ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 461, № 5, с. 530-532
МЕХАНИКА
УДК 533.6.011.1
ДИНАМИЧЕСКОЕ СЖАТИЕ ХОЛОДНОГО ГАЗОВОГО ШАРА © 2015 г. В. Ф. Куропатенко, Е. С. Шестаковская, М. Н. Якимова
Представлено академиком РАН В.А. Левиным 30.09.2014 г. Поступило 15.10.214 г.
БО1: 10.7868/80869565215110080
Более полувека не прекращаются попытки построения аналитических решений с целью создания условий для кумуляции энергии. Практически всегда решения строились для бесконечной области. Технические же устройства всегда имеют конечные размеры. В отличие от [1—5] рассмотрим динамическое сжатие газового шара конечного размера в следующей постановке. В момент t0 в сферической области радиуса r0 находится холодный идеальный газ с параметрами р0 = const, P0 = 0, u0 = 0 (р — плотность, P — давление, u — скорость). В точке t = t0, r = r0 задана скорость границы u10 < 0. При t > t0 из этой точки в газ со скоростью D1 < 0 станет распространяться ударная волна (УВ), на фронте которой
Y +1
Pi =J—7Р0. ui ,
Y - 1 у + 1
2 A, P1 =—лP0A2. (1)
Y +1
Течение газа между УВ и границей шара (ГШ) определяется уравнениями
Ф + u + р— + 2PU = 0,
dt dr dr r
5u + u — + 1 dP = 0,
dt dr р dr
(2)
дР + и дР + уР (ди + —) = 0. д? дг \дг г! Перейдем к новым переменным 1, £(г, 1) и будем искать решение системы уравнений (2), (3) в виде
Р = а р (?) П ®, р = ар (?) 5 ®,
и = а и (?) М (у.
Из соображения размерностей будем считать, что
а р — ара и. Производные по 1 обозначим точкой сверху величины, производные по £, — штрихом.
(3)
(4)
Российский федеральный ядерный центр Всероссийский научно-исследовательский институт технической физики им. Е.И. Забабахина, Снежинск Челябинской обл. E-mail: V.F.Kuropatenko@rambler.ru
После перехода к новым переменным уравнения (2), (3) принимают вид
Ф15 + ю%д' + Ид' + дИ + 2Ид = 0,
%
ф2дИ + юд%И' + дИИ + П' = 0,
ф3П + ю%П' + ИП' + Yn M + 2^ИП = 0,
%
(5)
(6)
где
аР аи а P
Ф1 = , Ф2 = —т, Фз = , арр а up а рр
ю = ——, Р = а„—.
dt ^р " dr
(7)
Разделим уравнения (5), (6) на две системы, одна из которых содержит величины, зависящие от 1, а вторая — от £,. Для этого нужно, чтобы
ф1 (t) = const, ф2 (t) = const, ф3 (t) = const, ю(t) = const.
(8)
Условия (8) выполняются, если функция 2, (t, r) линейно зависит от r:
% = rf (t).
Если задать траекторию УВ r1 = r0
tf - t V tf -10J
(9)
, где tf -
момент фокусировки УВ, и положить на УВ t>1 = 1, то из (9) получим выражения для f (t) и 2, (r, t):
f(t) = 1
f
tf -10 v tf-1j
f \n tf -10
V tf -1J
(10)
Продифференцировав r1 (t) по t, получим скорость УВ
A = -
m
tf t0
tf -1 V tf - t0)
\ n-1
(11)
ДИНАМИЧЕСКОЕ СЖАТИЕ 531
Таблица 1
№ t U № t U № t U
1 0.04 -1.008792 11 0.24 -1.042656 21 0.34 -1.042843
2 0.07 -1.015162 12 0.25 -1.043463 22 0.35 -1.041620
3 0.10 -1.021257 13 0.26 -1.044130 23 0.36 -1.040097
4 0.13 -1.026982 14 0.27 -1.044643 24 0.37 -1.038252
5 0.16 -1.032224 15 0.28 -1.044992 25 0.38 -1.036058
6 0.18 -1.035381 16 0.29 -1.045165 26 0.39 -1.033458
7 0.20 -1.038211 17 0.30 -1.045146 27 0.40 -1.030514
8 0.21 -1.039486 18 0.31 -1.044921 28 0.42 -1.023220
9 0.22 -1.040657 19 0.32 -1.044474 29 0.45 -1.008354
10 0.23 -1.041717 20 0.33 -1.043787 30 0.50 -0.9699473
Из (1), (4) и (11) следуют два уравнения на фронте УВ
и = —
2 r>n
Y + 1tf -1 о
Vtf -10 J
ч n-1
(12)
а и (t) M, =-
2 ron
tf -1 V tf - to J
Y + 1tf - to
Потребовав, чтобы M1 = const не зависело от r0, t0, tf и n, получим
Mi =-2- a„ (t) = -
Y +1
ГоП
tf t0
tf -t V tf -10 У
\ n-1
(13)
При I = ?0 из (12) определяется зависимость ^ от п:
_ 2г0п
= 'о 7 '
(( + 1)«1о
Значения 81, П1 и зависимости ар ('), ар (') получаются по аналогии с М1 и аи ('):
s Y +1
Si = J—-, ap =Ро.
Y-1
П1 = a Р = P0D10
Y +1
V^ -10 У
2(n-1)
(14)
Из (7), (13) и (14) определяются
п — 1 2 (п —1)
ф1 = 0, ф2 =-, ф3 = —-, ю = —1.
п п
Подставим ф1, ф2, ф3, ю в уравнения (5), (6) и преобразуем их к виду
М = Я - 2упМЛ 5, = 5(2М5п (М - - Я) (15)
К2 , —' ^ ,
R2 (M -%)
5П/
где
Я1 = (п -1) % ((М -%) 5М - 2П),
Я = я%(уП- (М -%)) 5). Функции 5 (£,), П (£,), М (£,) находятся путем интегрирования уравнений (15), (16) в области 1 < 2, < да. Значение £, = да достигается при I = Ц и г > О. Величина п находится в процессе интегрирования уравнений (15), (16) из условия одновременного обращения в ноль числителей в уравнениях (15), (16) и знаменателя Я2. Здесь приведены полученные таким методом значения п(у):
у 1.1 1.2 4/3 1.4 5/3
V 0.795973 0.757142 0.729259 0.717175 0.688377 8Ш 184.465 59.5525 26.5447 20.0714 9.549680
Плотность газа в момент фокусировки не зависит от радиуса и определяется соотношением р = р^-Здесь также приведены значения для разных у.
Изложенное решение было применено для оценки точности нескольких методов расчета ударных волн. Холодный газовый шар размером г0 = 1 имел параметры Р0 = 0, р0 = 1, и0 = 0, и01 = -1,
Y = 5/3. Граничное условие определяли следующим образом. Масса шара не зависит от времени. В момент она равна сумме т1 и массы газа между УВ и границей
г,
4 пр0г13 + [4лг 2рёг = 4 пр0г03. (17)
3 3
г1
Перейдем к интегрированию по При ' = из (10) следует зависимость
r = rfc
/ \n
tf - t*
V tf - t0)
(18)
П' = (2(nyM + 2,(n - 1))(M - ф - (n - 1)y^M), (16) R2
Подставив (18) в (17), получим уравнение для определения координаты границы
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 461 № 5 2015
3*
532
КУРОПАТЕНКО и др.
Рис. 1.
1 + 3
i s^-
fu — С
tf — t*
3n
V f
= 0.
По значению £,* из зависимостей М(%), П(^) определяются М*, П*, а из (4) определяются и и Р на границе шара. Радиус границы находим из (18) по £,*. Зависимость скорости границы от времени для у = 5/3 представлена в табл. 1.
На рис. 1 приведены зависимости Р(г) (а) и и(г) (б) на момент времени ^ = 0.45; 1 — аналитическое решение данной работы, 2, 3 — расчеты по методу [6] на равномерной по г сетке с числом точек N = 100 (2 — с выделением фронта УВ, 3 — без выделения фронта УВ).
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 13-01-00072.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Седов Л.И. // ДАН. 1945. Т. 47. № 2. C. 94-96.
2. Станюкович К.П. // ДАН. 1945. Т. 48. № 5. С. 331333.
3. Крайко А.Н. Сферически и цилиндрически симметричное нестационарное сжатие идеального газа. Докл. на VII Забабахинских научных чтениях. Снежинск. 2003. www.vniitf.ru/rig/konfex/7zst/re-ports/6-1.pdf. 13 p.
4. Брушлинский К.В., Каждан Я.М. // УМН. 1963. Т. 18. В. 2. С. 3-23.
5. Guderley G. Starke kugelige und zylindrische Verdich-tungsstobe in der Nahe des Kugelmittelpunktes bzw. der Zylinderachse // Luftfartforschung. 1942. Bd. 19. Lfg. 9. S. 302-312.
6. Куропатенко В.Ф., Кузнецова В.И., Михайлова Г.И. и др. // Вопр. атом. науки и техники. Сер. Мат. моделирование физ. процессов. 1989. В. 2. С. 9-26.
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 461 № 5 2015
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.