантам сборки механизма (положение шатуна для второго варианта на рис. 1, а показано пунктиром). В дальнейшем рассмотрим первый вариант сборки в области х > 0 и возможность реализации обоих вариантов при х < 0. С точки зрения поставленной задачи основное внимание уделено изменению горизонтальных компонент скорости и ускорения точки А: (х,)А = -фуА, (хй)А = -фДу)А - фу и точки В: (х,)в = (х,)А - ¥^Ув - Уа), (х„)в = (х„)а - ¥а(Ув - Уа) - ¥1(Уг)в - (у)а]. С учетом первого соотношения (4) между угловыми скоростями для компоненты скорости в точке в получаем
(х}в = (х)А + фув - >• (5)
Приведенные уравнения определяют основные кинематические характеристики частиц механизма при любых углах наклона кривошипа и соотношениях геометрических размеров.
Уравнения для компонент ускорения точек, в связи с их громоздкостью, записаны только для ф = п/2, когда вертикальная компонента скорости точки А равна 0: (хи)А = = -фяУА, (х»)в = (хй)А - ¥ п(Ув - УА). Отсюда следует, что в точке А ускорение не зависит от угловой скорости, а в точке в, в особенности за счет второго и третьего слагаемых второго уравнения (4), обращается в
В табл. 1 приведены результаты расчета по формуле (5) для несимметричного относительно плоскости х = 0 изменения скорости (х)в, так как при переходе к углу ¥' = п - ¥ в области ф > п/2 они совпадают с приведенными в таблице для области ф < п/2.
Для скорости в точке в при Н = Ь1 - Ь2, ф = п/2 получаем
(*t)
в\ ф = П/2
^t L1
1 + cos ф
cos ¥
(6)
и в связи с неопределенностью типа 0/0 поведение функции требует более детального исследования. Отметим, что расчет по уравнению (5) с помощью электронных таблиц Excel при ф = п/2 не приводит к неопределенности (табл. 1). Вместе с тем удвоение скорости ползуна по отношению к скорости оси шарнира A для любых соотношений H/L1 вызывает сомнение. Численный анализ показывает, что, судя по характеру изменения функции на интервале 45° < ф < 85° и 95° < ф < 135°, предел
lim (cos ф/cos¥) = ± 1 маловероятен (табл. 2).
ф ^ п/2
Для раскрытия неопределенности
lim (cosф/cos¥) преобразуем отношение ко-
ф ^ п/2
синусов к виду
cos ф/cos ¥ = cos ф/^1 - [(L1 sin ф - H)/(L1 - H )]2
22
= (L1 - H) cos фЦL1cos ф -2L1H(1 - sin ф)
y
O
x
ф= 45° 50° 60° 70° 80° 85° 90° 95° 100° 110° 120° 130° 135°
Скорость (x,)A точки A при L1 = 10 и ф, = 1
(x)A= -7,07 -7,66 -8,66 -9,40 -9,85 -9,96 -10,00 -9,96 -9,85 -9,40 -8,66 -7,66 -7,07
Скорость (xt)B точки B при L1 = 10 и ф, = 1 при различных H
H = -8 -17,90 -19,00 -20,88 -22,28 -23,13 -23,34 -20,00 3,42 3,43 3,48 3,56 3,68 3,76
H = -6 -17,09 -18,20 -20,10 -21,50 -22,36 -22,58 -20,00 2,65 2,66 2,71 2,78 2,88 2,95
H = -4 -16,21 -17,33 -19,25 -20,67 -21,54 -21,76 -20,00 1,83 1,84 1,88 1,93 2,01 2,06
H = -2 -15,24 -16,38 -18,33 -19,77 -20,66 -20,88 -20,00 0,96 0,96 0,98 1,01 1,06 1,09
H = -1 -14,71 -15,87 -17,84 -19,30 -20,19 -20,41 -20,00 0,49 0,49 0,50 0,52 0,55 0,57
H = 0 -14,14 -15,32 -17,32 -18,79 -19,70 -19,92 -20,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
H = 1 -13,53 -14,73 -16,77 -18,26 -19,18 -19,41 -20,00 -0,51 -0,52 -0,53 -0,55 -0,59 -0,61
H = 2 -12,87 -14,10 -16,17 -17,70 -18,63 -18,87 -20,00 -1,06 -1,07 -1,09 -1,15 -1,22 -1,28
H = 4 -11,28 -12,61 -14,83 -16,44 -17,42 -17,66 -20,00 -2,26 -2,28 -2,36 -2,49 -2,71 -2,86
H = 6 -9,04 -10,59 -13,11 -14,90 -15,97 -16,24 -20,00 -3,69 -3,73 -3,90 -4,21 -4,73 -5,11
H = 8 -3,36 -6,55 -10,41 -12,74 -14,05 -14,37 -20,00 -5,56 -5,65 -6,06 -6,91 -8,77 -10,78
Таблица 2
ф= 45° 60° 75° 85,0° 86,0° 87,0° 88,0° 89,0° 89,5° 90° 95° 100°
Отношение косинусов углов при указанных углах кривошипа и величинах Н
H = -8 1,29 1,32 1,34 1,341 1,341 1,341 1,342 1,342 1,342 1,00 -1,34 -1,34
H = -6 1,23 1,25 1,26 1,264 1,265 1,265 1,265 1,265 1,265 1,00 -1,26 -1,26
H = -4 1,16 1,17 1,18 1,183 1,183 1,183 1,183 1,183 1,183 1,00 -1,18 -1,18
H = -2 1,08 1,09 1,09 1,095 1,095 1,095 1,095 1,095 1,095 1,00 -1,10 -1,09
H = -1 1,04 1,05 1,05 1,049 1,049 1,049 1,049 1,049 1,049 1,00 -1,05 -1,05
H = 0 1,00 1,00 1,00 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,00 -1,00 -1,00
H = 1 0,96 0,95 0,95 0,949 0,949 0,949 0,949 0,949 0,949 1,00 -0,95 -0,95
H = 2 0,91 0,90 0,90 0,895 0,895 0,895 0,894 0,894 0,894 1,00 -0,89 -0,90
H = 4 0,82 0,79 0,78 0,775 0,775 0,775 0,775 0,775 0,775 1,00 -0,78 -0,78
H = 6 0,73 0,67 0,64 0,633 0,633 0,633 0,633 0,632 0,632 1,00 -0,63 -0,64
H = 8 0,80 0,53 0,46 0,449 0,448 0,448 0,447 0,447 0,447 1,00 -0,45 -0,45
и перейдем к дополнительному углу £ = (п/2) - ф
I 2 2
cos ф/cos у = (L1 - H) sin £/^L^in £ -2 L1 H( 1 - cos £).
При ф ^ п/2 имеем £ ^ 0. Для малых значений £ можем воспользоваться первыми членами разложения тригонометрических функций в ряд sin £ = £, cos £ = 1 - £2/2. В результате получаем
lim COs^- = lim - ( 1 ) £ - = ( ^ — -lim---у = sign(£) - H
(7)
ф-п/2СШV 0 /l2£2-L1H£2 0|£l ^ Li
или (х,) в| ф = п/2 = 1 + фу I- Н
Отношение скоростей ползуна и оси шарнира А зависит от соотношения Н/Ь1. Учитывая сложный характер функции вблизи значения ф = л/2, рассмотрим дополнительно ее поведение, когда условие Н = Ь1 - Ь2 за счет неточности изготовления зве-
85° 87° 89° 89,5° 89,75° 90°0 90° 90+0 90,25° 90,5° 91° 93°
95°
ф
Скорость ползуна В при пересечении оси у для погрешности А/Ь1 = 5 • 10 9
Н = -8 -23,34 -23,39 -23,41 -23,41 -23,41 -23,420 -10 3,420 3,413 3,416 3,416 3,418 3,42
Н = -6 -22,58 -22,62 -22,65 -22,65 -22,65 -22,650 -10 2,650 2,646 2,648 2,649 2,65 2,653
Н = -4 -21,76 -21,81 -21,83 -21,83 -21,83 -21,830 -10 1,830 1,829 1,831 1,832 1,833 1,835
Н = -2 -20,88 -20,93 -20,95 -20,95 -20,95 -20,950 -10 0,950 0,952 0,954 0,954 0,955 0,956
Н = -1 -20,41 -20,46 -20,48 -20,49 -20,49 -20,490 -10 0,490 0,485 0,487 0,488 0,488 0,489
Н = 0 -19,92 -19,97 -20,00 -20,00 -20,00 -20,000 -10 0,000 -0,003 -7Е-04 -2Е-04 -2Е-05 -7Е-06
Н = 1 -19,41 -19,46 -19,48 -19,49 -19,48 -19,490 -10 -0,510 -0,516 -0,514 -0,513 -0,514 -0,514
Н = 2 -18,87 -18,92 -18,94 -18,94 -18,94 -18,940 -10 -1,060 -1,058 -1,056 -1,056 -1,057 -1,058
Н = 4 -17,66 -17,72 -17,74 -17,74 -17,74 -17,750 -10 -2,250 -2,256 -2,255 -2,254 -2,256 -2,26
Н = 6 -16,24 -16,29 -16,32 -16,32 -16,32 -16,320 -10 -3,680 -3,677 -3,676 -3,676 -3,68 -3,689
Н = 8 -14,37 -14,43 -14,47 -14,47 -14,47 -14,471 -10 -5,529 -5,529 -5,528 -5,529 -5,539 -5,558
ньев выполняется с некоторой погрешностью, т.е. Н = Ь1 - Ь2 + А. Уравнение (6) принимает вид
(* )в = - + Ф' ^НчА(Н - ^ < ^ •
(8)
При А ф 0 неопределенность отсутствует, а соотношение (8) преобразуется к виду (х)в = -ф^. Скорости ползуна и оси шарнира А совпадают. В табл. 3 приведены результаты расчета скорости ползуна в диапазоне 85° < ф < 95° и по уравнению (7) (для значений 90°0 и 90+0). Фактические значения скорости зависят от положения плоскости скольжения ползуна и погрешности изготовления, точнее от отношений Ь2/Ь1 и Н/Ьх.
С учетом реально недостижимой абсолютной точности изготовления звеньев механизма (выполнения условия Н = Ь1 - Ь2) можно сформулировать общий вывод: по мере приближения кривошипа к значению ф = п/2 линейная скорость ползуна достигает значения, близкого к удвоенной (если Н/Ь1 < 0,4) скорости оси шарнира А.
В дальней
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.