ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 6, 2014
МЕХАНИКА МАШИН
УДК 621.01:534.1
© 2014 г. Вульфсон И.И.
ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛОГ МНОГОСЕКЦИОННЫХ ПРИВОДОВ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОРГАНОВ ЦИКЛОВЫХ МАШИН, ОБРАЗУЮЩИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ КОНТУРЫ РЕШЕТЧАТОЙ СТРУКТУРЫ
Санкт-Петербургский государственный университет технологии и дизайна,
г. Санкт-Петербург
Предложен динамический аналог колебательной системы многосекционного привода длинных исполнительных органов цикловых машин, на базе которого исследованы источники возбуждения колебаний при трансформации энергии и ее перераспределении между элементами привода и формами колебаний. Показано, что внутри кинематического цикла работа гироскопических сил может привести к эффекту отрицательного демпфирования, пространственной локализации колебаний и к увеличению виброактивности привода. Рассмотрены способы устранения этого эффекта.
1. В работах [1—6] были исследованы регулярные крутильные, изгибные и крутиль-но-изгибные колебательные системы применительно к задачам динамического анализа и синтеза приводов цикловых машин. Такие задачи возникают при проектировании современных машин текстильной, полиграфической, легкой и в ряде других отраслей промышленности, когда технологические операции выполняются длинными исполнительными органами, совершающими заданное программное движение. В подобных случаях для обеспечения жесткости системы исполнительные органы приводятся в движение многократно дублированными цикловыми механизмами. При этом колебательная система имеет структуру решетки, каждый элемент которой образует замкнутый контур, отображающий упругодиссипативные характеристики главного вала, исполнительного органа и циклового механизма. В качестве примера на рис. 1, а приведена типовая динамическая модель, в которой приняты следующие обозначения: Jj: к — моменты инерции; ^к, ^ — коэффициенты жесткости; у к — коэффициенты рассеяния; П(фу) — функция положения циклового механизма. Предполагается, что динамические характеристики приведены к сечениям входных и выходных звеньев цикловых механизмов. Угловая скорость на "входе" ю принята постоянной, что обычно практически реализуется при рациональном выборе характеристик электропривода и передаточных механизмов.
ш =
¥11 11 ¥21 12 ¥]1 12] ¥„1 12п
Рис. 1
При исследовании данной модели в качестве обобщенных координат были приняты абсолютные динамические ошибки 1ь ..., 12п + ь равные отклонениям абсолютных координат от идеальных значений, определенных без учета колебаний.
Модели подобного рода обладают повышенной сложностью, что, в частности, связано с большим числом степеней свободы Н = 2п + 1, где п — число секций (модулей). Строго говоря, система является нелинейной (зазоры, функция положения П, дисси-пативные силы). В работах [3, 4, 6] при малых зазорах одиночное соударение вызывает импульсное возбуждение, при котором нелинейность зазора проявляется на частотных характеристиках системы лишь при генерировании виброударных режимов. Такие режимы должны быть подавлены на стадии динамического синтеза.
Нелинейная функция положения в окрестности программного движения с достаточной точностью трансформируется в характеристику нестационарной связи вида
П(Ф* + <7;)~ П(ф*) + П'(ф*)^, (1)
где ф* = ю?, П'(ф*) — первая геометрическая передаточная функция.
Проблема динамического синтеза подобных систем нуждается в дальнейших исследованиях. Особого внимания требуют нарушения условий регулярности систем, что в свою очередь может привести к нарушениям синфазности колебаний длинного исполнительного органа и к появлению пространственной локализации колебаний. Так, в частности, было выявлено, что при некоторых условиях уровень колебаний исполнительного органа на последних секциях многократно превышает уровень колебаний на первой секции, что связано с трансформацией энергии в колебательной системе привода цикловой машины. При этом возникают кромочные эффекты, которые нередко существенно снижают качество выпускаемой продукции.
Сложность исследуемой модели нередко служит препятствием для осмысления наблюдаемых динамических эффектов и выбора направлений при оптимизации параметров. С этой точки зрения представляет интерес декомпозиция системы, т.е. ее рациональное упрощение при сохранении основных физических свойств исходной модели.
2. Можно предположить, что сильное возбуждение наиболее удаленной от "входа" секции связано с тем, что при определенных условиях эта секция, по существу, проявляет себя как динамический гаситель, играющий роль энергетической ловушки для предыдущих секций. Исходя из этих соображений, предложен упрощенный аналог исходной динамической модели (рис. 1, б). Условно разделим исходную модель на массивную часть, содержащую N—] секций, в которой доминируют синфазные колебания и] секций с нарушениями синфазности. При этом основной интерес представ-
ляют свободные сопровождающие колебания, возникающие за счет импульсных возмущении в окрестности значении к* = 4С/Г2. Моменты инерции и коэффициенты жесткости в каждом модуле выбраны таким образом, что парциальные частоты моду-леИ 1—3 и 2—4 совпадают между собоИ и с исходной моделью (рис. 1, а). При определении эквивалентных приведенных значений коэффициентов жесткости с1, с2 был использован способ приближенного замещения группы масс, предложенный в [7]. Согласно этому способу, с1 = с1*Б"1, с2 = с2*б-1, где б = 0,5[п — /' + 1)/(п — /) + (/ + 1)/(/п)] — приведенный коэффициент податливости, с14, с2* — коэффициенты жесткости участков главного вала и исполнительного органа между секциями (рис. 1, б).
В цикловых системах кинетическая Т и потенциальная и энергии в общем случае определяются следующими зависимостями:
н н н
т = т2 + тх + Т0, т2 = 0,5 У У а]к(^)9]9к, Т1 = У ар(ф)шр
1 = 1 к = 1 1 = 1 нн
(2)
0,5«0(ф)ю2, и = 0,5 У У ^к!»^^
1 = 1 к = 1
где а(ф), с(ф) — инерционные и квазиупругие коэффициенты, которые являются медленно меняющимися функциями при аргументе ф = Ш (здесь и далее звездочку при ф опускаем).
Функции Т2, и, образующие квадратичные формы, позволяют с достаточной точностью определять спектр переменных "собственных" частот. Функция Т формирует гироскопические составляющие, способные существенно изменить эффективные диссипативные свойства внутри кинематического цикла. Функция Т0 соответствует кинетической энергии переносного движения, которая при выбранных обобщенных координатах определяет кинематическое возбуждение системы.
На основании (2) изменение полной энергии системы определяется как [8]
ЛЕ V / • ч 01 аи
= Уе ^ -+л( Т1+2То) - дТ + д
н
дТ . ди
- = 1
Представим систему дифференциальных уравнений в матричном виде а(ф)4'' + е(ф)я = 0(ф, д'), где осуществлен переход к "безразмерному времени" ф = Ш. При этом ()'
q' = 4 /ш.
Для модели, приведенной на рис. 1, б, имеем
(3)
(4)
й/йф,
а = ^{(п -р)/1,}1Х, (п -})1 2,и}, е(ф) =
V <-41
(5)
'44 У
с 11 = Сос + <^с + с(п -/')П'(ф)2; сп = —
-с(п -/')П'(ф); см = 0;
где
с22 = /'сП'(ф)2 + Схс; с2з = 0; с24 = -/сП'(ф); сзз = ^ + с(п - /'), сз4 = -(^ с44 = ]с + ^
с;к = С; = с/с.
В правую часть уравнения (4) включены помимо технологических нагрузок и кинематического возбуждения также и диссипативные, и гироскопические силы. Определение этих сил при периодически возбуждаемых свободных колебаниях требует пред-
0
Z = 0 Z2 = 1
Рис. 2
варительного частотного и модального анализа. Так, в частности, при линеаризации позиционных сил сопротивления коэффициент пропорциональности при скорости для формы колебаний r определяется как Ьг = у,cr/(2npr), гдеpr — соответствующая частота свободных колебаний. Аналогичная ситуация возникает при учете гироскопических составляющих. Для преодоления возникающих при этом трудностей воспользуемся переходом к квазинормальным координатам nr, базирующимся на условии медленного изменения параметров [11]. Поскольку в цикловых машинах ю Рг(ф), в нашем случае это условие за исключением узких интервалов скачкообразного изменения параметров обычно удовлетворяется. Тогда с точностью до величин первого порядка малости имеем
H н
T = 0,5 £ а* (ф)П2, U = £ с*(ф)т|2; (6)
r = 1 r = 1
а*(ф)п;' + b* (ф)пГ + с*(ф)Пг = Mr(9) (r = 1, ..., 4), (7)
где a* , c* — соответствующие элементы диагональных матриц a* = STaS, с* = STcS.
При определении "собственных" частот рг(ф) и матрицы форм колебаний S влиянием диссипативных и гироскопических сил можно пренебречь (b* = 0). При этом
2
функция pr (ф) и соответствующий вектор-столбец матрицы формы колебаний Sr определяются как собственные значения и собственные векторы матрицы Г(ф) = а(ф)-1с(ф).
На рис. 2 приведены графики нормированных безразмерных функций p* (ф) = рг/ю, определенные на основании (2), (4), (5) при П(ф) = y0(1 — cos ф), y0 = 0,5, Z0 = 2, Z1 = 2 (в целях упрощения индексов на графиках и при дальнейшем изложении звездочка в частотах опущена). При Z2 = 0 система имеет разветвленную структуру. В этом случае при pr « k0 по мере приближения к значению ф = п/2, отвечающему наибольшей связанности подсистем, растет Ap3 4 = p3 — p4|. При Z2 ^ 0 система приобретает кольцевую структуру, что в данном случае приводит не только к сближению этих "собственных" частот и росту интенсивности биений, но и к скачкообразному изменению форм колебаний. Аналогичный эффект был выявлен и при анализе исходной многосекционной модели (рис. 1, а).
Ввиду удаленности от резонансов основным источником виброактивности являются импульсные возмущения, возбуждающие колебания с собственными частотами.
6п = О
80 = 0,04
Рис. 3
Исследуем однородные дифференциальные уравнения в квазикоординатах, полученные на основании (4)—(7), в которых после определения частот и нестационарных форм колебаний можно корректно учесть диссипативные и гироскопические члены
П" + ^гРДфК + Рг(ФК = 0 (г = 1, ..., Я),
(8)
где
8г(Ф) = 80г - 0,5
■ ( )-1 ( )-1 йаХф) )-2йрг(Ф)-
аг (Ф) Рг(Ф) —г- + Рг (Ф)
йф
йф
(9)
Здесь 80г = уг/(4л); уг — коэффициент рассеяния для формы колебаний г [6].
На рис. 3 приведены типовые графики изменения функции 8г(ф) (номер кривой соответствует номеру частоты). При отсутствии дис
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.