МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 6 • 2014
УДК 532.65
ДИНАМИКА КАПИЛЛЯРНОГО РАСПАДА УПРУГИХ СТРУЙ
© 2014 г. А. В. БАЗИЛЕВСКИЙ, А. Н. РОЖКОВ
Институт проблем механики РАН им. А.Ю. Ишлинского, Москва e-mail: baz@ipmnet.ru, rozhkov@ipmnet.ru
Поступила в редакцию 27.03.2014 г.
Измерена сила натяжения нитей, возникающих при капиллярном распаде струй высокомолекулярных полимерных растворов концентрации 0.003—0.03%. В качестве чувствительного датчика силы использованы примыкающие к нити капли. Определены напряжения, действующие в нити. Показано, что реологическое поведение жидкости при растяжении в нити отличается от ее поведения в условиях сжимающегося течения в капле. Проанализированы инерционные эффекты при утончении нитей между каплями струи.
Ключевые слова: струя, капля, распад, полимерный раствор, упругость, время релаксации.
Капиллярный распад струи — один из фундаментальных процессов гидродинамики. Несмотря на продолжительную историю, ведущую начало еще от работ Савара, Плато и Рэлея [1—3], он и сейчас привлекает внимание многих исследователей. Это объясняется широким распространением капиллярных струй на практике. Достаточно вспомнить о струйных принтерах [4], струйных радиаторах для космических станций [5], процессах распыливания топлив [6], технологиях нанесения покрытий [7] и многих других приложениях [8].
Особое место занимают струи полимерных жидкостей, формы распада которых отличаются от распада струй ньютоновских жидкостей [4, 9—18]. Иногда они становятся компонентами новых технологий. Например, благодаря полимерным добавкам повышаются устойчивость струй и соответствующее качество печати в струйных принтерах [4]. Явление образования самоутончающихся нитей при распаде струй или жидких мостиков превращено не только в способ получения нановолокна [19, 20], но и в метод изучения реологии жидкости при растяжении [12, 21, 22].
Главная особенность распада полимерных струй — трансформация мостиков между каплями струи в однородные жидкие нити, медленно утончающиеся во времени (фиг. 1). Самоутончающаяся нить между каплями струи — следствие способности полимерных жидкостей накапливать значительные обратимые деформации при растяжении.
Теоретический анализ процесса утончения нити основывается на определенных предположениях о реологии жидкости, характере течения и распределении сил в нити. В первом приближении считают [12], что течение в нити безынерционно, нить однородна по длине и обладает осевой симметрией. Существование нити обусловлено балансом между внешними напряжениями (осевое напряжение ох на краях нити, капиллярное давление a/r), давление окружающей среды и внутренними напряжениями (тензор избыточных напряжений т, давление p); для упрощения выкладок давление окружающей среды далее полагается равным нулю
о* = т* - Р, - a /r = oY = Ту - p
Фиг. 1. Распад струи 0.01% раствора полиэтиленоксида. Струя движется слева направо со скоростью 1.7 м/с (а). Однородная цилиндрическая нить между каплями распада струи раствора ПЭО-0.03% (б). Модель нити (в)
где г — радиус нити, а — поверхностное натяжение, а тензоры о и т представлены физическими компонентами в цилиндрической системе координат (х, у, ф) (фиг. 1, в), причем в силу ориентации полимерных макромолекул вдоль оси нити ту = 0 [23].
Дальнейшее продвижение обеспечивается заданием реологического уравнения для тензора т и предположением, что осевая физическая компонента ах значительно меньше радиальной физической компоненты сту: |стх| ^ |сту = — а/г| [12, 23, 24]. Наряду с приближением ах = 0 существуют и другие гипотезы. Так, в [25] предполагают, что Стх = а/г.
В настоящей работе апробируется утверждение, что величина ах может быть конечной, а ее значение определяется процессом перетекания жидкости из нити в каплю и капиллярным давлением в капле Ра. Если жидкость свободна от внутренних напряжений при движении в капле, то ах = Рй. Однако, если при втекании упругой жидкости в каплю напряжения релаксируют на конечной длине, возможно формирование положительного осевого напряжения ах порядка а/г, способствующего перетеканию [26]. С другой стороны, если жидкость неупругая, а вязкая, то деформация жидкости при втекании в каплю формирует вязкие напряжения, препятствующие течению, ах < 0 [23, 25, 27]. х
у
^ г
Фиг. 2. Капля струи с примыкающими нитями
Исследования распада полимерных струй обычно ограничиваются регистрацией картин распада и сравнением их с результатами аналитических решений или численных расчетов [28]. Информация о напряженном состоянии жидкости в нити и капле является ключевой для понимания механизмов распада струи реальной жидкости и построения соответствующих теоретических моделей распада. Кроме того знания о структуре напряжений в струе необходимы для развития новых реометрических тестов различных жидкостей, осуществляемых с использованием распадающейся струи [29, 30].
Настоящая работа проводилась с целью разработки метода измерения и установления распределения нагрузок в распадающейся струе реальной жидкости. Напряженное состояние струи — это прежде всего сила натяжения капиллярной нити, соединяющей соседние капли. Ее значение = 2пга + ахкг1 определяется как сумма сил, приложенных к поверхности (2пга), и сил, действующих в объеме (пг2стх).
Задача измерения переменной силы величиной в несколько десятков микроньютонов в движущейся струе представляется, на первый взгляд, трудноразрешимой. Первые результаты таких экспериментов приведены авторами в [17]. Постановка эксперимента включала механическое воздействие на струю. Струя вытекала из поперечно колеблющегося сопла, что приводило к формированию на поздней стадии ее распада необычной формы движения жидкости — зигзагообразной струи. В такой струе примыкающая к каждой капле пара нитей заставляет каплю двигаться по криволинейной траектории, последующий компьютерный анализ которой позволяет определить силы натяжения нитей.
В данной работе представлена альтернативная методика измерения силы натяжения нити непосредственно в полимерной струе, не подвергая ее какому-либо внешнему воздействию. Результаты первых опытов опубликованы в [31].
1. Метод. Измерение силы натяжения нити основывается на анализе формы капли, к которой примыкает нить. Аксиальные силы, действующие на каплю со стороны нитей, вызывают деформацию капли и отклонение ее формы от сферической. С ростом силы натяжения в нитях это отклонение увеличивается. Таким образом, сама капля играет роль чувствительного датчика силы, действующей на каплю со стороны нити.
Рассмотрим каплю струи с примыкающими к ней нитями в цилиндрической системе координат с осью г, направленной вдоль оси струи (фиг. 2). Пусть положение г = 0 отвечает максимальному радиусу капли у = Я0. Предполагается, что обе примыкающие к капле нити одинаковы. Поверхностное натяжение жидкости считаем постоянным и равным его статическому значению. Пренебрегаем движением жидкости в капле и соответствующими силами инерции. Влияние внутренних напряжений предполагается малым. Таким образом, будем рассматривать статическую каплю, находящуюся в равновесии под действием только капиллярных сил и внешней растягивающей силы ¥, направленной по оси симметрии. При указанных допущениях ка-
пиллярное давление Pd и растягивающее усилие в капле постоянны, а ее форма R(z) удовлетворяет уравнению Лапласа
Pd = a(^(l + R'2)-1/2 - R"(l + R'2)-3/2) = const (1.1)
Здесь R' = dR/dz, R " = d2R/dz2.
Дифференциальное уравнение формы капли (1.1) может быть представлено в безразмерном виде
dL = уь dY = l±ii_ - к(1 + Y12)3/2 (1.2)
dZ 1 dZ у 1
где Y = R/R0, Z = z/R0 — соответственно, безразмерные радиальная и аксиальная координаты профиля капли, K = PdR0/a, R0 — радиус капли в сечении z = 0. Граничные условия для (1.2) имеют вид Y(0) = 1, Y:(0) = 0.
Параметр K характеризует степень отклонения формы капли от сферической. Например, K = 2 для сферической капли, K = 1 - для цилиндрической капли, а для промежуточных вариантов K е (1, 2). Этот параметр также определяет растягивающую силу
F = 2naR0 - PdnR0 = 2naR0(1 - K/2)
В частности, F = 0 для сферической капли (K = 2) и F = 2naR0 для цилиндрической капли (K = 1).
Алгоритм определения F состоит в следующем. Варьируя параметр K и численно решая уравнение (1.2), можно найти такое значение K, при котором теоретический профиль капли Y(Z, K) наиболее близок экспериментальному табличному профилю Yi(Zi), i = 1, N. Наилучшее приближение определяется по методу наименьших квадратов, т.е. по минимуму выражения [32]
N
Ф(К) = (1/N)X [y(Z, K) - у,(Z)]2
1
Значение К *, обеспечивающее минимум функционала Ф(K), принималось за искомый параметр задачи. Затем по приведенной выше формуле вычислялась растягивающая сила F = 2naR0(1 — К * /2).
Использование капли в качестве датчика силы имеет определенные ограничения. Время внешнего воздействия на каплю должно быть значительно больше периода собственных колебаний капли. Период первой гармоники инерционных колебаний
3
сферической капли составляет
(рR0 /8a)1/2 [33]. Полагая для оценки плотность р = 1000 кГ/м3, a = 0.07 Н/м, R0 = 0.25 мм, получим Ts = 1.64 х 10-4 с. Таким образом, метод применим для процессов, время протекания которых заметно превосходит T = 1.64 • 10-4 с.
Вязкость жидкости оказывает двоякое влияние. С одной стороны, она демпфирует собственные колебания капли, что является положительным фактором для применения метода. С другой - задерживает отклик капли на изменение действующей силы. Эту задержку можно оценить как Atv ~ nR0/a, п - вязкость жидкости [29]. Например, для п = 0.01 Па ■ с, a = 0.07 Н/м, R0 = 0.25 мм оценка дает значение Atv = 3.6 • 10-5 с. Таким образом, небольшая сдвиговая вязкость жидкости практически не замедляет отклик формы капли на приложенную силу.
Таблица 1
Жидкость Концентрация, % а, мН/м
Вода 0 71.8 ± 0.3
ПЭО 0.003 67.3 ± 0.4
ПЭО 0.01 62.2 ± 0.3
ПЭО 0.03 62.1 ± 0.2
ПАА 0.003 71.8 ± 0.2
ПАА 0.01 72.1 ± 0.1
ПАА 0.03 71.8 ± 0.2
Пренебрежение внутренними напряжениями в жидкости, очевидно, не выполняется в области перехода из нити в каплю, где упругие напряжения в перетекающей
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.