Автоматика и телемеханика, № 3, 2015
© 2015 г. А.В. КАРАПЕТЯН, д-р физ.-мат. наук (avkarapetyan@yandex.ru) (Механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова), М.А. МУНИЦЫНА, канд. физ.-мат. наук (munitsyna@gmail.com) (Московский физико-технический институт (государственный университет),
Долгопрудный)
ДИНАМИКА ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА НА ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ВИБРИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТИ1
Рассматривается динамика жесткого параллелепипеда на горизонтально вибрирующей жесткой опорной плоскости и возможность управления его колебаниями. Предполагается, что скольжение основания параллелепипеда вдоль плоскости отсутствует. Находятся такие параметры возбуждения, при которых параллелепипед отрывается от плоскости и совершает колебания, поочередно опираясь на опорные ребра. В случае гармонических колебаний плоскости находятся возможные режимы вынужденных колебаний. Исследуется вопрос об уменьшении амплитуды колебаний параллелепипеда с помощью математического маятника. Результаты представлены в виде амплитудно-частотных и фазо-частотных характеристик.
1. Введение
Жесткий параллелепипед, динамика которого рассматривается в настоящей работе, является примитивнейшей моделью старинного здания, а колебания опорной плоскости имитируют движения земной коры при землетрясениях. Поскольку отличительной особенностью старинных зданий является отсутствие фундамента, в работе рассматривается возможность отрыва параллелепипеда от плоскости. Актуальность задач такого рода вызвана необходимостью стабилизации различного рода сооружений в сейсмоопасных районах [1—5]. Интерес к исследованию подобных систем обусловлен также тем, что на практике неустойчивые, на первый взгляд, конструкции (свободно стоящие каменные колонны или водонапорные баки) иногда переносят землетрясения лучше, чем внешне более устойчивые сооружения.
В связи с представленной интерпретацией поставленной задачи возникает вопрос о необходимости сохранения старинных построек, возможности их стабилизации и уменьшения амплитуды их колебаний при землетрясениях. Аналогичная проблема при строительстве современных небоскребов решается, например, с помощью динамического гасителя колебаний, представляющего собой математический маятник. Поэтому в настоящей статье также рассматривается математический маятник, подвешенный в центре верхнего основания параллелепипеда.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 13-01-00230, 13-01-00347, 14-01-31467, 14-01-00432).
Результаты, полученные в заключительном параграфе настоящей статьи, показывают, что наличие маятника несущественно уменьшает амплитуду колебаний здания при относительно малых частотах землетрясения, а при довольно больших частотах наличие маятника даже увеличивает ее. Более того, наличие маятника приводит к существованию резонансной частоты, такой что при попадании частоты землетрясения в область резонанса вся конструкция опрокидывается на опорную плоскость. Однако существует малый диапазон частот, при котором амплитуда колебаний параллелепипеда уменьшается практически до нуля. Но близость этого диапазона к резонансу делает сомнительной возможность применения полученного результата на практике. Полученный результат еще раз показывает, что характер колебаний подобных систем качественно отличается от колебаний линейных упругих систем [1].
2. Постановка задачи
Рассмотрим движение твердого тела, имеющего форму параллелепипеда, на подвижной горизонтальной плоскости. Закон движения плоскости вдоль неподвижной горизонтальной прямой имеет вид х(£) (функция х(£) задана на некотором интервале [0,Т], причем х(£) = 0 при £ < 0 и £ > Т).
Будем считать, что проскальзывание между телом и подвижной плоскостью отсутствует, т.е. нижнее основание параллелепипеда может либо полностью опираться на плоскость, либо отклоняться от нее на угол р (рис. 1), опираясь одним из своих ребер на фиксированные точки плоскости. Будем считать, что центр масс тела совпадает с его геометрическим центром. Пусть М — масса параллелепипеда, 2а и 2Ь — его ширина и высота соответственно, с — радиус инерции относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения.
Рассмотрим также маятник массы т и длиной I, подвешенный в центре верхнего основания параллелепипеда. Угол его отклонения от вертикали обозначим ф. Кинетическая и потенциальная энергии рассматриваемой системы
Рис. 1.
2 Автоматика и телемеханика, № 3
33
имеют соответственно вид
\ 2 / N 2
„2-2
к = » 2
m
+
ж - ro jj sin(± j + 0o)) + (^ro jj cos(± j + 0o) ) + c2 jj
ж — rijj sin(± j + 0i) + lp cos p j + ^ri jj cos(± j + 0i) + hp sin p j V = Mgr0 sin(± j + 0o) + mg [r1 sin(± j + 01) — l cos p],
2 2 , i2 2 2 , ,17,2 л b л . 2b
Гп = a + b , ri = a + 46 , 0o = arcsin —, = arcsm —.
ro ri
Здесь и далее в случае двойных знаков верхний знак соответствует случаю j > 0, нижний — случаю j < 0.
Уравнения движения системы имеют вид (для j ^ 0 и t € [0,T])
(M(а2 + b2 + c2) + m(a2 + 4b2)) j — —ml (±а sin (j—p) + 2 bcos (j — p)) p+ (1) +ml (±аcos (j—p) — 2b sin (j —p)) p2 —
—x(t) [±(M+m)a sin j + (M+2m)bcos j] sin(w t) + +g (±(M + m)a cos j — (M + 2m)b sin j) = 0,
—ml (±а sin (j — p) + 2b cos (j — p)) j + ml2p— —ml (±а cos (j — p) — 2 b sin (j — p)) jj2 + mlx(t) cos p + mgl sin p = 0.
3. Динамика тела без маятника
Уравнения движения тела без маятника (m = 0) имеют вид
(3) (a2 + b2 + c2)( — x(t)(±a sin ( + b cos () + g(±a cos ( — b sin () = 0. Рассмотрим начальные условия ((0) = ((0) = 0. Тогда
(4) (a2 + b2 + c2)(3(0) = bx(0) т ga.
Движение тела в начальный момент времени t = 0 возможно, только если (/3(0) > 0 в случае ((+0) > 0 или (/3(0) < 0 в случае ((+0) < 0. Таким образом, для того чтобы движение тела начиналось одновременно с возмущением, необходимо, чтобы последнее удовлетворяло одному из условий
(5) bx(0) т да ^ 0.
Если |x(0)| < да/b, то движение тела может начаться только в момент времени to > 0, где to — наименьшее положительное решение уравнений
(6) X(to) = ±ga/b, удовлетворяющее соответственно условиям
(7) X(to + 0) ^ ga/b.
В частности, если возмущение происходит по гармоническому закону x(t) = a sin wt (а > 0, ш > 0), то условия (5) не выполнены, а условия (6) и (7) имеют вид
(8) ^аш sin шt0 = ga/b, ^аш sin(wío + 0) > ga/b. Наименьшее положительное to € [0,T], удовлетворяющее (8),
/ч 1 ga
(9) to = — arcsin-
ш аЬш2
существует, если амплитуда а, частота ш и длительность T возмущения удовлетворяют условиям
. . 2 ga ^ 1 ga
(10 аш2 > ^r, T > - arcsin -f—,
b ш Ьаш2
Если какое-то из условий (10) не выполнено, то при возмущениях тело остается неподвижным.
4. Динамика тела с маятником
Рассмотрим уравнения движения системы (1), (2) при начальных условиях 0(0) = 0(0) = -0(0) = ф(0) = 0. В случае гармонического возбуждения x(t) = = а sin шt в начальный момент времени справедливы равенства
[M(a2 + b2 + c2) + m(a2 + 4b2) 0(0) - 2mbl0(0) ± (M + m)ga = 0, —2mbl0(0) + т12ф(0) = 0,
из которых следует, что
(11) [(1 + ¡2)a2 + b2 + c2] 03(0) = ^(1 + i)ga,
где ¡ = m/M — относительная масса маятника. Левая часть равенства (11) положительна (отрицательна) при положительных (отрицательных) значениях 0, в то время как правая часть — отрицательна (положительна). Следовательно, равенство (11) невозможно и движение тела начинается не одновременно с возмущением, а через некоторое время to > 0. Уравнение (2) в случае 0 = 0 имеет вид
(12) lip — аш2 sin шt cos ф + g sin ф = 0
и описывает движения маятника на промежутке t € [0, to]. Учитывая (12) в уравнении (1), для момента времени t = to получим
[a2 + b2 + c2 + 4¡(±a cos ф + 2b sin 0)2]0(to) =
(13) = —аш2 sin шt0 [(1 + 2¡ sin2 0o)b ± ¡a sin 0o cos 0o] ^
=Fg [(1 + i cos2 0o)a — 2¡b sin 0o cos 0o] — ¡l(±a cos 0o + 2b sin 0o)i¿o,
2* 35
где po = P(to), po = P(ío)- Таким образом, значение to может быть найдено из равенства нулю правой части (13) при выполнении соответствующих условий (p(ío + 0)p(¿o + 0) > 0).
Считая, что масса груза мала по сравнению с массой тела (^ << 1), получим
ga
(14) í0 = -arcsin-^— (1 + 0(fi)).
ш оаш2
Для существования ¿o необходимо, чтобы длительность возмущения удовлетворяла условию
(15) Т > -arcsin-^-(l + 0(и)).
ш оаш2
Заметим, что если выполнены условия (10), то всегда возможна такая относительная масса маятника ^o > 0, что при любой меньшей массе 0 < ц < ¡io существует ¿o € (0, T), т.е. тело приходит в движение. Если же хотя бы одно из условий (10) не выполнено, то для всех ^ € (0,^o) движение р = 0 "абсолютно" устойчиво.
5. Свободные колебания тела
Рассмотрим движения тела после окончания возбуждения опорной поверхности. При выполнении условий (10) тело одним из опорных ребер отрывается от горизонтали и может совершать периодические колебания. Уравнения движения тела имеют вид
(16) р — sin р = ^W^V cos р,
где шо = \/Ъд/(а2 + Ь2 + с2) — собственная частота колебаний тела при шарнирном закреплении в одном из опорных ребер, а V = а/Ь — безразмерная "ширина" тела. Заметим, что те углы отклонения тела от горизонтали, при которых линия действия силы тяжести проходит через основание определяются соотношением р ^ аrctg V. Поэтому для "узких" (V << 1) тел заведомо выполнено условие малости их угла отклонения от горизонтали (р << 1).
Линеаризованные уравнения (16) в безразмерном времени т = здЬ имеют вид (здесь и далее штрихом обозначается производная по безразмерному времени т)
(17) р'' - р =
Пусть Фо — амплитуда свободных колебаний тела, Оо — безразмерная частота и при Ь = 0 выполнены условия
(18) р(0) = Фо > 0, р'(0) = 0.
Тогда на интервале времени т € [0,т1], где Т1 = п/(2О0) — четверть периода колебаний тела, его движение описывается уравнением
(19) р'' - р = -V.
1,0 Фо
4 Q0 5
Рис. 2.
Кроме того, решение уравнения (19) при начальных условиях (18) (20) ф(т) = V + (Ф0 - V) еЬ т
удовлетворяет также условию ф(т\) = 0 и справедливо равенство
(21)
ф0 = V ( 1 - ch 1
п
2О0
Зависимость амплитуды колебаний от частоты (21) была получена еще в [1].
Зависимость (21) при различных значениях параметра V приведена на рис. 2. (сплошные кри
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.