ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА РАН, Том!, №/, 2005, стр. 3-И
МЕХАНИКА
УДК 539.3
ДИНАМИКА СЛОИСТОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДВИЖУЩЕЙСЯ И ОСЦИЛЛИРУЮЩЕЙ
НАГРУЗКИ
© 2005 г. В.В. Калинчук1, Т.Н. Белянкова2, Г. Шмид3, А. Тосецки3
Исследуются колебания слоисто-неоднородной среды под действием движущейся и осциллирующей на ее поверхности нагрузки. Проблема рассматривается в движущейся, связанной с нагрузкой системе координат. Построено интегральное представление перемещений произвольной точки среды. Проведен численный анализ свойств функции Грина среды и структуры поверхностного волнового поля в зависимости от скорости движения нагрузки, частоты ее осцилляции и свойств среды.
Развитие наземного высокоскоростного транспорта приводит к серьезной экологической проблеме - "сейсмическому и акустическому загрязнению" окружающей среды. Скорость движения поездов на некоторых действующих магистралях [1-3] (Германия, Голландия, Франция, Япония и др.) достигает 400-450 км/час (110-125 м/с). С другой стороны большинство фунтов естественного залегания имеют четко выраженную слоистую структуру с низкоскоростным поверхностным слоем [4] (скорость сдвиговых волн в глине 100-400 м/с, в суглинке 100-300 м/с, в супеси 120-280 м/с). Таким образом, достижение наземным транспортом "звукового барьера" со всеми негативными последствиями для экологического состояния окружающей среды является вполне реальным. Это обстоятельство вынуждает проводить детальное исследование динамических процессов, сопровождающих высокоскоростной транспорт, с целью поиска путей и методов снижения экологического ущерба.
Одним из перспективных путей в борьбе с сейсмическим шумом является использование пассивных, основанных на особенностях распространения волн в слоистых средах, защитных мер за счет целенаправленной оптимизации структуры "дорожное полотно - подстилающий грунт". Моделирование "дорожного полотна" успешно производится численными [1-3] и численно-аналитически-ми, основанными на использовании упрощенных конечномерных моделей [5], методами. При моделировании динамических процессов в неоднород-
1 Южный научный центр РАН, г. Ростов-на-Дону.
2 НИИ Механики и прикладной математики Ростовского госуниверситета, г. Ростов-на-Дону.
3 Рурский университет (Богум), Германия.
ных грунтовых основаниях более эффективными являются аналитические и полу аналитические, базирующиеся на использовании интегральных преобразований, методы [6-11]. Такие подходы использовались, например, при асимптотическом анализе волновых полей в неоднородном полупространстве [7, 8], при анализе волновых полей в неоднородном слое [9] и т.д.
В настоящей работе изучается волновое поле в ближней зоне на поверхности неоднородного полупространства. Исследование проводится в декартовой прямоугольной системе координат ху, х2,
1. Движение слоисто-неоднородной среды под действием движущейся и осциллирующей нагрузки. Рассмотрим движение неоднородной среды, представляющей собой упругий слой 0 < хъ < А, лежащий на поверхности упругого полупространства х3 < 0. Плотность и упругие модули слоя (к = 1) и полупространства (к = 2) равны
соответственно р(4), |Х(А). На границе слоя и полупространства выполняются условия жесткого сцепления. На поверхность среды действует распределенная в области О нагрузка
Я(х, - Vt,x2)e~'ш, движущаяся с постоянной скоростью V в положительном направлении оси и осциллирующая с частотой со.
Задача описывается уравнениями движения
Э0
эе£ эе
дх. Эх-,
Эх
(л)
¿3_ _ р(п)
2,
Э и
Эг
& = 1»2,3(1.1)
граничными условиями на поверхности среды:
x,=h: е<'> =
= - V'-^.O.^x eа
[0, xi,x2£Ll
условиями полного сцепления слоя и полупространства:
*3=о = е£=е£\ ¿ = 1,2,3 аз>
условиями излучения на бесконечности [10]. и<п) = [и\п},и[п)- вектор перемещения произвольной точки, тензор напряжений слоя (л = 1) или полупространства (п = 2), компоненты которого имеют вид:
( ди\п) Эх,
t ди{2п> | du[f Эл2
+Д
дм
(nj
Эк'/" —+——
dxj dxt
5у - символ Кронекера, q = {<?(, ~~ вектоР нафузки.
В общем случае задача является нестационарной, для решения которой необходимо привлекать методы операционного исчисления. В частном случае, когда, V = const, представляется возможным перейти к подвижной системе координат [7-11]:
jit ~ jCi Wj
— -К2 * —
(1.4)
в которой все слагаемые в уравнениях (1.1) остаются без изменения за исключением производной по времени:
^ _ du _ У du dt дх{'
dt2 Э^сГЭ/ Эх,'2
(1.5)
Допуская, что движение нагрузки, равно как и сами колебания происходят длительное время, процесс колебаний в подвижной системе координат (1.4) можно считать установившимся и, тем самым, рассматривать задачу в гармонической постановке, т.е. все участвующие в задаче величины представить в виде:
(16)
Внося выражения (1.5) и (1.6) в уравнения (1.1) и применив к ним двумерное преобразование Фурье по координатам х[,х'2 (аь а2-параметры преобразования, далее штрих при хк и временной множитель опускаем), придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций и^)(а1,а2^з) = {1/1(я),^я),1/5л>}
- трансформант Фурье функций Uq \ Произведя
формальную замену параметра (о на со* = со - а, V получим систему уравнений, которая по виду не отличается от обычной системы, однако ее тип (эллиптическая, гиперболическая или смешанная) будет определяться скоростью движения нагрузки.
Пусть с[1),с2|) и с[2),42) скорости продольных
и поперечных волн в слое и в полупространстве соответственно, а у» ß и 6 - параметры, которые их связывают соотношениями:
Среду будем называть "нормальной" (далее отмечаем индексом "л") при условии ß < 1 (полупространство "жестче" слоя). Следуя [11], будем
различать докритический 0(n)(V < с2") и сверхзвуковые I (л) (42) > V > 4й), И (п) (с[2> > V > 42)) и III (л) (V > с\2>) режимы движения.
"Аномальной" (далее отмечаем индексом "а") будем называть среду при условии ß > 1 (слой "жестче" полупространства). В этом случае
будем различать докритический 0(д) (V <с22)) и сверхзвуковые 1(а) > V > с(22)),
(c[])>V>4[>) и ПЦа) (V>c\u) режимы
движения нагрузки. Случаи 0 (л) и 0 (а) приводят к эллиптическим уравнениям, случаи Ш(л) и 1П(а) - к гиперболическим уравнениям, случаи 1(л) и 1(д), Н(л) и Н(д) - к смешанному типу: часть уравнений являются эллиптическими, часть - гиперболическими .
Далее используются безразмерные параметры: линейные параметры отнесены к толщине слоя А, напряжения и усилия - к модулю сдвига ц<2), плотность - к плотности полупространства р<2>. Скорость движения нагрузки, а также скорости распространения всех типов волн отнесены к скорости поперечных волн в полупространстве
с{2) В качестве безразмерной час-
тоты будем использовать параметры х2 = cö/i/c22) и х2 = со*А/с22>. Для упругих параметров будем применять обозначения, ц'(1)=й(1)/д(2), для скоростей V'=Vfc(2\ c?il = 41} / с<2) = р. cf(2> = с;2) / cf = у. Далее штрихи опускаем.
2. Решение краевой задачи. Общее решение системы уравнений (1.1) в пространстве образов Фурье имеет вид:
$кр(к,р = 1,2,...,9) являются алгебраическими
= 1 ¿'^"«Ь^Ч + ^'сЬ^'хз]. ' = '.2
к = 1
дополнениями элементов Т^ [12] определителя Л() (во всех формулах р = 1, 2, 3):
~ 1кр споР **.р+3 ~ 1кр 5ПОк "»
Ч,р+6
= 0, & = 1,2
(2.1) ТЪр = Г3,,+3 - /£САо(,пА, Г3,р+6 = 0
= . ' = 1.2
(2.2)
Неизвестные константы определятся
при удовлетворении преобразованных по Фурье граничных условий (1.2) и (1.3). Применив обратное преобразование Фурье, получим решение краевой задачи (1.1) - (1.3) в виде [12]:
и(")(д:1>л2,л3) =
Ткр - з —
т -_/<2>
(2.9)
1
2..(1>
Д к*"^ (2.3) ся формулами:
т -о Т = и(1)/(,) Т --/(2) Коэффициенты (к,р- 1,2, 3) определяют-
к(я)(М,*3) =
= / | К (а, ,а2, *3)е(а'5+а2')^а1*Лх2 г,г2
(2-4)
= -«'«*. Й^йх^и-2, /Й^/а^"^-2, к -1,2
К(">(а|,а2,д:з) = ||^
-II
удовлетворяют характеристическим уравнениям:
(<2-«2 + р^ш'У^^О, (2.10)
(и = 1,2, ¿ = 2,3)
Контуры Г, и Г2 в соответствии с правилами [10] обходят отрицательные особенности (полюса и точки ветвления) функции КМ сверху, положительные особенности - снизу.
Функции А0 = Д°(м,х и а™ = о[п\и,х2) являются четными функциями аргументов и, х2.
В системе координат ы,х2 имеет место характерная для неподвижного источника центральная симметрия расположения особенностей символа К<л>^а1,а2,0,х2]: дисперсионные поверхности представляют собой тела вращения и
(,р=1
*=|
1 = 1,2
3
Е
з ^
/•<2)д е * Лк ак+6,ре
к=\
(2.5)
К{2) у в4 4 /-12
^(2) -уд ¿=1
'*3
(2.6)
Здесь
/{\п) = -/а1о5лГ', ^^-/а.о^и"2, 1,п = 1,2 (2.7)
/31 —/32 —'»/33 и»/13 ~ и2»/23
и = + а2, а,=исо5ф, а2=и5т<р
Л° = ае1 II71
кр МЛ,р=1,2....,9
(2.8)
«1 c2<2>=125m/s
CR = 115
С2<1>= 200 m/s
i 1 1 К2
О 4 8 12 16
Рис. 1. Дисперсионная диаграмма - сечения дисперсионных поверхностей полуплоскостью <р = const (сплошные линии). Среда "нормального" типа, нагрузка неподвижна (V = 0). Штриховые линии (сверху вниз) соответствуют релеевской волне полупространства с параметрами слоя, а также сдвиговым волнам слоя и полупространства
определяются выражениями где
при фиксированном значении частоты х*2 удовлетворяют уравнению
х2) — 0 (2.11)
В системе координат и, х2 симметрия исчезает, поскольку дисперсионные поверхности претерпевают изменение в соответствии с формулой перехода от параметра к х2 к х2:
*.=*L(5.) + e,.V (2-12)
Фазовая скорость мод поверхностных волн определяется выражением
= ^ + = (2.13)
Sn S/t S/t
где V()n - фазовая скорость поверхностной моды с номером п в неподвижной системе координат. Соотношение (2.12) характеризует проявление эффекта Доплера, который заключается в изменении регистрируемой неподвижным наблюдателем частоты колебаний движущегося источника: при сц < 0 - уменьшение, при а, > 0 - увеличение.
3. Поверхностные волны от движущегося осциллирующего источника. В качестве примера рассмотрим действие нагрузки q — {0,0,^3(дг1 - на слоисто неодно-
родную среду. Перемещение поверхности среды определяется формулой:
87С \1 п
~%,х2 -тlh)q3(^T\)d^dr\ (3л)
Г1Г2
(3.2)
Функции АГ{з(а,,а2,Л) описываются формулами (2.5) -
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.