ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 3, 2014
УДК 531.352: 629.7
© 2014 г. С. А. Гутник, В. А. Сарычев
ДИНАМИКА ОСЕСИММЕТРИЧНОГО СПУТНИКА-ГИРОСТАТА. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ
Исследуется динамика осесимметричного спутника-гиростата в центральном ньютоновом силовом поле на круговой орбите. Определены все положения равновесия спутника-гиростата в орбитальной системе координат и проведен анализ условий их существования. Найдены все бифуркационные значения параметров системы, при которых изменяется число положений равновесия. Показано, что в зависимости от значений параметров задачи число положений равновесия спутника-гиростата может быть 8, 12 или 16. Исследована эволюция областей, где выполнены достаточные условия устойчивости положений равновесия.
По постановке и методу решения рассматриваемая задача наиболее близка к изученной Анчевым [1]. Так, две исходные системы уравнений для определения положений равновесия спутника-гиростата, приведенные в разд. 2, совпадают с результатами Анчева с точностью до обозначений. Однако у Анчева отсутствует определение бифуркационных значений параметров системы, при которых изменяется число положений равновесия, определение числа положений равновесия и исследование достаточных условий их устойчивости проведено лишь для частного случая, когда вектор гиростатического момента совпадает с одной из главных центральных осей инерции спутника, общий случай при этом не рассматривался. Ниже представлены результаты исследования положений равновесия и достаточных условий их устойчивости для осе-симметричного спутника-гиростата при любых значениях вектора гиростатического момента. Они качественно соответствуют результатам, полученным ранее при анализе общего случая спутника-гиростата [2], где, в частности, показана эволюция равновесных решений, которые определяются действительными корнями алгебраического уравнения 12-го порядка с коэффициентами, зависящими от трех проекций гиростатического момента и безразмерного инерционного параметра системы. Некоторые результаты настоящей статьи получены ранее [3].
1. Уравнения движения. Рассматривается задача о движении осесимметричного спутника-гиростата (далее спутника), представляющего собой твердое тело с расположенными внутри него статически и динамически уравновешенными роторами. Считается, что угловые скорости вращения роторов относительно корпуса спутника постоянны и центр масс спутника движется по круговой орбите с угловой скоростью ш0.
Для записи уравнений движения вводятся две правые декартовы системы координат с началом в центре масс О спутника:
ОХУ2 — орбитальная система координат. Ось Z направлена вдоль радиус-вектора, соединяющего центры масс Земли и спутника, ось X направлена вдоль вектора линейной скорости центра масс О;
Охуг - связанная со спутником система координат, х, у, £ — главные центральные оси инерции спутника.
Направляющие косинусы осей х, у, г в орбитальной системе координат ОХУ2 выражаются через углы тангажа а, рыскания в и крена у с помощью соотношений [3]
a11 = cos(x, X) = cos a cos в a12 = cos(y, X) = sin a sin у - cos a sin в cos у a13 = cos(z, X) = sin a cos у + cos a sin в sin у a21 = cos(x, Y) = sin в
a22 = cos(y,Y) = cos в cos у (1.1)
a23 = cos(z, Y) = - cos в sin у
a31 = cos(x, Z) = - sin a cos в
a32 = cos(y, Z) = cos a sin y + sin a sin в cos у
a33 = cos(z, Z) = cos a cos у - sin a sin в sin у
Уравнения движения спутника относительно его центра масс записываются в виде [2, 3] Ap + (C - B)qr - 3®2(C - B)a32a33 + h3q - h2r = 0
Bq + (A - C)rp - 3®2(A - C)a33a31 + h1r - h3p = 0 (1.2)
Cr + (B - A)pq - 3®2(B - A)a31a32 + h2p - h1q = 0
p = (á + ®o)a21 + Y = p + ®oa21
q = (á +ra0)a22 +P sin y = q + ra0a22 (1.3)
r = (á + ra0)a23 + p cos у = 7 + ra0a23
Здесь A, B, C - главные центральные моменты инерции спутника; p, q, r и h1, h2, h3 -проекции абсолютной угловой скорости и проекции вектора гиростатического момента спутника на оси x, y, z. Точкой обозначено дифференцирование по времени t. Для системы уравнений (1.2), (1.3) справедлив обобщенный интеграл энергии
2 (Ap2 + Bq 2 + Cr 2) + 2 (A - C)a321 + (B - Qa^] +
+ 2®0[(B - A)a^1 + (B - Qa^] - «0(^21 + h2a22 + h3a23) = const (1.4)
2. Положения равновесия спутника. Положив в уравнениях (1.2) и (1.3)
a = a o, Р = Р o, Y = Y 0 (a0, в0, Y0 — постоянные величины), а также hi = h/®0, h2 = h2/®0, h3 = h3/®0 получим при A ф B ф C уравнения
(C - B)(a22a23 - 3a32a33) + h3a22 - h2a23 = 0
(A -C)(a23a21 -3a33a31) + h1a23 - h3a21 = 0 (2.1)
(B - A)(a21a22 - 3a31a32) + h2a21 -h^ = 0
позволяющие определить положения равновесия спутника в орбитальной системе координат. В последующем исследовании удобнее использовать эквивалентную систему
4(Aa21a31 + Ba22a32 + Ca23a33) + h1a31 + h2a32 + h3a33 = 0
Aa11a31 + Ba12a32 + Ca13a33 = 0 (2.2)
(Aana21 + Ba12a22 + Ca13a23) + h1an + h2an + h3a13 = 0
которая получается проектированием уравнений (2.1) на оси орбитальной системы координат [2].
Подставляя в уравнения (2.1) или (2.2) выражения (1.1) для направляющих косинусов, можно получить систему трех уравнений с неизвестными а 0, в0, У о- Другой, более удобный для исследования способ замыкания уравнений (2.2) заключается в добавлении условий, которым удовлетворяют направляющие косинусы:
алап + ааап + аф^ = Ъц (2.3)
где 8у — символ Кронекера.
При А ф В ф С справедливы следующие выражения для a1j и a2j в зависимости от a3J■ (здесь и всюду далее, если не оговорено иное, у = 1, 2, 3):
ап = 4(С - В)аз2азз/Г, а1Х = 41 - А*з\/*
а12 = 4(А - С)аззаз1/^, а22 = 41 - В)аз2/¥ (2.4)
а1з = 4(В - А)аз1аз2/^, а2з = 4(1з - С)азз/¥
Здесь
2 2 2
¥ = Н1аз1 + Н2аз2 + Нзазз, 13 = Аа31 + Ва32 + Са33
а направляющие косинусы а у определяются из уравнении
16[(В - С)2аз22аз2з + (С - А)2аз^ + (А - В)2аз2^] = ¥2 4(В - С)(С - А)(А - В)аз1аз2азз + (25)
+ [Н1(В - С)аз2азз + Н2(С - А)аззаз1 + Нз(А - В)аз1аз2]¥ = 0
2 2 2 аз1 + аз2 + азз = 1
После решения системы (2.5) формулы (2.4) позволяют определить оставшиеся шесть направляющих косинусов. Отметим, что решения (2.4) существуют лишь в случае, когда из трех направляющих косинусов а у никакие два одновременно не обращаются в нуль. Случаи
аз1 = аз2 = 0, аз2 = азз = 0, азз = аз1 = 0
для решения задачи предлагаемым методом являются особыми, и их следует рассматривать, непосредственно обращаясь к системам (2.2) и (2.3).
Система уравнений (2.2), (2.3) с девятью неизвестными была решена для некоторых частных случаев. Когда вектор гиростатического момента параллелен одной из главных центральных осей инерции спутника, например, Н = Нз = 0, ¿2 ^ 0, были аналитически определены в зависимости от двух безразмерных параметров задачи все положения равновесия, получены в виде простых неравенств достаточные условия устойчивости этих положений равновесия, численно-аналитическим методом проведен детальный анализ эволюции областей необходимых условий устойчивости положений равновесия спутника и определены бифуркационные значения параметров [4—7]. Получено решение задачи для случая, когда вектор гиростатического момента параллелен плоскости любых двух главных центральных осей инерции (например, Н1 Ф 0, Н2 = 0, Ъз Ф 0), определены все положения равновесия спутника в зависимости от трех безразмерных параметров задачи и получены достаточные условия устойчивости положений равновесия [8, 9].
Аналитическое решение задачи определения положений равновесия спутника в общем случае (Ну Ф 0) невозможно.
Используя идеи работы [2], можно показать, что после перехода к новым неизвестным х1 = аз1 /азз и у1 = аз2/азз первые два уравнения системы (2.5) с использованием понятия результанта сводятся к одному алгебраическому уравнению 12-го порядка (например, относительно х:) с действительными коэффициентами, зависящими от
четырех безразмерных параметров задачи. Число действительных корней полученного алгебраического уравнения четно и не превышает 12. Подставляя значение действительного корня x1 алгебраического уравнения в первые два уравнения системы (2.5), найдем совпадающий корень у1 этих уравнений. Для каждого решения x1, у1 из последнего уравнения системы (2.5) можно определить два значения a33, а затем и соответствующие им величины a31 и a32. Таким образом, каждому действительному корню алгебраического уравнения соответствуют два набора значений а3 ^, которые в силу соотношений (2.4) однозначно определяют остальные направляющие косинусы а1у-, ау. Из приведенных соображений следует, что спутник на круговой орбите может иметь не более 24 положений равновесия. Достаточные условия устойчивости положений равновесия спутника-гиростата и в общем случае можно получить с использованием интеграла энергии (1.4).
В данной работе проводится исследование положений равновесия для частного случая — осесимметричного спутника-гиростата (ОСГ), когда, например, А ф В = С. В этом случае система (2.2) упрощается и принимает вид
4(А - В)а21а31 + А1а31 + Н2а32 + Н3а33 = 0
(А - В)а11а31 = 0 (2.6)
(А - В)а11а21 + Н1а11 + Н2а12 + Н3а13 = 0
Для системы уравнений (2.3) и (2.6) ставится следующая задача: при заданных значениях параметров А - В и (прямая задача) требуется определить девять направляющих косинусов, т.е. все положения равновесия ОСГ.
Возможны следующие два случая: 1) ап = 0, 2) а31 = 0.
Рассмотрим вначале первый случай.
Систему (2.3), (2.6) можно представить следующим образом [1, 3]: Н _ Н
а11 = 0 а12 = ± I 2 3 ^ а13 = + г-2-2
#2 + ¿3 УН + Н3
а22 = -а13а31, а23 = а^, а32 = а^, а33 = -апа21 (2.7)
7 2 2 2 2 Н2 + Н3 = 0, а21 + а31 = 1
Определив направляющие косинусы a21 и a31 из последних двух уравнений, можно получить все решения системы (2.7).
Используя аналогичный подход во втором случае, систему (2.3), (2.6) можно представить в виде [1, 3]
а12 = a21a33, а13 = a21a32, а22 = a11a33, а23 = -а11а32
а31 = 0, а32 = ± , Н 2, а33 = + , Н 2 (2.8)
#2 + ¿3 + ¿3
(А - В)апа21 + Н^ц ± а2^+ Н3 = 0, а^ + а21 = 1
Рассмотрим более подробно последние два уравнения системы (2.7). Запишем их в виде
2 2
4а21а31 + та31 + па21 = 0, а21 + а31 = 1 (2.9)
или
_3 , /...2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.