РАСПЛАВЫ
2 • 20137
УДК 536.421.4
© 2013 г. Д. В. Александров1, И. А. Башкирцева, А. П. Малыгин, Л. Б. Ряшко
ДИНАМИКА ПРОЦЕССА ЗАТВЕРДЕВАНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ФЛУКТУАЦИЯХ ВНЕШНЕЙ ТЕМПЕРАТУРЫ
Исследованы нелинейные динамические механизмы формирования твердой фазы с областью фазового перехода при периодических и случайных флуктуациях температуры границы охлаждения. Теоретически показано, что даже при близких значениях температур жидкости и охлаждающей границы возможно образование двухфазной зоны благодаря случайным флуктуациям температурного поля. Изучена зависимость роста твердой фазы с двухфазной зоной от автоковариационных характеристик случайных шумов.
Ключевые слова: затвердевание, двухфазная зона, нелинейная динамика, стохастические флуктуации.
ВВЕДЕНИЕ
Теория фазовых переходов в системах твердое тело—жидкость берет свое начало с пионерских работ Стефана 1889 г., посвященных математическому описанию процесса замерзания воды [1]. В этих работах впервые была сформулирована тепловая постановка задачи с граничным условием баланса тепла на движущейся границе фазового перехода (фронте затвердевания), в настоящее время известным как условие Стефана (или условие четвертого рода). Недостаток такого подхода — он не учитывает зависимость температуры фазового перехода 7р от растворенной в жидкости примеси. Для расплава с концентрацией примеси C такая зависимость выражается с помощью уравнения ликвидуса ^ = — mC, учитывающего, что при увеличении концентрации температура фазового перехода понижается (^ — температура фазового перехода чистого вещества, m — наклон линии ликвидуса). Кроме этого, наличие резкой границы фазового перехода между твердой и жидкой фазами системы (фронта кристаллизации) также является идеализацией реального процесса.
Вытеснение растворенной в жидкости примеси, происходящее вследствие роста твердой фазы, приводит к ее накоплению перед межфазной границей, понижает температуру фазового перехода и создает концентрационное переохлаждение [2]. При движении границы раздела фаз в глубь жидкости перед ней происходит возрастание модуля концентрационного градиента V С так, что в некоторый момент времени температурный градиент V Т начинает совпадать с градиентом температуры фазового перехода -тЧС. В последующие моменты времени, когда -тЧС превышает V Т, перед межфазной границей возникает протяженная область концентрационного переохлаждения. Эта переохлажденная зона способствует развитию неустойчивости межфазной границы [3—13], которая приводит к формированию дендритоподобных структур. Таким образом, перед межфазной границей возникает область двухфазного состояния вещества — двухфазная зона.
1Отйп.А1ехапдгоу@ши.ги.
МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА СО СЛУЧАЙНЫМИ ФЛУКТУАЦИЯМИ
В работах [14—18] был получен закон движения границы фазового перехода двухфазная зона—расплав (или раствор) Ь(?), фактически представляющей собой толщину образовавшейся области к моменту времени следующего вида:
Здесь введены обозначения: А = Ь^ь/Ф, Ф = к8фь + кь(1 — фь), Ьу — скрытая теплота затвердевания; — коэффициент диффузии примеси в расплаве; фь — доля твердой фазы на границе Ь, Ть — температура в расплаве вблизи границы Ь; к8 и кь — коэффициенты теплопроводности твердой и жидкой фаз; Тех(?) — зависящая от времени температура охлаждающей границы. Знак + определяется следующим образом: а+ = а при
а > 0 и а+ = 0 при а < 0 и отражает в (1) тот факт, что при Т^ < ^ Тех (а) da твердая фаза
не образуется. Отметим, что при фь ^ 1 соотношение (1) описывает фронтальное решение задачи. Выражение (1) представляет собой решение термодиффузионной задачи Стефана с протяженной областью фазового перехода в случае изотермического расплава.
Если внешняя температура Тех(?) ниже температуры жидкой фазы Ть на постоянную 8 > 0: ТиХО = Ть — 8, закон изменения толщины двухфазной зоны имеет вид Ь(() =
V 25 ^ I. Здесь с ростом времени толщина области фазового перехода увеличивается
по закону квадратного корня из времени процесса: Ь^) ~ 41, что является свойством автомодельности затвердевания [19—23].
Рассмотрим теперь, как флуктуации температуры охлаждающей границы влияют на изменение толщины области фазового перехода. Сначала исследуем случай, когда они носят периодический детерминированный характер: Тех(?) = Ть + 8со&Ш, где средняя температура границы охлаждения совпадает с температурой расплава. В этом случае из (1) следует, что толщина двухфазной зоны также меняется периодически
(рис. 1): Ь(() = д/2з(-$1пюг))ую1. Здесь и далее теплофизические параметры системы были взяты в соответствии с работами [14—18].
Отметим, что максимальные значения Ьф зависят не только от амплитуды . колебаний температуры границы охлаждения, но и от частоты ю. Увеличение частоты приводит к уменьшению максимальных значений толщины двухфазной зоны вследствие инертности системы.
В силу воздействия самых различных факторов (турбулентности расплава, неравномерности обдува охлаждающей границы и т.п.), флуктуации температуры, как правило, носят случайный характер (см., например, [24]). Присутствие даже малых случайных возмущений может привести к существенным изменениям в динамике нелинейных систем [25—29]. Известен широкий круг явлений, связанных с воздействием случайных помех: стохастический резонанс [30, 31], индуцированные шумами переходы [26] и стохастические бифуркации [32, 33], порождаемый шумами порядок [34, 35] и хаос [36]. Конструктивная роль шумов в генерации магнитного поля галактик, перехода от ламинарного течения к турбулентному, возбуждения нейрона исследовалась в
(1)
где
[37-39].
75 г
0 1 2 t ■ 104, с
Рис. 1. Толщина области фазового перехода при периодическом изменении внешней температуры для 8 = 2, ю = 0.001. Теплофизические параметры системы взяты в соответствии с работами [14—16].
Поэтому рассмотрим здесь соответствующую модель, учитывающую влияние случайных флуктуаций на температуру границы охлаждения. Пусть 7"ех(?) = Ть + б^(?). Здесь — процесс Орнштейна—Уленбека [40], задаваемый уравнением Ланжевена
4 = + лДм (2)
где w(t) — стандартный винеровский процесс с параметрами E(w(t) — w(.s)) = 0, E(w(t) — — w(.s))2 = ^ — Стационарное решение £(/) уравнения (2) имеет следующие вероятностные характеристики: нулевое среднее E(^(t)) = 0, единичную дисперсию E(^(t))2 = 1 и автоковариационную функцию соу(^(0, ^ + т)) = ехр(—рт). Параметр р позволяет менять ковариационные характеристики, а скалярная величина б — интенсивность случайных флуктуаций охлаждающей температуры.
На рис. 2 приведены выборочные траектории 7"ех(0 для Ть = —2°С, б = 1 при трех различных значениях параметра p. В соответствии с теорией, по правилу "двух сигм" с вероятностью 0.95 случайные значения Техф принадлежат доверительному интервалу (Ть — 2°С, Ть + 2°С). Каждой реализации случайного процесса 7"ех(0 соответствует (см. (1)) своя функция Ь(^. Здесь естественной детерминированной характеристикой является среднее по ансамблю Ь (?) = (Ьф). Отметим, что (Техф) = Ть не зависит от параметров p и б, в то время как графики функции Ь (?) существенно меняются при изменении этих параметров (см. рис. 3). Как видно из полученных результатов, даже в случае, когда среднее значение охлаждающей (внешней) температуры Техф совпадает с температурой жидкости Тъ возможно формирование нарастающего со временем слоя двухфазной зоны благодаря только случайным флуктуациям внешней температуры. Это объясняется взаимодействием процессов затвердевания и диффузии примеси. Так, в моменты времени, когда мгновенная температура охлаждающей границы опускается ниже температуры фазового перехода при данной концентрации, происходит рост твердой фазы. При этом вся примесь вытесняется в глубь расплава. Когда же внешняя температура становится выше температуры фазового перехода, теоретически может произойти плавление. Однако на временах флуктуаций концентрационный профиль не успевает подстраиваться под изменения температурного поля, что не при-
t • 104,
0
1
р = 0.01
t • 104,
р = 0.1
2
t • 104, с
Рис. 2. Случайные флуктуации внешней температуры.
- а Р = 0.001
Р = 0.01
Р = 0.1
Р = 1
^ | 1
1
t • 104, с
5
а 4 —" 3 ^ 2 1
0
1
t • 104, с
Рис. 3. Динамика затвердевания при случайных флуктуациях внешней температуры, 8 = 1 (а), р = 0.01 (б).
водит к изменению температуры фазового перехода Тр. Рис. 3 также показывает, что
временная зависимость Ь(0 близка к закону квадратного корня Ь(0 ~ -Л и темп нарастания толщины области фазового перехода увеличивается с уменьшением р и ростом б.
Пусть теперь случайно флуктуирующая температура границы охлаждения имеет среднее значение ниже температуры жидкой фазы на постоянную величину 8: Техф = = Ть — 8 + б^(0. На рис. 4 представлены несколько случайных реализаций Ь(0 для Ть = = —2°С, р = 0.01, б = 2 и 8 = 1. Сплошной толстой линией здесь представлен график
0
0
1
2
1
2
с
с
4
3
2
1
0
2
2
Ь, м 0.02 г
0 1 2 Г ■ 104, с
Рис. 4. Случайные реализации функции Ь(р) при 8 = 1, 8 = 2.
Ь, м
Г ■ 104, с
Рис. 5. Динамика затвердевания при периодических и случайных флуктуациях внешней температуры, 8 = 2, ю = 0.001.
Ь0(?) при б = 0 без флуктуаций. Заметим, что случайные реализации отклоняются от Ь0(?) достаточно неравномерно. Максимальный разброс наблюдается на начальной стадии формирования двухфазной зоны. С течением времени при увеличении ее толщины разброс существенно уменьшается. Рис. 4 показывает, что начальная стадия процесса затвердевания отличается высокой чувствительностью к случайным флукту-ациям внешней температуры, которые приводят к возникновению двухфазной зоны.
Пусть теперь внешняя температура границы охлаждения содержит как периодические, так и случайные флуктуации: Тех(?) = Ть + 5со8ю? + б^(?). На рис. 5 сплошной
толстой линией приведен график Ь0(?) для б = 0 и приведены зависимости Ь (?) = (Ь(?)} для б = 1, 5, 10, 20. В отсутствие случайных флуктуаций (б = 0) наблюдаются периодически повторяющиеся фазы затвердевания и плавления, разделенные интервалами времени, на которых нет твердой фазы. Отметим, что даже при малых шумах двухфазная область не исчезает, а
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.