ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 2, 2015
АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ В МАШИНОСТРОЕНИИ
УДК 621.865.8+62-503.5
© 2015 г. Жога В.В., Герасун В.М., Несмиянов И.А., Воробьева Н.С.,
Дяшкин-Ткгов В.В.
ДИНАМИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ
МАНИПУЛЯТОРА-ТРИПОДА
Волгоградский государственный технический университет, г. Волгоград
Представлено решение задачи синтеза программных движений звеньев манипу-лятора-трипода из условия минимума ускорения схвата. Сравниваются кинематические параметры схвата при его перемещении по синтезированной оптимальной траектории и решения задачи из условия минимизирующего изменения длин звеньев манипулятора.
В настоящее время мобильные роботы, оснащенные манипуляторами, могут применяться для мониторинга и прогнозирования состояния окружающей среды, предотвращения и ликвидации ее загрязнения, ликвидации чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера. С их помощью производят погрузочно-разгрузочные и транспортные работы, доставляют технические средства и материалы в зону работы, проводят инженерные работы по расчистке завалов и разборке аварийных конструкций, разминированию, сбору и транспортировке опасных объектов [1]. Обычно на роботе устанавливаются традиционные манипуляторы, представляющие собой цепь звеньев механической системы, последовательно соединенных друг с другом с помощью различных кинематических пар. Такие манипуляторы имеют низкий показатель грузоподъемности, характеризуются высокими статическими и динамическими ошибками. Одним из способов преодоления указанных недостатков является использование в качестве звеньев манипулятора механизмов с параллельной кинематикой [2].
Манипуляторы параллельной структуры способны обеспечить достаточно высокие динамические характеристики при относительно небольшой металлоемкости. На базе пространственных механизмов параллельной структуры разработан ряд манипуляторов [3—5]. В конструкции грузового манипулятора (рис. 1) звенья переменной длины представляют собой гидравлические цилиндры [6]. Основными преимуществами таких манипуляторов являются: высокая энергонасыщенность, низкая металлоемкость, большая зона обслуживания, возможность агрегатирования с различными мобильными энергетическими модулями, широкий набор вариантов крепления грузозахватного устройства. Продольные оси трех управляемых гидроцилиндров сходятся в одной точке посредством шарового шарнира, что обеспечивает повышенную жесткость мани-
Рис. 1
Рис. 3
Рис. 1. Манипулятор параллельной структуры с гидроцилиндрами Рис. 3. Модель манипулятора с электроактуаторами
пулятора и небольшие динамические ошибки [3]. Однако отсутствие развитой системы управления препятствует широкому применению таких манипуляторов. Альтернативой универсальному сферическому шарниру является четырехподвижный шарнирный узел с кинематическими парами V класса, который более технологичен в изготовлении [4].
Целью настоящей статьи является разработка аналитических методов синтеза систем управления манипуляторов, построенных на основе пространственного механизма параллельной структуры с четырьмя поступательными парами.
Кинематическая схема такого манипулятора, в котором оси трех исполнительных цилиндров линейного перемещения геометрически сходятся в одной точке, представлена на рис. 2. В качестве обобщенных координат манипулятора принимаются декартовы координаты схвата в абсолютной системе координат х(0, у(0, г(0 и угол ф(0 наклона основания манипулятора.
Уравнения связей между обобщенными координатами, длинами звеньев ¡■(р), /2(0, ¡з(0, ¡4(0 и координатами хв, ув, 1ц их точек крепления имеют вид
где ОхА — геометрические параметры основания манипулятора (рис. 2).
Так как манипулятор представляет собой многомассовый пространственный механизм, то динамика его движений описывается сложной системой нелинейных дифференциальных уравнений [7, 8], и применение аналитических методов построения программных движений затруднено. Для упрощения дифференциальных уравнений движения целесообразно реальный механизм заменить динамически эквивалентным, содержащим две сосредоточенные массы: т в месте крепления схвата (точка М) и тА в точке А (рис. 2).
Систему дифференциальных уравнений, описывающих движение манипулятора с голономными связями (1), полученных с помощью уравнений Лагранжа с неопределенными множителями, можно записать в виде
Fi
L¡, мм 40 0
320
240 200
Рис. 2
3
Рис. 4
t, c 7
Рис. 2. Кинематическая схема манипулятора-трипода
Рис. 4. Расчетные (кривые 1—4) и экспериментальные (кривые Т—4~) зависимости изменения длин звеньев 1+4 манипулятора от времени при движении схвата по прямой
xl — x2>
x2 — fj^L + р2 Ъ^в + F3 x-±xB
ml-
ml2
ml3
X3 — X4, XC4 — F-
X3 + OjA ■ sin x7 - y в + F X3 - y в ^ X3 - y в
mlL
ml2
- + F3
ml3
x5 = x6, x6
„ x5 - Ol A • cos x7 „ x5 „ = F- —-^-7 + F 5 + F3
ml
ml2
x5
' ml3
(2)
r (x3 - y в) • cos x7 + x5 • sin x7
x7 = x8, x8 = FL ———---5-7 +
Ol A • mAlL
r Zn • sin x7 - yB • cos x7 g .
+ F4 —--——-7 + sin x7,
OlA • mAl4 Ol A
где xL = x, x3 = y, x5 = z, x7 = 9; Fk, к = i + 4 — усилия в звеньях манипулятора.
Число обобщенных координат манипулятора превышает число обобщенных координат схвата, т.е. манипулятор имеет ненулевую маневренность и заданному конечному положению схвата соответствует бесконечное множество его конфигураций [9]. В предлагаемой статье ставится задача определения функций x2S-L(t), S = 1, 2, 3, 4, переводящих схват манипулятора из начального положения в конечное за время T и минимизирующих функционал [10]
J = Ф (x7(T)) + - J[x22 + x42 + x62 + OlA2 • x82]dt,
(3)
где Ф (x7(T)) — функция конечного состояния; (x\ + x4 + x6) — квадрат абсолютного
2 2
ускорения схвата; (О1 А ■ х8) — квадрат касательного ускорения точки крепления выходного звена четвертого привода.
Искомые функции должны удовлетворять следующим граничным условиям: х25-1(0) = х28-10 и х25_1(Г) = х25_1Г, кроме функции х7(Т), значение которой неизвестно,
г
о
а также х25 (0) = х25 (Т) = 0. Управляющими функциями являются усилия в звеньях манипулятора гк (г).
Необходимые условия оптимальности записываются в виде [11]
дН = о, dFk
где гамильтониан Н в соответствии с (2) и (3) равен
l2
Н = — 1 2
F XL + f xi — xB + f xi + xB ml1 ml2 ml3
r x3 — yB + O1 A ■ sin x7
Fi-:--
ml\
+ f2 xi-Ж + F3 x3 + yB
ml2
ml3
n x5 — Oi A ■ cos x7 n x5 n x5
F1 —-1-7 + F2 —^ + F3 —^ ■
ml1 ml2 ml3
F ((3 — Ув)cos x7 + x3 sin x7 + F Zj sin x7 — Ув COS x7 + g sin
mAl1
+ Xx + x2 + x
F ^L + f xi - xB + F x3 + xB mli ml2 ml3
mAl 4
+ x3x4 +
Fx3 - Ув + OiA ■ sin x7 + F x3 - Ув + F x3 - Ув ml1 ml2 ml3 j
+ X5x6 +
+ xs
rx5 - O1A ■ cos x7 „ x5 „ x5
F1 —-1-7 + F2 ^^ + F2 ^^ - j
ml1 ml2 ml3
+ x7x8 +
F (хз - Ув)cOs x7 + x5 sin x7 + F Zj sin x7 - Ув cos x7 + g x
F--г F4--1--sin x7
O1A ■ mA^ O1A ■ mA¡4 O1A
(4)
(5)
Множители %„ определяются равенствами
1 „ =-дН, „ = 1, 2, ...,8. (6)
dx„
Условия (4) и часть условий (6) приводят к системе уравнений
(X2 - x2) x1 + (X4 - x4) (x3 - ув + O1A ■ sin x7) + (- xCfi)(x5 - O1A ■ cos x7) +
+ (X8 - x8 )[(x3 - ув)cos x7 + x5 sin x7]] = 0,
mA
(X2 - xC2) (x1 - Xв) + (X4 - X4) (x3 - Ув) + (X6 - JC6)x5 = 0, (X2 - ¿2) (x1 + Xв) + (X4 - JC4) (x3 - Ув) + (X6 - JC6) x5 = 0,
(x8 - O1A2 • x8) (zj sin x1 - ув cos x7) = 0, x2 = -x1, x4 = -x3, x6 = -x5, X8 =-x7, из которой следует
X2 = x2, X4 = ¿4, X6 = *6, X8 = O1A2 • ¿8. (7)
Тогда гамильтониан (5) принимает вид
Н = (2 x2 - x2x2 ) + (2 x2 - ) + (2 ^ - x6x6 ) + (2 x2 - O1A2 ' x8x8
Так как гамильтониан не зависит явно от времени, то он постоянен и
-= x2x2 + x4 x4 + x¿x6 + O1A • x8x8 = 0.
dt
В силу независимости переменных x2, x4, x6, x8 этому уравнению удовлетворяет ре-
1 з
шение X1 = cn, X3 = с13, x5 = с15, Xl = c17. Для xk(t), к = 1, 3, 5 имеем xk(t) = -Ck +
6
+ 1 C2kt 2 + C3kt + C4k •
С учетом граничных условий
C _n C - (0) C - 12 [Xk (T) - Xk (0)] C _6 [Xk (T) - Xk (0)]
C3k = 0> C4k - xk(0)> C1k ---~3-> C2k --~2-
получаем
Xk(t) = -2 [xk(T)3- xk(0)] 13 + 3 [xk(T> - xk(0)] 12 + Xk(0). (8)
Таким образом, траектория схвата, удовлетворяющая функционалу (3), прямая.
дФ [(x7(T)]
Согласно [11] граничное условие для функции влияния X 7(T) =--—7--.
dx7(T)
Примем в качестве функции конечного состояния следующее выражение [12]:
ф^ 7(T)) = -Н-01А2 3x72(t ),
2T3
где ц — постоянный коэффициент, значение которого определяется по результатам анализа полученного решения [12], и может корректировать на стадии проектирования.
Из (7) 18(T) = -1 7(T) = 01А ,3 Xl(T), а из (8) i 8 = 01А2 ■ X8 = 01А2 ■ X7, тогда
X7(T) = const = X'7(t) = ^ Xl3(T) и после интегрирования с учетом граничных условий и учитывая x7 = ф, получаем
9(t) = Е1ФТ1t3 -^Тt2 +Ф7(0). (9)
6T3 4T
При t = T определяем неизвестное значение угла поворота основания в конечный 12
момент времени ф(Т) =-ф(0), а из уравнений (1) находятся законы изменения
12 + ц
длин звеньев lk(t) манипулятора. Так как за изменение угла поворотного основания отвечает четвертый привод, являющийся наиболее нагруженным [6], то значение коэффициента ц необходимо выбирать минимально возможным, учитывая ограничения на ход линейных двигателей.
Программные усилия, необходимые для реализации системой управления синтезированных законов движения звеньев манипулятора, находятся из решения уравнений (2) относительно управляющих усилий.
Недостатком синтезированных законов изменения длин звеньев lk(t) манипулятора является скачкообразное изменение ускорения схвата при t = 0 и t = T. Так как начальные значения длин звеньев механизма известны, а конечная конфигурация системы определена оптимизацией квадратичного функционала (3), в качестве законов движения звеньев от li0 до lik и угла ф от ф0 до фк возможно выбрать один из часто используемых законов. Например, синусоидальный закон изменения ускорения, обеспечивающий условия "мягкого" касания [10], заключающийся в равенстве нулю скорости и ускорения схвата в начальном и конечном положениях. Программные движения звеньев в этом случае принимают вид
1,(.г) = 1Ю + (Ьк -1,0 )■
г 1 . (2пг
---81П —
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.