МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2013
УДК 539.374
© 2013 г. А. К. БЕЛЯЕВ, Д. Н. ИЛЬИН, Н. Ф. МОРОЗОВ ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ ИШЛИНСКОГО-ЛАВРЕНТЬЕВА
Рассматривается задача о динамической устойчивости шарнирно опертого стержня в случае скачкообразной осевой нагрузки. Выполнено систематическое применение метода разложения в ряд по формам свободных колебаний как для продольных, так и для изгибных колебаний. Продольные колебания приводят к появлению продольных периодических сил, которые в свою очередь вызывают неустойчивые изгибные колебания. Применение метода Галеркина приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, которые сводятся к уравнениям типа Матье. Построены области неустойчивости, вид которых зависит от спектральных свойств продольных и изгибных колебаний, величины демпфирования и продольной силы. Приведен пример необычного расположения областей неустойчивости: так для выбранных параметров стержня неустойчивой оказывается двенадцатая поперечная форма колебаний, вызванная первой продольной формой. Получено выражение для минимальной величины скачкообразной нагрузки, приводящей к неустойчивости рассматриваемой поперечной формы колебаний.
Ключевые слова: динамическая поперечная устойчивость стержня, продольные и изгибные колебания, уравнение Матье.
1. Введение. История вопроса. Впервые задача о статической потере устойчивости шарнирно опертой балки длины l под действием продольной силы P была поставлена Л. Эйлером:
d 2
EI+ Pw = 0, w(0) = w (l) = 0 dx
где EI — изгибная жесткость и w — прогиб балки. Бифуркация решения w(x) = Asin(Ax)
(X = -7 P/EI) происходит при силе Pe = п2 EI/l2, известной как сила Эйлера. Балка сохраняет прямолинейную форму (A = 0) пока P ф Pe. Более реалистичной является нелинейная постановка задачи в терминах угла поворота сечения у = dw / dx:
+ P sin y = 0, dv (0) = (i) = 0 dx2 dx dx
Здесь решение доставляет смежную форму равновесия для каждого значения продольной силы P. Следует отметить, что данная постановка задачи не имеет ничего общего с проблемой перехода от неустойчивого к устойчивому равновесию, так как она оперирует лишь с понятием бифуркации решения и существованием смежных статических форм равновесия. С позиций теории устойчивости движения переход к смежной форме соответствует дивергентной (статической) потере устойчивости.
Впервые задача о динамических формах потери устойчивости шарнирно опертой балки при скачкообразном приложении продольной нагрузки рассмотрена в статье А.Ю. Ишлинского и М.А. Лаврентьева [1]. Приняты предположения, что балка имеет начальную погибь, и внешняя сжимающая сила, приложенная к одному из концов, мгновенно охватывает всю балку и затем остается постоянной. Интересно, что данная динамическая постановка также предсказывает дивергентную потерю устойчивости исходной формы. Показано, что наибольшим темпом нарастания стрелы прогиба будут обладать не те формы, которые соответствуют значению статической критической силы, а формы с меньшим номером. Например, если к стержню внезапно приложена нагрузка 9р , являющая критической для третьей искривленной равновесной форме, то наибольший темп будет иметь вторая равновесная форма. При приложении нагрузки \6PE, соответствующей четвертой равновесной форме, быстрее всего будет развиваться неустойчивость по третьей форме и так далее. Исходные предположения являются довольно ограничительными, это приводит, в частности, к тому, что результат чувствителен к форме начальной погиби. Например, если начальная погибь ортогональна, скажем, второй равновесной форме, то вывод [1] о наибольшем темпе нарастания этой формы утрачивает значение для устойчивости стержня, т.к. эта форма вообще не будет возбуждена;
выводы справедливы только для высших форм;
продольная динамика стержня не учитывается.
Отметим также статьи А.Ю. Ишлинского [2, 3], в которых приводятся примеры механических систем с бифуркациями, исключающими появление неустойчивости движения. Анализ поперечной устойчивости стержня с учетом продольных волн, вызванных скачком осевой силы, выполнен в [4].
В настоящей работе предлагается альтернативный подход к задаче А.Ю. Ишлинского и М.А. Лаврентьева [1]. В отличие от [1] предлагается систематическое применение метода разложения в ряд по формам как продольных, так и изгибных колебаний. Продольные колебания приводят к появлению продольных периодических сил, которые в свою очередь могут вызывать неустойчивые изгибные колебания, так называемый параметрический резонанс [5, 6].
2. Области динамической неустойчивости. Рассматривается шарнирно опертый стержень постоянного сечения, к концу x = l которого в момент времени t = 0 скачком приложена осевая сила P0. Предполагаются чисто упругие продольные колебания. Продольное смещение u(x, t) представим рядом по формам собственных колебаний uk(x):
ад i—
u(x, t) = X uk (x)qk (t), uk (x) = sin ^x, щ =na (2k - 1), a = E, k = 1,2,... (2.1)
k=i a 21 v p
где p — плотность материала стержня и rak — собственная частота продольных колебаний. С учетом нулевых начальных условий получаем выражение для обобщенной координаты продольных колебаний
2
qk (t) = (- 1)k+1 ^OA (1 - CQs ™kt) (2.2)
lEF ®k
и представление для продольной силы в виде ряда
P(x, t) = EF — = 4 P0У -(1 - cos ®kt)cos n (k -1)x (2.3)
dx П ,, 2k -1 12/1
k=1
где F — площадь поперечного сечения.
Уравнение для поперечных колебаний стержня с учетом трения по модели Кельви-на—Фойгта [7] и переменной продольной силы Р(х, г) имеет вид:
ЕI1 + ' ?т + т (Р(х, г) т) + рг тт = 0 (2.4)
\ ди дх4 дх\ дх! дг
где у — коэффициент вязкости. Необходимость учета вязкости в модели поперечных колебаний вызвана тем, что демпфирование оказывает решающее влияние на форму областей неустойчивости при малых амплитудах продольной силы [5, 6]. Поперечное смещение ^(х, ?) представим в виде разложения по формам собственных колебаний:
т(х, г) = X еш ^р&Сг)
т=1
Подставляя выражение для продольной силы (2.3) в уравнение (2.4), методом Галер-кина получаем бесконечную систему связанных дифференциальных уравнений для обобщенных координат Qm(г):
4 4 4 4
РИ 2^(г) + Еу1Чг1-Ъ (г) + Е/Ч~^(г) -
(2.5)
2
- ЕИ П 812
^(2к - 1)аткЯк№т(г)
. т к
= о
атк = (к -1 + т)-2 2 2 (-1)к+т+У+1 +
V 2 !(к -1/2 + т)2 - у
+ (к - 1 - т)-У—-- (- 1)к-т+у+1
\ 2 !(к -1/2 - т)2 - у
где у и т — номера поперечных форм колебаний, а к — номер продольной формы колебаний. Видно, что обобщенные координаты изгибных колебаний Qj (г) зависят от коэффициентов продольного разложения qk (г), равно как и от других обобщенных координат коэффициентов изгибных колебаний Qm(г), что отражает влияние поперечных форм колебаний друг на друга.
Подставим явное выражение qk (г) (2.2) и пренебрежем влиянием изгибных форм друг на друга, тогда в двойном ряде (2.5) остается только слагаемое, для которого т = у. Тогда приходим к системе несвязанных уравнений для поперечных колебаний, каждое из которых описывает влияние продольной формы колебаний (с номером к) на рассматриваемую поперечную (с номером т):
/л Еу/п т ^
^к +-4— ^к +
рИ4
^Е/я4 4 (-1)к2татк Р0 п У
—т + -—--——°-(1 - сое юкг)
рИ4 2к -1 рИ12
Qmk = 0 (2.6)
У
Здесь нижние индексы у Qmk, (к = 1,2,3..., т = 1,2,3...) соответствуют номеру т поперечной формы колебаний и номеру к продольной формы, влияние которой рассматривается. Это уравнение позволяет выяснить, при каких значениях нагрузки Р0 рассматриваемая поперечная форма колебаний (с номером т) станет неустойчивой под действием продольной формы колебаний (с номером к).
Перепишем (2.6) в виде, принятом при исследовании параметрической неустойчивости [5, 6]:
00
Qmk + 25mknmkQmk + n2mk (1 - 2цmk cos Bt) Qmk = 0 (2.7)
02 _ Ein4 4 i-1)k2ma P0 ¡. _EyInm4
" mk _-"TT m + -:--7> 0 mk _-4-
pFl4 2k -1 pFl2 2pFl4Q
k+1 , ч (2.8)
u _ Po(- 1)k+1a/ (2k -1) _na (2k 1)
"mk _ EI/m3/l2 + Po(-1)k+12a/ (2k - 1) 9 " ^ _ Й^ ~ 1)
Перед тем, как перейти к нахождению границ областей параметрической неустойчивости, заметим, что они существуют только при условии D.2mk > 0. Если же Q}mk < 0, то решение уравнения вида (2.7) будет неограниченно возрастающим даже при M-mk = 0, т.е. соответствующая поперечная форма колебаний будет неустойчивой. Таким образом, критическое значение нагрузки для рассматриваемой поперечной формы колебаний при влиянии на нее определенной продольной формы может быть найдено из условия
Щ m4 + Н^А < 0 (2.9)
pFl4 2k -1 pFl2
2
При Qmk > 0 уравнение (2.7) является уравнением Матье с затуханием. Известно [5, 6], что влияние затухания, практически несущественное для главной области неустойчивости, делает побочные области нереализуемыми в инженерной практике. Исходя из данного замечания, ограничимся рассмотрением только главной области динамической неустойчивости.
В обозначениях, введенных выше, главные области неустойчивости поперечных форм колебаний на плоскости параметров (P0, 9) задаются системами неравенств в форме, принятой в [5, 6]:
2qV 1 - <0< 2QV1W?=462 (2.10)
где нижние индексы далее опущены для простоты записи. Эти неравенства формально совпадают с неравенствами классического уравнения Матье, однако надо иметь в виду, что параметры Q, ц, 5 являются функциями P0, т.е. продольные колебания радикально меняют формулы для каждого параметра (см. (2.8)), тем самым принципиально изменяя области динамической неустойчивости. Системы неравенств данного вида задают в неявном виде значения нагрузки, при которых m-я поперечная форма колебаний будет неустойчивой при рассмотрении влияния k-й продольной формы.
Путем построения областей динамической неустойчивости, задаваемых неравенствами вида (2.10), для некоторых поперечных форм колебаний можно получить критические значения нагрузки, меньшие, чем значения, получаемые из условия (2.9).
3. Пример нахождения критической силы. Найдем критическое значение силы P0 путем построения областей динамической неустойчивости для следующих параметров
стержня: E = 2.1 • 1011 Н/м2, р = 7.8 • 103 кг/м3, l = 2 м, h = 0.005 м, b = 0.01 м, у = 10-4, где h и b — соответственно, высота и ширина сечен
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.