ВЫСОКОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ. Серия А, 2014, том 56, № 2, с. 213-221
ТЕОРИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 541.64:532.135:537.24
ДИНАМИКА ПРОВОДЯЩЕЙ ПОЛИМЕРНОЙ СТРУИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ1 © 2014 г. А. В. Субботин, В. Г. Куличихин
Институт нефтехимического синтеза им. А.В. Топчиева Российской академии наук
119991 Москва, Ленинский пр., 29 Поступила в редакцию 17.04.2013 г. Принята в печать 19.08.2013 г.
Исследована динамика струи неньютоновской жидкости, выходящей из конуса Тейлора при электроспиннинге полимерного раствора. Вязкоупругие свойства раствора описываются в рамках модели конечно растяжимых цепей FENE-P. Определена форма струи и вычислена величина тока, протекающего в струе и ее натяжение. Расчеты показали существование критического натяжения, при достижении которого струя перестает растягиваться, так что возникает возможность перехода струи к нестационарному поведению.
DOI: 10.7868/S230811201401009X
ВВЕДЕНИЕ
Метод электроформования для получения волокнистых материалов из полимерных растворов находит широкое практическое применение благодаря наличию большой удельной поверхности у получающихся продуктов [1, 2]. Устойчивое электроформование происходит в очень ограниченной области значений расходов жидкости и на-пряженностей электрического поля [3], что связано со спецификой происходящих при этом процессов. Физика таких процессов может быть описана в рамках уравнений электродинамики и механики сплошных сред, включая реологическое уравнение состояния жидкости [4—9]. В совокупности эти уравнения весьма сложны и на сегодняшний день не исследованы в полной мере даже в случае ньютоновской жидкости. Анализ этих уравнений требует разработки новых подходов и методов решения. Важными характеристиками, измеряемыми в эксперименте, служат величина протекающего в струе электрического тока I, а также радиус r(г) и скорость v(z) струи в зависимости от удаленности z от вершины конуса [10— 13]. Нахождение перечисленных величин и их зависимостей от параметров раствора и внешних условий является одной из задач теории.
Развитие теории электроформования происходит по нескольким направлениям: численное
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки, Федеральная целевая программа "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы" (Госконтракт № 14.513.11.0031).
E-mail: subbotin@ips.ac.ru (Субботин Андрей Валентинович).
решение уравнений электрогидродинамики, использование аналитических и скейлинговых методов анализа, исследование решений на устойчивость. Численное решение уравнений для описания динамики и формы струи наиболее распространено. Успех здесь достигается благодаря упрощению трехмерных уравнений движения жидкости путем сведения их к одномерному случаю [14—16]. Такой подход требует больших объемов вычислений, и его удается применить только в ограниченной области значений параметров. Из-за большого объема данных иногда сложно предсказать качественное поведение системы в более широком диапазоне параметров, в частности определить область устойчивости струйного течения. Кроме того, величина тока в этом подходе предполагается заданной, а не получается в результате решения уравнений.
Применение аналитических и скейлинговых методов анализа уравнений позволяет предсказывать качественную зависимость тока и характеристик струи от параметров системы. Метод скейлингового анализа широко использован при изучении электрораспыления [17, 18]. На его основе удалось объяснить наблюдаемую для низкомолекулярных жидкостей зависимость тока от поверхностного натяжения а, проводимости К и расхода Q: I ~ 4аЩ [18]. Величина тока оказывается не зависящей от напряженности внешнего поля, а определяется электрическим полем поверхностных зарядов. Однако при электроформовании ток существенно зависит от величины внешнего поля Е, на что указывают экспериментальные факты [19]. Для ньютоновской жидкости теоретически получены две скейлинговые
112 2
формулы, а именно I ~ ц6К2ЕЪQ3, где п — вязкость
2 3 3 4
раствора [20] и I ~ а7K7E 7Q7 [14]. Эксперимент дает более широкий спектр скейлинговых зависимостей [19]. Недавние измерения величины тока, возникающего при электроспиннинге растворов ПММА и ПС, показали, что он линейно возрастает с увеличением напряженности поля [21].
Большое внимание уделяется анализу не-устойчивостей струи [22—26]. Известно, что после сравнительно короткого прямолинейного участка поведение струи начинает меняться во времени и сопровождается хлыстообразными движениями. В ряде случаев наблюдается капиллярная неустойчивость, приводящая к формированию на струе капель [22], а также расщепление струи [24]. Проведенные исследования позволяют качественно понять механизмы появления подобных неустойчивостей и установить область их возникновения. В меньшей степени изучены факторы, влияющие на форму конуса Тейлора и распределение в нем поля скоростей и напряженности электрического поля [10, 27]. Полученные к настоящему времени результаты в основном относятся к вязким жидкостям. Вместе с тем, формирование волокон происходит из полимерных растворов, которые обладают вязкоупругими свойствами. Роль вязкоупругости в процессах электроформования пока изучена явно недостаточно.
В данной работе остановимся на изучении динамики полимерного раствора в области неньютоновского течения, основываясь на реологическом уравнении FENE-P, моделирующем поведение конечно растяжимых полимерных цепей. Основное внимание будет уделено изучению влияния вязкоупругости на струйное течение раствора и вычислению формы и натяжения струи.
УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СТРУИ
Предполагается, что проводящий полимерный раствор вытекает из отверстия диаметром D в электроде при среднем объемном расходе Q. Электрическое поле, создаваемое электродами, имеет напряженность E и направлено вдоль оси z. Как показывают экспериментальные наблюдения [10, 11],
после выхода из отверстия полимерныи раствор принимает коническую форму (конус Тейлора), которая затем переходит в тонкую струю.
Раствор характеризуется рядом параметров: плотностью р, коэффициентом электропроводности К, коэффициентом поверхностного натяжения а, диэлектрической постоянной е , вязкостью п, временем релаксации напряжений т. Проводимость полимерных растворов связана с наличием свободных носителей заряда, природа которых здесь не обсуждается. Для окружающей газовой среды р = п = К = 0 и б = 1. Испарение растворителя учитывать не будем. Обозначим через т Е = — время релаксации заряда и через О = П —
К т
тангенциальный модуль упругости жидкости. Заметим, что используемое в статье время релаксации заряда т Е отличается от времени релаксации
Максвелла . Это сделано для упрощения запи-К
си некоторых формул. Исходя из данных по растворам полимеров [3, 19], можно оценить типичные значения времени релаксации заряда
тЕ ~ 10-10 -10-5 с и время релаксации напряжений т ~ 10-5-10-1 с. Таким образом, в типичных случаях выполняется неравенство тЕ < т.
Сформулируем основные модельные допущения и уравнения динамики полимерной жидкости в условиях заряжения в предположении, что процесс струйного течения происходит стационарно. Будем использовать цилиндрическую систему координат (г, ф, г). Форма конуса Тейлора в общем случае должна определяться из решения электродинамических уравнений и граничных условий. Однако в такой постановке задача является достаточно сложной, поэтому для упрощения ситуации аппроксимируем поверхность конуса с помощью уравнения г (г) = Ь - г , где г < 0. Переход конуса в струю происходит при г = 0, причем в точке перехода радиус равен г(г = 0) = Ь, как показано ниже.
Q
z
Поверхность струи задается вращением кривой r = r(z) вокруг оси z . Вид функции r(z) при z > 0 определяется из решения уравнений динамики струи. Параметры 0 и i находятся из условия гладкости перехода между конусом и струей. Соответствующие уравнения будут сформулированы ниже.
Обозначим поверхностную плотность заряда через a(z), а вектор электрического поля в жидкости через E (z, r). Это поле складывается из внешнего поля и поля, создаваемого поверхностными зарядами, расположенными на конусе и на струе. Наличие свободных носителей заряда в жидкости, которая является электрически нейтральной, приводит к возникновению электрического тока с плотностью j = KE, причем divj = 0. Кроме тока проводимости в системе существует ток поверхностных зарядов (конвективный ток), обусловленный течением жидкости. Поверхностный заряд создается нормальной компонентой тока проводимости jn = KEn. Условие баланса заряда на поверхности в стационарном случае гласит
Vz(2пгд/1 + r'2<3vz) = 1 + r'2jn [24], где r' = — и
dz
г ч Q
v z (z) = —y--средняя скорость потока жидко-
nr (z)
сти. Далее будем полагать |rz'| < 1. Суммарный ток, протекающий в струе, есть сумма тока проводимости Ic(z) и конвективного тока Is(z), I = = Ic(z) + Is(z) = const. Ток проводимости, проходящий через поперечное сечение конуса или
струи, приближенно равен Ic(z) - nr2(z)KEz (Ez(z) — характерное значение напряженности поля вдоль сечения). Конвективный ток, обусловленный переносом заряда потоком жидкости вдоль поверхности, выражается как Is (z) = 2nravz.
В области конуса доминирующим является ток проводимости, тогда как в струе доминирует конвективный ток [14, 20]. Если исключить конвективный ток из выражения для суммарного тока, то можно получить оценку для поля Ez (z) внутри
конуса, Ez (z)
nr (z)K
I
= E * I — | , где E* = r (z)y
nb 2K
струе. Из последней формулы заключаем, что поле в конусе экранировано. Что касается величины поля в струе (область z > 0), в дальнейшем будем рассматривать только те режимы, в которых оно в основном определяется внешним полем, а поле от поверхностных зарядов относительно мало, т.е.
Е1 (z) - Е и Е * - Е.
По мере приближения к вершине конуса величина конвективного тока увеличивается и в области перехода в струю достигает величины тока проводимости. В струе ток проводимости уменьшается, 1С^) = пг 2КЕ, и величина конвективного тока в силу закона сохранения
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.