ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 4, с. 610-620
УДК 519.62
ДИНАМИКА СИЛЬНО СВЯЗАННЫХ ПРОСТРАНСТВЕННО-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЛОГИСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ1
© 2015 г. И. С. Кащенко, С. А. Кащенко
(150000Ярославль, ул. Кирова, 8/10, Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова; 115409 Москва, Каширское ш., 31, Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ)
e-mail: iliyask@uniyar.ac.ru; kasch@iniyar.ac.ru Поступила в редакцию 11.03.2014 г. Переработанный вариант 20.05.2014 г.
Исследуется динамика системы из двух логистических уравнений с запаздыванием и с пространственно-распределенной связью. Предполагается, что коэффициент связи является достаточно большим. Построены специальные нелинейные системы параболических уравнений, поведение решений которых определяет в "главном" динамические свойства исходной системы. Библ. 11.
Ключевые слова: система пространственно-распределенных логистических уравнений с запаздыванием, асимптотический анализ, специальные нелинейные параболические системы, динамические свойства систем.
DOI: 10.7868/S0044466915010093
ВВЕДЕНИЕ
Основным объектом исследования в настоящей работе является система двух логистических уравнений с запаздыванием и с пространственно-распределенной связью
ди
~dt j
= r[ 1 - и(t - T, x)] и + yl JF(s)v(t, x + s)ds - и
dv ~dt
(1)
\
= r[ 1 - v(t - T, x)] v + yl JF(s)и(t, x + s)ds - v
с периодическими краевыми условиями
и(г, х + 2я) = и(г, х), V(г, х + 2я) = v(г, х). (2)
Параметры г и Т, определяющие поведение решений логистического уравнения с запаздыванием
м = г[ 1 - м(г - Т) ] м, (3)
являются положительными.
Отметим, что это уравнение возникает во многих прикладных задачах (см., например, [1]—[3]). В качестве фазового пространства уравнения (3) естественно принять множество всех непрерывных на [— Т, 0] неотрицательных функций С[-Т, 0], а в качестве множества начальных функций в (1), (2) — множество всех непрерывных и неотрицательных на [—Т, 0] х [0, 2я] функций из С[-г,0] х [0,2п] х С[-Т, 0] х [0,2п]. Параметр у, характеризующий пространственно-распределенное
1) Работа выполнена при финансовой поддержке проекта № 984 в рамках базовой части гос. задания на НИР ЯрГУ и гранта Президента РФ (соглашение № 14.124.13.5948-МК).
V
-да
управление, является положительным. Определенная при s е (—да, да) функция F(s) предполагается неотрицательной. Наибольший интерес представляет ситуация, когда
F( s ) = —Ц-exp
2d*J п
(s + h)
2-i
2 d2
d> 0. (4)
Отметим, что Г Дs)ds = 1. Важно подчеркнуть, что решения задачи (1), (2) и (3) с неотрицательными начальными функциями при некотором t = t0 остаются неотрицательными при всех t > t 0.
Некоторые вопросы о поведении решений системы вида (1), (2) (без запаздывания) исследовались в [4]. В [4] была рассмотрена задача о динамике систем с пространственно-распределенным управлением при условии, когда параметр у достаточно велик:
У > 1. (5)
В ряде работ (см., например, [1]—[4]) относительно ДУ) предполагалось, что носитель этой функции сосредоточен в некоторой достаточно малой окрестности точки числовой оси. В терминах коэффициентов формулы (4) это означает, что параметр d является достаточно малым:
d < 1. (6)
В настоящей работе тоже предполагается, что выполнено условие (5). Условия (5) и (6) открывают путь к применению специальных асимптотических методов, разработанных в [5]. При этом условии будет рассмотрен вопрос о поведении всех решений краевой задачи (1), (2) с начальными условиями из произвольной (ограниченной при у —»- да, d —»- 0) области фазового пространства. В разд. 1 рассмотрен наиболее простой случай, когда функция ДУ) симметрична, т.е. к = 0, а в разд. 2 и 3, представляющих наибольший интерес, рассмотрен случай к Ф 0. В разд. 2 предполагается, что этот параметр является достаточно малым, а в разд. 3 это ограничение снято.
Для дальнейшего удобно записать систему (1), (2) в несколько ином виде. Для этого поделим левые и правые части в (1) на у. Тогда получившаяся система уравнений является квазилинейной, поскольку нелинейность в ней содержит малый множитель б = у-1:
да
ди
6
= sru[ 1 - и(t - T, x)] + JF(s) v(t, x + s)ds - и,
dt
(7)
œ
d v
= srv[ 1 - v(t - T, x)] + JF(s)u(t, x + s)ds - v.
-œ
Тем самым, важную роль при описании динамических процессов в (1), (2) играет линейная система с 2п-периодическими по x краевыми условиями
œ œ
dU = J*F(s)v(t, x + s)ds - и, |u = j*F(s) u(t, x + s)ds - v, (8)
-œ -œ
где t = st.
Ее характеристическое уравнение имеет вид
( 1 + ^)2 = exp[-2ikh - 2d2k2], к = 0, ±1, ±2.... (9)
Все корни этого уравнения неположительны, и бесконечно много корней уравнения (9) стремятся к мнимой оси при s, d —» 0. Тем самым, можно говорить о том, что при условии (5) и (6) критический случай в задаче об устойчивости системы (7) имеет бесконечную размерность. Известные методы исследования динамики системы (1), (2), связанные с использованием методов локальных инвариантных интегральных многообразий (см., например, [6], [7]) и методов нормальных форм (см., например, {8]) оказываются непосредственно неприменимы. Для задач такого типа будут использованы методы квазинормальных форм, которые разработаны в [4], [5], [9].
Интересно сравнить полученные ниже результаты с результатами исследования динамики одного логистического уравнения с запаздыванием и большим коэффициентом пространственно-распределенного управления из [5]. Как оказывается, многие выводы из [5] находят свои ана-
логи и при исследовании динамики краевой задачи (1), (2), но имеется и ряд утверждений, специфичных именно для системы уравнений.
Рассматриваемая в настоящей работе краевая задача (1), (2) (или (7), (2)) является сингулярно возмущенной. Отсюда, в частности, следует объяснение того факта, что численный анализ сопряжен со значительными трудностями. В качестве основных результатов получены универсальные нелинейные краевые задачи параболического типа, которые играют роль уравнения "первого" приближения. Их решения позволяют определить главные члены асимптотики решений исходной краевой задачи. Соответствующие параболические системы довольно сложны. Они могут содержать малый параметр только в отклонении пространственной переменной, по которой имеет место 2я-периодичность. Тем самым становится возможным контролируемым образом использовать стандартные численные методы. Нерегулярная зависимость от малого параметра решений исходной системы "спрятана" в пространственных переменных построенных параболических уравнений.
В ряде ситуаций, например, при построении периодических по времени решений, можно получать асимптотические разложения решений с любой степенью точности и доказывать теоремы о существовании и устойчивости точных решений исходной задачи, близких к решению уравнения "первого" приближения. Эти вопросы здесь не рассматриваются.
1. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ (1), (2) В СЛУЧАЕ СИММЕТРИЧНОЙ ФУНКЦИИ Д?)
Предполагаем, что имеет место равенство
к = 0. (10)
1.1. Сначала коротко остановимся на наиболее простой (предельной при d —»- 0) ситуации, когда вместо (1), (2) имеем систему
и1 = ги1 [ 1 - и1 (г - Т)] + у(и2 - и1), и2 = ги2[ 1 - и2(г - Т)] + у(и1 - и2). (11)
Теорема 1. Пусть уравнение (3) имеет периодическое решение %0(0 и только один его мультипликатор равен по модулю 1. Тогда при всех достаточно малых б система (11) имеет периодическоере-шение
и/г, г) = %0(( 1 + о(1))г) + о( 1), ] = 1,2,
той же, что и %0(0 устойчивости.
Тем самым, при большом у уравнение (3) является для (11) уравнением "первого" приближения.
Простое доказательство теоремы 1 опустим.
1.2. Остановимся далее на модельной ситуации, когда для некоторой положительной постоянной d1 выполнено условие
й = е й1.
(12)
В этом случае характеристическое уравнение (9) имеет бесконечно много корней ^¿(е), которые стремятся к нулю при е —»- 0:
Хк (е) = - е к2 + о (е), к = 0,±1,±2 ,
Соответствующие этим корням решения линейной системы (7) имеют вид
ехр(ХкТ),
С А
и1к(Л е)
и2к(Л е)
С \
%о+ о(е)
V %о + о(е))
где %0 — произвольная постоянная.
Следуя методике из [4], введем в рассмотрение формальный ряд
С л
и(т, х, е)
V v(т, х, е)
С Л
%(г, х) V %(г, х))
+ е
С , ч Л и1 (г, х)
V г, х)у
+....
(13)
Подставляя (13) в (7), (2) и собирая коэффициенты при одинаковых степенях 6, получаем на первом же шаге краевую задачу для определения неизвестной функции £,(?, х):
§ = ^ + г£[ 1 - £(г- Т, х)], (14)
дг дх
£(г, х + 2г, х). (15)
Имеет место аналогичная теореме 1
Теорема 2. Пусть выполнены условия (10) и (12) и пусть краевая задача (14), (15) имеет ограниченное при t —да решение £,0(?, x). Тогда краевая задача (7), (2) имеет асимптотическое по невязке решение
С \ с ^ и(г, 6) _ £0(Ь х)
V v(г, б) )
+ О (6).
V ^0(и х))
Рассмотрим затем ситуацию, когда
d _ d1 ба (16)
и а Ф 1 . При 0 < а < 1 роль краевой задачи (14), (15) играет уравнение (3), и по-прежнему имеет
место утверждение теоремы 1. 1.3. При условии
а > 1 (17)
ситуация сложнее. Здесь получаем аналог краевой задачи (14), (15) для быстро осциллирующих по пространственной переменной функций. Введем обозначение. Фиксируем произвольно г Ф 0
1
— а 2
и пусть 0г = 0г(б) е (0, 1] дополняет величину 16 до целого числа. Рассмотрим совокупность целых чисел
к _ С£62 + о£)т, т _ 0, ±1, ±2, .... (18)
Тогда Хк = — 6 d21z2m2 + о(6). Аналог формального ряда (13) в этой ситуации отличается от (13) только тем, что вместо аргумента х в его правой части стоит аргумент
у _ х(г62 + ©г).
Для определения у) тогда приходим к зависящей от произвольного параметра г краевой задаче
_ d2г2д^
+ г£[ 1 - £(г- Т, у)], (19)
ду2
дг 1
£( г, у + 2 я) = £( г, у). (20)
Отсюда получаем следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть выполнены условия (10), (12), (17) и г произвольно фиксировано. Пусть краевая
задача (19), (20) имеет ограниченное вместе с производными ^ и при t —» да решение у).
дг ду
Тогда краевая задача (7), (2) имеет асимптотическое по невязке решение
и(г, х, 6) _ £,0(г, у) + о(1), v(г, х, 6) _ £0(г, у) + о(1).
1.4. Приведенн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.