МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 4 • 2008
УДК 539.384
© 2008 г. И.С. НИКИТИН
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛОИСТЫХ И БЛОЧНЫХ СРЕД С ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЕМ, ТРЕНИЕМ И ОТСЛОЕНИЕМ
На основе представлений теории скольжения построены континуальные модели слоистых и блочных сред. Структурные элементы среды, слои и блоки, предполагаются упругими. Условия взаимодействия на контактных границах допускают проскальзывание с трением и отслоение. Предложен численный метод расчета полученных систем уравнений. Приведены примеры решения динамических и квазистатических задач о развитии зон скольжений и отслоений для рассматриваемых типов сред.
1. Введение. В работе предложены континуальные динамические модели деформирования слоистой и блочной сред с учетом проскальзывания, трения и отслоения на контактных границах слоев или блоков. Эти модели основаны на представлениях теории скольжения Батдорфа-Будянского [1], хотя формальное их обоснование возможно с помощью теории осреднения периодических структур [2-5]. Определяющие соотношения для слоистых сред с линейными контактными условиями на межслойных границах предложены и обоснованы в [6, 7].
В данной работе предполагается, что в слоистой среде упругие слои в прижатом состоянии могут проскальзывать относительно друг друга с трением, а растягивающих напряжений контактные границы не выдерживают - происходит отслоение.
Под блочной средой понимается регулярная структура, состоящая из равномерно уложенных упругих "кубиков" ("параллелепипедов"), подверженных воздействию поверхностных или объемных нагрузок. На контактных границах также возможно проскальзывание с трением или отслоение. Таким образом, блочная среда трактуется как среда, обладающая тремя взаимно перпендикулярными плоскостями возможного скольжения-отслоения с заданными локальными контактными условиями на каждой из них.
Также рассматривается структура типа "кирпичной кладки". Ее отличие от рассматриваемой блочной среды в том, что одна из плоскостей скольжения-отслоения является плоскостью только возможного отслоения (скольжение на ней невозможно из-за структурного нахлеста "кубиков" - "кирпичей").
Основное условие, которое позволяет построить континуальные модели рассматриваемых дискретных структур, состоит в том, что размер слоя или блока е должен быть много меньше пространственного размера L рассматриваемой слоистой или блочной структуры (или массива), е ^ L. Полученные реологические уравнения похожи на уравнения анизотропной теории упруговязкопластичности. Линейный дифференциальный оператор этих уравнений совпадает с оператором теории упругости, а нелинейные эффекты трения (сухого или вязкого) учтены в недифференциальных членах с малым параметром в знаменателе, аналогичных членам вязкопластической деформации.
Предложен явно-неявный численный метод для расчета полученной системы уравнений, который использует неявную аппроксимацию упомянутых выше недифференциальных членов с малым параметром в знаменателе, описывающих трение на контактных границах. Из этой аппроксимации аналитически обосновывается пошаговая проце-
дура коррекции напряжений с учетом выбранного локального условия трения, которая аналогична известному методу корректировки напряжений М. Уилкинса в теории пластичности [8, 9, 17].
2. Локальные контактные условия. В декартовой прямоугольной системе координат хг (г = 1, 2, 3) рассмотрим безграничную упругую среду с ориентированной системой периодически повторяющихся параллельных плоскостей скольжения. Ориентацию этой системы зададим единичной нормалью п. Расстояние между плоскостями скольжения постоянно и равно е. Плотность материала р, а также модули упругости Ламе X и ц считаются заданными константами. Напряженное состояние описывается тензором напряжений ст. Вектор касательного напряжения на плоскости скольжения равен х = ст ■ п - (п ■ ст ■ п)п, нормальное напряжение равно оя = п ■ ст ■ п. Введем векторы скоростей сдвига у и отрыва № = юп, определяемые скачками касательной [Ут] и нормальной [Уп] скоростей на контактных границах
у = [Ут]/е, ю = [ У„ ] /е
С точки зрения теории осреднения полные скорости частиц среды У связаны со средними или "макроскопическими" скоростями V соотношением У = V + е(у + №) + о(е).
Условия контактного взаимодействия имеют следующий вид. Скольжение с трением имеет место при с„ < 0:
X = 4 Ся| (у/|у + Пу) при |х| > ап\, ю = 0
у = 0 при IX < ап|, ю = 0
Отслоение происходит при О > 0: х = оп = 0. Здесь О = [ип]/е - нормированный скачок
нормальных смещений на контактной границе, определяемый уравнением О = ю, где # - коэффициент сухого трения, п - коэффициент вязкого трения. В дальнейшем будем использовать функцию Хевисайда Н(х) (Н(х) = 0 при х < 0, Н(х) = 1 при х > 0), а также обозначение (Р) = ^(х)Н(^(х)), принятое в теории упруговязкопластичности.
Контактную плоскость с указанными условиями взаимодействия будем называть плоскостью скольжения-отслоения.
Рассматриваемые условия скольжения представляют собой нелинейные условия сухого трения с добавкой вязкого трения, которая предполагается малой и играет, в основном, роль регуляризатора.
В этом случае условие скольжения можно явно разрешить относительно скорости сдвига у:
у = (I х|/(о„|) -1) х/(п IX)
3. Модель слоистой среды. В среде, состоящей из упругих слоев, имеется единственная система плоскостей скольжения-отслоения с нормалью п, ее структура схематически в двумерном варианте показана на фиг. 1, а. На границах слоев выполняются выбранные контактные условия.
Для того, чтобы перейти к континуальной модели слоистой среды, будем рассматривать у и № как непрерывные функции координат и времени, имеющие смысл распределенных скоростей скольжений и отслоений, и воспользуемся соотношениями теории скольжения, которая применялась многими авторами для построения моделей неупругих сред с непрерывным распределением плоскостей скольжения [10-13]. Эти соотношения позволяют учитывать вклад скоростей скольжений у и отслоений № в тензоры скоростей неупругой деформации ет и ею соответственно:
ет = (п ® у + у ® п)/2, ею = (п ® № + № ® п)/2 = юп ® п
(а)
(Ь)
(с)
(й)
Фиг. 1
Полный тензор скоростей деформации е получается сложением всех упругих и неупругих составляющих и равен:
е = ее + ет + ею, е = (Уу + УуТ)/2
Здесь V - "макроскопическая" скорость частиц среды, ее - тензор скоростей упругой деформации, который связан с тензором напряжений законом Гука а = Х(ее : 1)1 + 2цее.
Сквозные условия для у и ю, соответствующие локальным контактным условиям, имеют вид
у = <1 х|/(д\о„|) -1)х/(П х|), ю = 0 при о„ < 0 х = оп = 0 при О > 0
Система замыкается уравнениями движения р У = У ■ а.
Полученную систему уравнений необходимо дополнить условиями на границе Г области, занимаемой средой а ■ п|Г = ¡Г или v|Г = vГ, а также начальными условиями для искомых функций при ? = 0: а = V = О = 0. Напишем эту систему в покомпонентном виде:
р'* = О. Г 0Г = ХЪЧ(%к - ю) + Ц[и, . + , - 2юn¡nJ - (щу. + п}у!)] (3.1)
На плоскости скольжения-отслоения: У,- = <1 х/(^о„|) - 1)т,-/(П Iх), ю = 0 при Оп < 0 оп = х = 0 при О>0
Здесь оп = ок1пкщ, т, = о1кпк - ок1пкп1п,, V, и о. - компоненты вектора скорости и тензора напряжений.
Если направление нормали к плоскости скольжения-отслоения совпадает с направлением оси х2 принятой системы координат, то для нормали будет справедливо соотношение п. = 52, где 5. - символ Кронекера.
~ 2 Используя ступенчатые функции Н (х) = 1 - Н(-х) в случае п. = 5., систему уравнений (3.1)-(3.2) можно записать в более наглядном виде, явно выделяя уравнения для каждой искомой функции:
Р' i = 0 Г 0 ,, = 2Хик, к + 2¡, 1 -
(022 = (^к, к + 2ЦЬ2 2)Н(-О22), О. = Ц(и,-, г + ,-), 1 Ф ]
I, ] ф 2 -1 -1
02г = 2[Ц(и2, г + 2) - Ш.] Н-022)
7 ф 2
У; = <1 х|/(022 ) -1)02;./(п1 х| )Н(-О22) + («2,; + и;, 2)Н((22)Н(О) (3.3)
ю = (кьк к + 2ци2,2)/(Х + 2ц)Н(о22)Н(О)
О = ю (¡,; = 1, 2, 3), |х| = ^(2к02к
1к ф 2
Подчеркнем, что в этих уравнениях наряду с функцией Хевисайда Н(х) использована ступенчатая функция Н (х): Н (х) = 0 при х < 0 и Н (х) = 1 при х > 0.
В режиме скольжения при о22 < 0 эта система является полулинейной гиперболической системой уравнений с малым параметром в знаменателе свободного члена, которая описывает анизотропную упруговязкопластическую среду. Эта система, как и классические упруговязкопластические модели, имеет характеристические упругие скорости распространения волн а = + 2ц)/р и Ь = ТЦ/р [14, 15].
В общем случае расположение слоев (и, соответственно, направление нормали к слоям) может быть переменным по пространству. Поэтому надо подчеркнуть еще раз, что система уравнений (3.3) записана в локальной декартовой системе координат, ось х2 которой направлена по нормали к слоям, образующим рассматриваемую слоистую среду.
4. Модель блочной среды. Блочная среда образована равномерно уложенными упругими кубиками с тремя возможными плоскостями скольжения-отслоения, ориентированными взаимно перпендикулярными единичными нормалями п(5), 5 = 1, 2, 3. Схематически ее двумерный вариант показан на фиг. 1, Ь. Вектор скорости скольжения и отслоения на плоскости с нормалью п(5) обозначим у(5) и Также обозначим
компоненту у(5) в направлении п(,), 5 Ф г через у(5). Будем также называть плоскость
скольжения-отслоения с нормалью п(5) ^-плоскостью. Картина возможных скольжений на контактных поверхностях описывается следующим образом.
( ( 5)
Если происходит скольжение на ^-плоскости и при этом у] Ф 0, уу- Ф 0, г Ф], то регулярность блочной структуры нарушается, из-за нахлестов г- и у-плоскости перестают быть плоскостями возможного скольжения, а становятся только плоскостями отслоения с контактными условиями следующего вида:
у(5) = 0, ю(5) = 0 при о^ < 0
' (4.1)
о= 0, у(5) = 0 при 0(5) > 0
Единственной плоскостью скольжения отслоения становится ^-плоскость. Если динамический процесс развивается таким образом, что на 5-плоскости происходит скольжение с у(5) Ф 0, у(5) = 0, то сохраняется возможность скольжения на 5- и у-плоскостях. Если добавляется скольжение у (",) Ф 0, у= 0, то по-прежнему сохр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.