МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2013
УДК 532.68
© 2013 г. А. В. БАЗИЛЕВСКИЙ
ДИНАМИКА ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ НИТЕЙ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ
Измерена сила натяжения утончающейся нити растворов высокомолекулярных полимеров при использовании самой нити в качестве чувствительного датчика силы. Оценены осевые напряжения в нити и эффекты перетекания жидкости из нити в примыкающие капли. Показано, что эти эффекты незначительны для полимерных растворов в маловязком растворителе (воде), но существенны для растворов в высоковязкой жидкости (глицерине). Предложена модификация стандартного реологического метода капиллярной нити, позволяющая избежать принятия каких-либо гипотез о характере распределения напряжений в нити. Обнаружены и проанализированы периодические поперечные колебания оси нити.
Ключевые слова: капля, нить, полимерный раствор, вязкость, упругость, растяжение.
Попытка растянуть между двумя плоскостями каплю воды в визуально наблюдаемую нить неизбежно заканчивается неудачей. Это и неудивительно, так как время капиллярного распада жидкого мостика маловязкой ньютоновской жидкости, определяемое балансом сил инерции, вязкости и поверхностного натяжения, весьма мало и составляет лишь сотые доли секунды [1]. Если взять значительно более вязкую жидкость, например глицерин, то уже реально получить нить, живущую около одной секунды. Действительно же кардинальное увеличение "живучести" нити достигается путем растворения в воде высокомолекулярных полимеров [2, 3]. Ничтожное их количество порядка нескольких сотых долей процента, приводит к увеличению времени жизни нити в сто и более раз. При этом сдвиговая вязкость полученного раствора только в 2—3 раза превышает вязкость воды.
Указанный эффект объясняется способностью полимерных жидкостей накапливать большие обратимые деформации при интенсивном растяжении в нити, когда возникающие упругие силы резко замедляют течение. В результате, жидкий мостик не разрывается, а трансформируются в однородную нить, которая продолжает утончаться, сохраняя цилиндрическую форму. Возникает новый гидродинамический объект — жидкая самоутончающаяся цилиндрическая нить (цилиндрический жидкий мостик).
Теоретическое описание рассматриваемого явления опирается на определенные гипотезы о реологическом поведении жидкости, а также о характере течения и распределении сил в нити. Обычно предполагают [3, 4], что течение в нити безынерционно, однородно по сечению, а напряженное состояние в цилиндрической системе координат с направлением 5, совпадающим с осью нити, описывается диагональным тензором (ст5, аг, сте), осевая компонента которого значительно меньше радиальной |ст5| ^ Действительно, из граничных условий на поверхности нити следует, что радиальная компонента равна с обратным знаком капиллярному давлению в нити аг = —рс = —а/г, где г — радиус нити, а — поверхностное натяжение. С другой стороны, в безынерционном приближении, компонента ст5 постоянна вдоль оси нити и определяется только капиллярным давлением в капле и процессом перетекания жидкости из нити в каплю. Считая, что жидкость не испытывает сопротивления перетеканию, можно заключить, что напряжение ст5 мало. Однако детальный анализ процесса релаксации напряжений при втекании вязкоупругой жидкости в каплю показывает возможность сохранения
значительного положительного осевого напряжения в жидкости [5]. В случае нити вязкой жидкости естественно ожидать появления осевого сжимающего (отрицательного) напряжения вследствие торможения жидкости при ее втекании в каплю [4, 6, 7].
Самоутончающаяся нить представляет интерес и с другой точки зрения — такая нить это своеобразный "капиллярный гидродинамический реометр", в котором реализуется одноосное растяжение жидкости с легко контролируемыми кинематическими и динамическими параметрами [8]. Действительно, скорость осевой деформации в., = —2d(1nr)/dt ( — время) и разность главных напряжений ст5—аг = а/г определяются только изменением радиуса нити и поэтому легко измеримы.
Идея использования утончающейся нити для изучения реологии жидкости реализована как в простых экспериментальных установках [9], так и в серийно выпускаемом элонгационном реометре СаВЕЮ. При тестировании вязкоупругих жидкостей (полимерных растворов) предполагается справедливым соотношение |ст5| ^ |стг|, а в других случаях реологического поведения жидкости (ньютоновская, вязкая степенная) вводится корректирующий коэффициент [6, 7, 10, 11], учитывающий реальную величину Поэтому важно оценить роль краевых эффектов прямыми измерениями величины осевого напряжения в нити. Для этого достаточно измерить силу натяжения нити ¥ = ст.пг2 + 2пга, определяемую внутренними напряжениями пР'ст, и капиллярным натяжением поверхности 2пга, и сравнить ее со значением ¥ = 2пга, предсказываемым теорией для случая |ст,| ^ |стг|. Первые результаты таких экспериментов, проведенных в основном с разбавленными растворами полимеров, приведены в [12, 13].
В настоящей работе осевое напряжение в нити определяется, используя саму нить в качестве чувствительного датчика силы. Хотя в цитируемых выше работах исследовались нити ориентированные вертикально, особого внимания заслуживает случай горизонтального растяжения капли при формировании нити [14, 15]. Кадры видеозаписи этого процесса показаны на фиг. 1. Видно, что после остановки пластин формируется нить с искривленной осью; в дальнейшем по мере утончения, величина прогиба оси уменьшается. Поскольку форма оси нити зависит от силы ее натяжения, воспользуемся данным обстоятельством для исследования напряженного состояния жидкости в нити.
1. Уравнение оси нити. Форма оси нити в каждый момент времени рассматривается как равновесная и определяемая балансом силы тяжести, осевого натяжения и силы инерции, связанных с движением жидкости вдоль нити. Также предполагается, что продольная скорость и осевая компонента тензора напряжений постоянны по сечению нити.
Пусть у = у(х) — уравнение оси нити в выбранной декартовой системе координат (фиг. 2). Продольная координата 5 отсчитывается вдоль оси нити, ф — угол, составляемый осью с горизонталью. Баланс импульса жидкого элемента длиной ds по нормали и касательной к оси, а также уравнение неразрывности соответственно дают
р/ё сои ф- -ф(¥ -р и2/) = 0
2
(1.1)
р/ё Бт ф - — (¥ - р и /) = 0
-
2
(1.2)
/ + дШ1 =
— +
д? дs
(1.3)
где /(^) = пг2(5) — площадь сечения нити, г(^) — скорость жидкости вдоль оси, ¥(5) — сила натяжения нити, р — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения.
1 5 мм 1 1
2 4
3
4 1
Фиг. 1. Последовательные фотографии 1—4 процесса формирования и утончения горизонтальной нити раствора ПЭО-1%; интервал времени между кадрами 0.125 с
Фиг. 2. Модель горизонтальной жидкой нити
Уравнение (1.2) показывает, что ¥ изменяется вдоль нити из-за действия силы тяжести и инерции жидкости, а величина этого изменения приближенно составляет: Д¥ « рпrigymsк + рпг2Ау2« рgтсг2ymax + 4ртс£2(^г/Л)2, утах — максимальный прогиб. Сравнивая Д¥ с 2пга, получим Д¥/2пга « рgгymax/2а + 2р£2(^г/Л)2/га. Для типичных параметров р = 1000 кг/м3, а = 70 мН/м, £ ~ 10 мм, г ~ 0.1 мм, йг/& ~ 1 мм/с, утах ~ 1 мм, g = 9.8 м/с2 имеем Д¥/2пга = 0.035. Таким образом, сила натяжения меняется незначительно вдоль нити.
Определим форму нити. Если диаметр нити меняется плавно, то ее натяжение равно Г = о„пг2 + 2пга, а в приближении ст5 < а/г имеем Г = 2пга. Пренебрегая движе-
нием жидкости в нити (ри2/ < F), подставляя (1.1) в (1.2), получим Fcosq = const = = Fmin, где Fmin = 2nrmina — значение силы натяжения в точке максимального прогиба (минимального радиуса нити rmin). С учетом этого из (1.1) следует дифференциальное уравнение оси нити
=--Z_ = = const (1.4)
ds (1 + y af2 2a
здесь y' = dy/dx. Согласно (1.4) кривизна dq/ds постоянна. Следовательно, при выполнении условия as ^ a/r, форма оси нити отличается от цепной линии и в каждый момент времени представляет собой дугу окружности радиуса R = 2a/pgrmin, уравнение которой
(У + Я - Утах)2 + X2 = Я2 или (у + VЯ2 - ]})2 + X2 = Я2 При этом закон изменения радиуса нити вдоль оси имеет вид
ф) = Гт1п/ 008 (М^) или Г(Х) = ^(1 - (х/Я)2)~Щ (1.5)
Из (1.5) видно, что степень неоднородности нити гтЬ/г(Ь) увеличивается с ростом ее радиуса. Например, для р = 1000 кг/м3, а = 70 мН/м, 5 = Ь = 10 мм, гтЬ = 0.1 мм (1.5) дает гтЬ/г(Ь) = 0.99, а для гтЬ = 0.5 мм — гтЬ/г(Ь) = 0.94; т.е. в рассматриваемых условиях, можно ожидать лишь незначительного изменения диаметра нити по длине. В общем случае из (1.1) и (1.3) следует
2
г/ \ 2 1 + У' , 2 2,, , й 1п ф) ,л ,ч
Г(5) = -pgпr ----+ри пг , и(^) = -25-— (1.6)
у" dt
Соотношения (1.6) позволяют найти распределение натяжения нити вдоль оси по известным у(х), г(5^).
Обратимся к ситуации небольших изгибов оси |у '| < 1 (утах/Ь < 1), приблизительного постоянства диаметра и натяжения нити. Учтем, что исследуются достаточно медленно утончающиеся (dr/dt < 1 мм/с) и не слишком тонкие нити, для которых вклад слагаемого ри2пг2 в баланс сил незначителен, т.е. ри2пг2 < 2пга или dr/dt < (аг/2рЬ2)0 5. В этом приближении, интегрирование (1.6) с граничными условиями у(Ь) = 0, у'(0) = 0
дает параболическую форму оси нити у - утах = -утахх2/X2 и выражения для силы натяжения и внутренних напряжений
2 X2 X2 г = рgпr --, с-аг =pg2----(1.7)
2утах 2 утах г
С помощью соотношений (1.7) можно определить силу натяжения нити, измерив только ее радиус, расстояние между концами и величину максимального прогиба. Если из эксперимента известна вся форма оси у (х), то вместо (1.7) лучше использовать непосредственно уравнение (1.6), из которого следует
2 2
г/ \ 21 + у' 1 + у' а оч
Г(5) = ^лг —, а — о г = ^ —£------(1.8)
у у г
В этом случае полученную из эксперимента дискретную зависимость у,(х,) целесообразно аппроксимировать параболой у = Л^х2 + Л1х + А0, являющейся решением
уравнения (1.6) при |у '| ^ 1; тогда Г = -рgпr2/2А2.
Фиг. 3. Зависимость сдвиговой вязкости ц исследуемых жидкостей от скорости сдвига у: 1 - ПЭО-0.25%, 2 - ПАА-0.1%, 3 - ПАА- 0.25%, 4 - ПЭО-1%, 5 -ПАА-1%, 6 - ПАА-0.001% в глицерине с добавкой воды, 7 - П
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.