Письма в ЖЭТФ, том 101, вып. 2, с. 84-89
© 2015 г. 25 января
Динамика и блокирование волн Россби в квазидвумерных
сдвиговых течениях
О.Г. Чхетиани+*^\ М. В. Калашник+Х, Г. Д. ЧагелишвилиoV +Институт физики атмосферы им. Обухова РАН, 119017 Москва, Россия * Институт космических исследований РАН, 117810 Москва, Россия х НПО "Тайфун", 249038 Обнинск, Россия °Abastumani Astrophysical Observatory, Ilia State University, 0160 Tbilisi, Georgia v Nodia Institute of Geophysics, Tbilisi State University, 0128 Tbilisi, Georgia
Поступила в редакцию 11 ноября 2014 г. После переработки 25 ноября 2014 г.
Одно из наиболее интригующих явлений в атмосфере Земли - блокирование погодных аномалий -часто связывают с появлением неподвижных, или блокированных волн Россби в зональных течениях. Для описания волн Россби в квазидвумерных потоках традиционно используют квазигеострофическую форму уравнения переноса потенциальной завихренности - уравнение Обухова-Чарни. В работе построен класс точных решений этого уравнения, описывающий волны Россби на зональном течении с постоянным горизонтальным сдвигом. Показано, что особенности волновой динамики принципиальным образом зависят от отношения длины волны к радиусу деформации Россби. Если это отношение достаточно велико, то существует длительная квазистационарная стадия эволюции, на которой меридиональное волновое число и значение полной энергии волны (близкое к максимальному значению) практически не меняются со временем. Данный эффект реализуется в условиях преобладающего вклада деформации свободной поверхности атмосферы в потенциальную завихренность. Показано, что этот эффект может приводить к новым сценариям фазовой и амплитудной блокировки волн Россби.
DOI: 10.7868/S0370274X15020034
1. Одно из классических уравнений геофизической гидродинамики - уравнение Обухова-Чарни -описывает медленные квазидвумерные движения вращающейся планетной атмосферы толщины В в окрестности широты в = во- Данное уравнение представляет собой квазигеострофический вариант уравнения переноса потенциальной завихренности <3, записанный в так называемом приближении /3-плоскости и справедливый для движений с числом
Россби Ио = 1, где £/о, В - характерная
/о В
скорость и горизонтальный масштаб движений соответственно, /о - значение параметра Кориолиса на широте во- Безразмерная форма уравнения Обухова-Чарни имеет вид [1-4]
<2г + Я) = 0, Я = ВАН -Ь + Ру. (1)
Здесь в качестве масштабов х, у, £ приняты В, В, ——
Во
соответственно, <5) = ¡гхС^у — - двумер-
ный якобиан, В = I —jj
Ш
1/2
число Бургера, Br =
/о
- радиус деформации Россби, h - отклоне-
ние толщины атмосферы от невозмущенного значе-
г> /оШ° р ния В, нормированное на-. Связанные с откло-
9
нениями Н компоненты квазидвумерного поля скорости определяются выражениями и = — 1гу, V = = Кх. Неоднородность распределения параметра Кориолиса по широте (меридиональной координате у)
А
в уравнении (1) описывается параметром ¡3 = где /?0 = (2Г2/го) cos во,
РоЬ] Щ '
угловая скорость вращения и радиус планеты соответственно. Именно эта неоднородность, учитывающая сферическую кривизну планеты, приводит к появлению специального класса низкочастотных вихревых движений атмосферы волн Россби [2-4].
-^e-mail: lgg@ifaran.ru
Отметим, что для земной атмосферы с характерной толщиной В = 8 км на широте 30° /о = 10~4 с-1, /?о = 2 • 10-11м_1с-1. Соответственно Вд = 2800км
и ¡3 = 5.2 (при Ио = 30 м/с). Для бароклинных движений атмосферы и океана, описываемых близкими к (1) уравнениями, значение Ьц может быть существенно меньше. В физике плазмы уравнение, полностью совпадающее по структуре с (1), было выведено А. Хасегава и К. Мима для описания дрейфовых замагниченных волн [3,5-7].
Вклад относительного движения в потенциальную завихренность описывается первыми двумя слагаемыми в выражении (1) для <3. При этом первое слагаемое дает вклад от вертикальной компоненты относительного вихря £ = ух — иу = Ак, второе -от изменения толщины атмосферы к (деформации свободной поверхности). Величина отношения первого слагаемого ко второму определяется числом Бур-гера В, т.е. отношением радиуса деформации Ьц к масштабу движения Ь. При В <С 1 основной вклад в потенциальную завихренность дает изменение /г, при В > 1 - относительный вихрь. Аналогичное разделение вкладов можно провести и для полной энергии Е, сохраняющейся для движений, ограниченных на бесконечности:
яг Л Г Г
— =0, Е=- Ц [В(Чк)2 + к2] сШу. (2)
Согласно (2) при В <С 1 основной вклад в Е дает потенциальная энергия, а при В>1- кинетическая (первое слагаемое в (2)). Как будет показано ниже, зависимость от В оказывает принципиальное влияние на динамику волн Россби.
Исследуем в рамках (1) поведение возмущений зонального течения с постоянной фоновой скоростью V и горизонтальным сдвигом в. Соответствующее течение описывается точным решением (1):
Цу) = -иу - 5у2/2, й(у) = -Пу = и + 5у. (3)
Полагая в (1) к = к(у) + /г/(ж, у,¿), для описания возмущений получаем нелинейное уравнение
д дЬ
(■и + Бу)
д
дх
(ВАк' - Ы) +
д Ы
0,
(4)
которое мы будем рассматривать на всей плоскости —оо < ж, у < оо. В дальнейшем штрих после переменной к опускается. Прежде чем переходить к построению решений этого уравнения, обсудим кратко случай отсутствия горизонтального сдвига (¿У = 0), хорошо изученный в литературе [2]. В этом случае (4) имеет точное решение, к = Аехр [г (кхх + куу — иЛ)], описывающее волну Россби с дисперсионным соотношением
ивк2 - ¡3
ш = ш (к) =
где к = (кх, ку), к2 = к2. + к2 - квадрат модуля волнового вектора. Согласно (5) для потока, дующего с
востока (И < 0), зональная фазовая скорость — < О,
кх
т.е. волна всегда распространяется на запад (в геофизических задачах ось х традиционно считают направленной на восток, а ось у - на север). В случае западного потока (£/ > 0) существует граничное значение
к = кь= (-^Л , (6)
такое, что при к > кь фаза волны распространяется на восток, а при к < кь - на запад. Волна с к = кь остается неподвижной или блокированной в потоке. Возможность существования подобной волны представляет значительный интерес прежде всего в связи с явлениями атмосферного блокинга, сопровождающимися установлением над большими территориями продолжительной сухой и жаркой погоды [8—11]. При 11 = 1 размерная длина блокированной волны
А ь = Ь-
2тг
2тг
А)У
1/2
Для земной атмосферы при и о = 10 м/с длина волны Аь = 5400 км, если /?о вычисляется на широте во = 45°. Она практически в два раза превышает радиус деформации. Отметим, что соотношение (5) используется, в частности, в [12] при анализе явлений блокирования в условиях лабораторных экспериментов.
Ниже обсуждаются динамика и возможность существования блокированных волн в присутствии горизонтального сдвига.
2. Как и в работе [13], в которой рассматривалась задача о линейной связи волн Россби и волн плотности в приближении сжимаемой мелкой атмосферы [6], будем искать точное решение уравнения (4) в форме плоской волны с переменной амплитудой и меридиональным волновым числом, зависящим от времени:
к = А (¿) ехр г [кхх + ку (¿) у].
(7)
Для решения (7) двумерный якобиан обращается в нуль. Подстановка (7) в (4) дает
¿{[1 + Вк2(г)]А(г)}
сМ у" у' <м
- г!ЗкхА{1) + гВ(и + 5у)к2(фхА(г) = 0, (8)
где к2 (£) = к2 + к2 (£). Из (8) сразу следуют уравне-
1 + Вк2
(5) ния для нахождения ку(£) и амплитуды:
[1 + Вк2(г)]^ + В8к2(фх = о,
(9)
сЫ
{[1 + в к2 (г)] А} - ¡кх [/з - вик2(г)] А = о. (Ю)
Уравнение (9) получено из (8) приравниванием нулю коэффициента при у.
Далее для определенности будем рассматривать случай положительного значения сдвига {Б > 0), когда у зонального течения имеется антициклонический сдвиг. Переходя к новому времени г =
и определяя переменную д(т) = уравнения (9), (10) в виде
М7
-, перепишем
с1т
{1 + В41 + д2(т)}} ^ + В41 + д2(т)} = 0, (И) {[1 + В,к2(г)] А} -г/3, [1-и,к2(т)]А = 0. (12)
Здесь для краткости обозначено к2 (г) = 1 + д2(т) и введены параметры
ркх _ В,и Б ' * ~ /3 '
в , = в к2, д»
(13)
Интегрирование (11) дает неявную зависимость меридионального волнового числа от времени:
1агс1ап [д(т)] + д(т) = тт - т, тт = В-1 агс^ап [д (0)] + д (0).
(14)
Обозначая А(т) = [1 + В*к2(т)] А и переходя в (12) к независимой переменной д = д(т), получим уравнение с разделяющимися переменными:
с1А_.!31 (1д В*
В* -
1
1 + Г
А.
(15)
После интегрирования (15) найдем временную зависимость амплитуды:
А(т)=А(0) ехрф(т) -у(0)], (16)
Ф) = ф - агс!ап [д(т)]} . (17)
-О*
С учетом (16) после выделения вещественной части решение (7) для /? можно записать в виде
© = /сжж + ку(т)у + <р(т) - ср(0),
(18)
где функция © = ©(ж, у, т) определяет полную фазу волны. Произведя усреднение по фазе, для полной энергии волны Е = (В(У/?.)2 + /г2) /2 (угловыми
скобками обозначен оператор усреднения) легко получить выражение
Е(т) =Е( 0)
1
1 + в* [1 + г(0)]
1 + В> [1 + д2(т)]
(19)
где Е{0) = -А2(0){1 + В,\ 1 + <г(0)]} - энергия в начальный момент времени.
Подчеркнем, что (18) представляет собой точное решение уравнения Обухова-Чарни. Суперпозиция таких решений будет решением только линеаризованного уравнения. С использованием (18) в рамках линейной теории можно записать полное решение начальной задачи в форме двойного интеграла по компонентам волнового вектора.
Начнем анализ полученного решения со случая В* 1, когда можно пренебречь деформацией свободной поверхности. Как следует из (14), в этом случае асимптотически д(т) = д (0) — г, т.е. меридиональное волновое число линейно зависит от времени: ку(1) = ку (0) — >'/••, / (рис. 1). Соответственно при
10
0 -10 -20 -30 -АО
; N X
- \ \ —. \
- \
-
1 \ \
- \ ч
- \
;
" \ ч \
: \
- , ...... , 1 , , ...... ........>,
0
10
20
30
40
50
Рис.1. Зависимость волнового числа ц — ку //г7 от времени т = для трех значений В„\ 1 - В* = 1; 2 - 0.25; 3-0.1
д (0) >0 полная энергия
Е{т) = Е{ 0)
1 + в* [1 + г(0)]
1 + В*{1 + [<7(0)-т]2}
достигает максимума в момент времени г = тт = = д (0) и далее убывает. Здесь мы имеем оригинальную разновидн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.