РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 2, с. 186-200
ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС ^^^^^^^^
В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ
УДК 621.391.01
ДИНАМИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ И БИФУРКАЦИИ В СИСТЕМЕ ЧАСТОТНО-ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ С МНОГОЧАСТОТНЫМ ДИСКРИМИНАТОРОМ © 2015 г. В. П. Пономаренко
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Российская Федерация, 603950, Нижний Новгород, просп. Гагарина, 23 E-mail: povp@uic.nnov.ru Поступила в редакцию 27.01.2014 г.
Приведены результаты исследования динамических состояний и бифуркаций в системе частотно-фазовой автоподстройки с синусоидальной характеристикой частотного дискриминатора и одинаковыми фильтрами низких частот в цепях управления. Исследование проведено на основе соответствующих динамических моделей с одной и двумя степенями свободы в цилиндрических фазовых пространствах. Показано, что в такой системе возможно существование, наряду с синхронным режимом, множества несинхронных периодических и хаотических режимов различной сложности. Результаты представлены в виде одно-и двухпараметрических бифуркационных диаграмм и фазовых портретов аттракторов.
Б01: 10.7868/80033849415020102
ВВЕДЕНИЕ
Автогенераторные системы с фазовой и частотной автоподстройкой частоты генерируемых колебаний широко применяются для решения задач синхронизации, стабилизации частоты, оптимального приема радиосигналов, прецизионных радиотехнических измерений. Благодаря высокой точности, надежности, помехоустойчивости и управляемости, простоте технической реализации они являются необходимым устройством в современных информационно-тел екоммуника-ционных системах и технологиях. Наличие цепей фазового и частотного управления и возможность объединения систем путем организации различных связей между ними обеспечивают решение как многих традиционных задач управления частотой генераторов периодических сигналов, так и нетрадиционных задач генерации разнообразных автомодуляционных колебаний, в том числе и хаотических. Использование автомодуляционных режимов в качестве основных рабочих состояний позволяет расширить функциональные возможности систем с фазовой и частотной автоподстройкой и круг задач, решаемых при их помощи. В связи с этим исследование нелинейной динамики различных вариантов структур рассматриваемых систем актуально для решения задач синхронизации и слежения [1—5] и новых задач создания эффективных генераторов хаотических колебаний для систем связи [6—16].
Важным направлением исследований в новых задачах является поиск эффективных путей уве-
личения набора возможных автомодуляционных режимов систем с частотной и фазовой автоподстройкой, областей их существования и управления характеристиками. В качестве таких путей естественно рассматривать усложнение фильтров низких частот (ФНЧ) в цепях управления и нелинейных характеристик дискриминаторов фазовых и частотных рассогласований.
В ряде приложений применяют комбинированные системы с частотно-фазовой автоподстройкой (ЧФАП), которые могут частично разрешить предъявляемые противоречивые требования по обеспечению широкой области захвата в синхронный режим и помехоустойчивости [1, 3—5, 8, 17]. В работах [8, 17—24] исследованы динамические режимы и бифуркации в моделях системы ЧФАП с ФНЧ различной сложности и традиционной непериодической нелинейной характеристикой частотного дискриминатора, работающего на одной переходной частоте. В работах [25—27] рассмотрена система частотной автоподстройки, дискриминатор которой содержит фазовый детектор и линию задержки. Такой дискриминатор, иначе называемый многочастотным дискриминатором, работает на множестве переходных (номинальных) частот и позволяет реализовать эффективную автоподстройку частоты перестраиваемого генератора системы по сетке номинальных частот, определяемых временем задержки в линии задержки. Рассматривая для простоты фазовый детектор как перемножитель поступающих на его вхо-
Рис. 1. Схема системы ЧФАП: УГ — управляемый генератор; ФД — фазовый дискриминатор; Ф1;Ф2 — фильтры низких частот; УЭ — управляющий элемент; ЧД — частотный дискриминатор; ЭГ — эталонный генератор.
ЭГ
Ф1
ды колебаний, получаем синусоидальную характеристику многочастотного дискриминатора [27].
Следует отметить, что в работе [25] впервые проведено исследование особенностей поведения системы частотной автоподстройки с дискриминатором на линии задержки при полном учете эффекта запаздывания. В частности, обнаружена периодическая структура частотных характеристик линеаризованной модели системы. Примечательно, что нелинейная динамика системы частотной автоподстройки с многочастотным дискриминатором качественно подобна динамике системы автофазирования (фазовой системы с управляемым фазовращателем) [28—30] и характеризуется множеством состояний равновесия и возможностью возникновения режимов хаотических колебаний на многоспиральных аттракторах.
Данная работа посвящена исследованию особенностей динамического поведения системы ЧФАП, появляющихся при использовании многочастотного дискриминатора с синусоидальной характеристикой. Рассматривается двухкольце-вая частотно-фазовая система, структурная схема которой представлена на рис. 1 [17]. Объектом управления является перестраиваемый по частоте генератор (управляемый генератор), а регулируемой величиной — текущая частота его колебаний. Фазовый дискриминатор (ФД), фильтр низких частот (Ф1) и управляющий элемент (УЭ) образуют петлю фазового управления, которая формирует сигнал рассогласования, зависящий от разности фаз колебаний управляемого и эталонного генераторов. Частотный дискриминатор, фильтр низких частот (Ф2) и управляющий элемент образуют петлю частотного управления, формирующую сигнал рассогласования, зависящий от отклонения частоты колебаний управляемого генератора от номинальной частоты частотного дискриминатора, которая выбирается равной частоте колебаний эталонного генератора. В результате суммарного корректирующего воздействия на управляемый
генератор со стороны фазовой и частотной цепей управления в системе ЧФАП осуществляется подстройка частоты колебаний управляемого генератора к частоте колебаний эталонного генератора.
В данной работе выбор структуры системы ЧФАП, приведенной на рис. 1, обусловлен тем, что нелинейная динамика такой системы с традиционной непериодической характеристикой частотного дискриминатора изучена достаточно полно [8, 17-24].
Общее уравнение, описывающее работу системы ЧФАП и записанное в операторной форме (p = djdt) для разности фаз ф внешнего (опорного) и управляемого колебаний, имеет вид [17]
РФ + ЗД (p) F (ф) + a2K2 (p) Ф (РФ) = 5ю. (1)
В уравнении (1) K1 (p) и K2 (p) — коэффициенты передачи ФНЧ; F (ф) и Ф (pф) — характеристики фазового и частотного дискриминаторов, нормированные на единицу; Q1 и Q 2 — максимальные расстройки, которые могут быть скомпенсированы фазовой и частотной цепями управления соответственно; 8ю — начальная расстройка частот внешнего и управляемого колебаний. Характеристики дискриминаторов будем аппроксимировать функциями F (ф) = sin ф и Ф (pф) = sin (р^ф), где р1 — параметр нелинейности.
Конкретный вид математических моделей, получаемых из уравнения (1), определяется коэффициентами передачи K1 (p) и K2 (p). В данной работе рассмотрим модели системы ЧФАП с одной и двумя степенями свободы, получаемые в случае применения одинаковых фильтров первого (K (p) = K2 (p) = 1/(1 + ap) и третьего (K (p) = = K2 (p) = l/(1 + b1 p + b2 p2 + b3 p3)) порядков в цепях фазового и частотного управления (a1, b1, b2 и b3 — постоянные времени). Нелокальное исследование получаемых в этих случаях динамических моделей сопряжено с существенными трудностями, в связи
b
3
2
1
У
Рис. 2. Бифуркационные кривые и области динамических режимов модели (2).
с чем в качестве основного метода их исследования привлекаем компьютерное моделирование, которое базируется на качественных и численных методах нелинейной динамики [31—34] и использовании программного комплекса "ДНС" [35].
1. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ С ФИЛЬТРАМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Математическая модель системы ЧФАП с ФНЧ первого порядка может быть представлена динамической системой с цилиндрическим фазовым пространством U1 = (ф (mod 2п), и):
— = и, — = у — sin ф-^и - bsin(p^u), (2) d т d т
где т = t(AaJ1/2, X = (Q1a1)-1/2, b = П2/Q1, р = р А, Y = 8ю/А. Параметры X, b, в > 0 по физическому смыслу, параметр у может принимать как положительные, так и отрицательные значения. В силу инвариантности системы (2) относительно замены (ф, u, y) ^ (-ф, -и, -у) достаточно рассмотреть ее при значениях y > 0. Движения системы (2) будем исследовать на развертке фазового цилиндра U1 на часть -п < ф < п плоскости (ф, x).
Разбиение фазового цилиндра и1 на траектории модели (2) определяют [31] состояния равновесия, предельные циклы первого и второго рода (соответственно колебательные и вращательные) и сепаратрисы седел. Особые траектории системы (2) имеют применительно к динамике рассматриваемой системы ЧФАП следующий физический смысл. Устойчивое состояние равновесия соответствует режиму синхронизации. Устойчивый предельный цикл колебательного типа (не охватывающий фазовый цилиндр) определяет квазисинхронный режим, в котором рассогласования ф и и периодически изменяются относительно ставшего неустойчивым состояния синхронизации. Устойчивый предельный цикл вращательного типа (охватывающий фазовый цилиндр) отвечает асинхронному режиму с вращением фазы, в котором рассогласование фаз ф неограниченно возрастает (при у > 0) или убывает (при у < 0), а разность частот и периодически изменяется относительно некоторого среднего значения.
Система (2) при значениях 0 < у < 1 имеет два состояния равновесия: устойчивое А1 (arcsin у, 0) и седло А2(п - arcsin у,0). На рис. 2 приведена бифуркационная диаграмма системы (2) на плоско-
сти параметров (у, Ь), построенная по результатам численного исследования системы при значениях параметров X = 0.2, в = 8.
Кривая 1 на рис. 2 соответствует петле сепаратрис второго рода П г, охватывающей фазовый цилиндр и1 и расположенной на и1 в области и > 0. Петля сепаратрис Пг устойчивая,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.