ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 461, № 2, с. 131-135
= МАТЕМАТИКА
УДК 517.929,519.214,517.9,519.115.2,519.115.8
ДИНАМИКА ПЕРЕМЕЖАЮЩИХСЯ ФУНКЦИЙ © 2015 г. М. Л. Бланк
Представлено академиком РАН Я.Г. Синаем 19.08.2014 г. Поступило 31.08.2014 г.
БО1: 10.7868/80869565215080034
Понятие перемежаемости, введенное И.М. Гель-фандом в 1950-х годах для спектров матриц растущей размерности и состоящее в том, что собственные значения большей матрицы находятся между элементами предыдущей, оказалось весьма востребованным в самых разных областях математики. Отметим работы по теории представлений [1, 2], по спектральной теории (в том числе и случайных) матриц [3—5], по системам взаимодействующих частиц [6]. В задаче о коллективном случайном блуждании это свойство связано с поведением пар частиц при каплинге рассматриваемых процессов. Обозначим через 0 := {... < 11 < 12 < ...} конфигурацию частиц с массами т, центры которых в
момент времени ? находятся в точках 1/ е К и на
которые действуют силы ^. Под синхронизацией для подобных процессов понимается стремление со временем набора разностей / := ^ — ^ к общей константе для произвольных начальных конфигураций г0, О0. Без взаимодействия между частицами синхронизация естественно не возникает, однако уже в простых примерах процессов с запретами она имеет место (см., например, [6]). Оказывается, что при доказательстве этого факта существенную роль играет свойство перемежаемости. Дадим его определение в абстрактных терминах.
Пусть (X, д) — это метрическое пространство, на котором задано непрерывное отображение а: X^ X, и Ф := {[: X ^ К} — множество непрерывных функций на X со значениями в К.
Будем говорить, что пара функций/, g е Ф удовлетворяет условию перемежаемости (УП), если при всех х е X
ш1п{/(х),/(ах)} < g(x) < тах{/(х),/(ах)}, (1)
Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича Российской Академии наук, Москва E-mail: blank@iitp.ru
и сильному условию перемежаемости (СУП), если нестрогие неравенства в (1) заменить на строгие. Для количественной характеризации УП введем
цх) := ЖхЪЯх!.
f(x) -f(ax)
В случае коллективного блуждания X := Ж, отображение a определяет индексы "взаимодействующих" частиц.
Одним из возможных механизмов синхронизации могло бы быть "сглаживание в среднем" при выполнении УП. Начнем анализ этого вопроса с наиболее простого случая, когда пространство X дискретно и на нем задан некоторый граф G(X) с вершинами в X (например, кубическая решетка). Для количественной характеризации "гладкости в среднем" функции f естественно использовать вариант вариации Витали
varf) := £ f(x) -f(y)|,
(x, y)e G(X)
где суммирование проводится по ребрам (x, y) графа G(X). В частности, в случае линейного циклического графа X = Жп := Ж/пЖ получаем обычную одномерную вариацию varf) := £ |f(x) — fx + 1)|.
x е Ж„
Тео р е ма 1. а) Пусть отображение a: X ^ X не сохраняет хотя бы одну вершину графа G(X) степени не ниже 3. Тогда найдется пара функций f, g е Ф, удовлетворяющих УП, для которых выполнено var(g) > varf);
б) При d = 1, X = Жп неравенство var(g) < varf) выполняется для любой пары функций f, g е Ф, удовлетворяющих УП, тогда и только тогда, когда, X — ax| < 1 при всех x е Xи справедливо
(f(x) -f(ax))(g(x) -g(ax))> 0 при x = a2x. (2)
Если дополнительно предположить, что ax :=x + 1, а функции f, gудовлетворяют более сильному условию СУП, то var(g) < varf).
Отметим, что используя обобщение понятия вариации функции для непрерывного пространства, нетрудно показать, что для любого нетривиального отображения а в этом случае всегда найдется такая пара перемежающихся функций (/, g), что вариация второй из них больше, чем первой. Таким образом, УП влечет сглаживание в среднем только в случае линейного графа.
Перейдем теперь к анализу динамики перемежающихся функций. Для заданного отображения а: X^ Храссмотрим отображение Р. Ф ^ Ф, удовлетворяющее условию СУП, т.е. аналогично неравенству (1) выполнено
Г/(х)е(/(х),/(ах)) V/еФ, х е X. (3)
Здесь и далее для упрощения обозначений мы полагаем, что открытый интервал (а, Ь) = (т1п{а, Ь}, тах{а, Ь}), но (а, а) := {а}.
На первый взгляд результаты, полученные в теореме 1, резко ограничивают возможный выбор пространства X и отображения а, при которых возможна синхронизация в том или ином смысле. Тем не менее, мы вернемся к общей постановке и для заданного отображения а рассмотрим два разбиения
О(Д а) и О (X, а) пространства X, определяемых следующим образом: точки х, у е Xпринадлежат одному элементу разбиения ю е О(Д а), если найдут-
-П пх пу
ся пх, пу е такие что а х = а у, и элементу ю е О (X, а), если
С \ Пх ПУ I А
1П1 |а х - а у\ = 0.
пх> пу е Ж +
Другими словами, элементом разбиения ю е О является объединение всех прообразов некоторой
траектории отображения а, а в случае ю е О берется замыкание указанного множества.
Для инвариантной меры ц динамической системы (а, X, ц) точка х е X называется ц-типич-ной, если для любой непрерывной функции / е е Ь1^, ц) выполнено
n - 1
1 £ f(akx) |/ф.
к = 0 X
Теорем а 2. Пусть отображение Рудовлетворяет СУП с 0 < тЩх) < 8ирЦх) < 1. Тогда для любого
элемента ю е О(X, а), содержащего ц-типичную точку для некоторой а-инвариантной меры ц, и любой ограниченной функции/выполнено
F'f |ю ^
const(®, f).
Предположим дополнительно, что f а е Lip(X), Lip(Ff) < Lip(f). Тогда
F'f |ю const(ю , f
для каждого ю е О, содержащего ц-типичную точку.
Здесь под условием Липшица понимается
supf(x) -f(y)|
Lip/) :=
X Ф y
P(x, У)
< да.
1. ОБСУЖДЕНИЕ СГЛАЖИВАНИЯ
В СРЕДНЕМ ПРИ ПЕРЕМЕЖАЕМОСТИ
Начнем с простейшей ситуации X = Zn и обсудим условия на а, при которых функции f ° а оказываются "не менее гладкими", чем f (эту постановку будем называть чисто комбинаторной), т.е. выполняется var( f ° а) < varf).
Пример 1. Пустьf(x) := x,
f min f(y), если x нечетно, а(х) := < у
[ max f(y) в противном случае
y
и пусть n > 2. Тогда varf) = (n — 1) + (n — 1) = = 2(n — 1) < (n — 1)n = var( f ° а).
Нетрудно проверить, что даже если отображение а является биекцией (т.е. перестановкой), то вариация может существенно возрасти.
Пример 2. Для n = 4, f = (0, 0, 1, 1) и а = (1, 3, 2, 4), получаем f ° а = (0, 1, 0, 1), т.е. varf) = 2 < <4 = varf ° а). Здесь и далее под f = (a, b, c, d) понимается f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c, f(4) = d.
Следующий пример показывает, что нарушение условия
а(х )е{ X - 1, X, X + 1} Vx
(4)
достаточно для увеличения вариации.
Пример 3. Для п = 4, / = (0, 1, 0, 0) и а = (1, 2, 3, 2), получаем / ° а = (0, 1, 0, 1), т.е. уаг(/) = 2 < <4 = уаг(/ ° а). Условие (4) нарушено здесь только в точке х = 4.
Перейдем к анализу общего графа О(X).
Пример 4. Пусть имеется вершина х е Xстепени не ниже 3, для которой ах Ф х. Согласно примерам 1 и 3, достаточно рассмотреть ситуацию, когда (х, ах) е О(X). На рис. 1 (слева) приведен контрпример для этой ситуации.
Доказательство невозрастания вариации при выполнении условий пункта б) теоремы 1 технически достаточно сложно (оно описано полностью в работе [7]) и связано с локальной классификацией поведения пар перемежающихся функций (/, g) в отдельных точках решетки. Показывается, что среди всех возможностей чередования типов монотонности для этих функций (приведенных на
-1
-1
of • g
Lipf) < Lip(g)
Рис. 1. Примеры перемежающихся функций. Увеличение вариации уаг^) > уаг(/) при степени вершины 3 (слева) и при нарушении условия (2) (середина). Увеличение наклона при перемежаемости (справа). Действие отображения а указано стрелками.
рис. 2) при выполнении СУП могут иметь место только следующие:
a±b±, a±c±; b±a±, b±b+ ,
b ± c - ;
c ± a _
c±b±
c ± c ±
Эта классификация, кроме того, позволяет изучить "сложность" структуры множества перемежающихся функций на бесконечной одномерной целочисленной решетке Z. Действительно, согласно этой классификации, любая пара перемежающихся функций может быть закодирована при помощи пространства S последовательностей из 6 символов, возможные переходы между которыми приведены выше. Используем для оценки "сложности'' вариант энтропии множества:
h(S) := lim - log(# (S, m),)
m ^ даm
где #(S, m) обозначает число различных слов (конечных подпоследовательностей) длины m в последовательностях из S. Существование предела здесь следует из суб-аддитивности функционала #(S, m) по переменной m. Показывается, что для перемежающихся функций энтропия S равна log3.
2. ОБСУЖДЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПЕРЕМЕЖАЮЩИХСЯ ФУНКЦИЙ
Как мы уже отметили, для сколько-нибудь общих пространств X и отображений а сглаживания под действием отображения В нет. Поэтому доказательство теоремы 2 основано на совершенно другом подходе, основанном на обобщении следующего важного частного случая. Рассмотрим удовлетворяющее СУП отображение
FbAx) :=/(x)+/(cx>.
Теорема 3. Пусть X := /+ и ах := х + 1, а отображение В := Въ. Тогда для любой ограниченной п.п. функции/ для которой
n - 1
1У f( k + 1) ^ const (f), n ^
k = 0
выполнено сош1(/).
Нетрудно проверить, что под действием отображения Въ наклон любой ограниченной функции не возрастает и, более того, стремится к нулю со временем. В силу неограниченности множества /+ одного этого недостаточно для сходимости к константе (а говорит только о том, что функция ВЪ/ста-новится все более плавно меняющейся). Поэтому дополнительно следует рассмотреть поведение локальных максимумов и минимумов и доказать, что соответствующие значения сходятся друг к другу. Интересно отметить, что даже в этом простом случае скорость сходимости не экспоненци-
Рис. 2. Чередование типов. Значения /^ отмечены белыми/черными кружками. Для каждого варианта чередования типов имеется также зеркальный к нему,
а
a±a
т.е. a+b+ и a_b
(а) (б)
альна (как можно было бы ожидать) и может быть произвольно медленной. Более того, лишнее, на первый взгляд, условие сходимости в среднем по Чезаро для функции / нельзя отбросить. Действительно, рассмотрим разбиение 2+ на последова-
2к
тельные интервалы длин пк = 2 и бинарную функцию /, принимающую значение 0 на нечетных интервалах и 1 на четных. Тогда значение (1) с ростом п
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.