Письма в ЖЭТФ, том 101, вып. 9, с. 708-711
© 2015 г. 10 мая
Динамика спина в модели Френкеля с учетом изменения инерционных свойств электрона
С. Л. Лебедев
Сургутский государственный университет, 628412 Сургут, Россия Поступила в редакцию 10 марта 2015 г.
В области значений параметров 7 1, ае < х ^ 1 (7 ~~ лоренц-фактор, ае = ¿(<7 — 2), х = = \J(eF^vpv)2/гп>1) уравнения движения модели Френкеля приводят к обобщению системы уравнений Лоренца и Баргмана-Мишеля-Телегди (БМТ). Модификация связана с учетом френкелевской добавки m-pt к массе электрона и может представлять интерес для планируемых в настоящее время экспериментов с релятивистскими пучками. Полученное уравнение Френкеля-БМТ содержит продольную часть с зависящим от времени коэффициентом, не равным нулю при g = 2. В случае постоянных фоновых полей уравнения траектории и спина могут быть проинтегрированы с требуемой точностью, если известна первообразная функции тп-(т). Для спин-орбитального вклада Amso в сдвиг массы найдено новое представление через геометрические инварианты мировых линий. Показано, что скорость изменения Amso определяется величиной ~ (ае + mpr/me). Указано на принципиальную возможность периодического изменения спинового света вдоль траектории пучка.
DOI: 10.7868/S0370274X15090106
1. Введение. Обсуждаемые в последнее время новые конфигурации экспериментов в физике релятивистских пучков связаны с эффектами каналиро-вания и Ьеагг^гаЫигщ'а [1-3]. Ожидаемые в этих
экспериментах значения динамического параметра
2)
X :
(1)
сравнимы с единицей и, таким образом, являются оптимальными для наблюдения эффектов квантовой электродинамики (С^ЕБ) интенсивных полей. С другой стороны, вполне оправдало себя описание поляризации релятивистских электронов с помощью классического уравнения Баргмана-Мишеля-Телегди (БМТ) [1, 4], в котором эффекты С^ЕБ учитываются феноменологически введением аномального магнитного момента (АММ) электрона ае с; а/2-7Г (а/27г - так называемое швингеровское значение АММ). Не будучи лагранжевым, уравнение БМТ может быть выведено как линейное по спину приближение из предложенной Френкелем [5] (лагранже-вой) модели "релятивистского волчка" [6]. Эта мо-
e-mail: lsl@iff.surgu.ru
2'С некоторыми исключениями используются система еди-
ниц, в которой R = 1 = с, постоянная тонкой структуры
а = е2/АжТю и метрика, в которой 4-вектор Аа = (А,гАо); дуальный тензор определяется как = ^afJ-ysF-yS- Мы ис-
пользуем также диадные обозначения [А, В] для тензора с эле-
ментами AaBfj — AfjBa и (в отдельных случаях) точку для указания свертки по лоренцевым индексам.
дель, однако, содержит добавку к массе электрона
1 1 TTlfY
mpr = -tr(ßF) = -TuaßFaß,--х (2)
2 2 rrie
(F = \\Faß\\ = const и ß(r) = \\(лар\\ - тензоры электромагнитного поля и магнитного момента), которой обычно пренебрегают. Действительно, в современных ускорителях с энергиями электронов Ее > > 1 ГэВ характерные значения х лежат в интервале х — Ю~6 —10~5 [1, 2], что значительно меньше ае с; 10~3. Это позволяло не принимать во внимание поправки, связанные с торг (если, разумеется, рассматривать уравнение БМТ в рамках подхода Френкеля). Поскольку планируемые эксперименты делают значения х 1 вполне достижимыми, следует выяснить, в какой степени отличие торг от нуля может повлиять на динамику поляризации релятивистского электрона. В данной работе, отталкиваясь от френкелевских уравнений движения, мы получаем с известной точностью уравнение спина, в котором присутствуют и торг, и ае. Мы находим решение этого уравнения для произвольного постоянного поля, предполагая только медленность изменения mpr- В заключение найденные решения используются для вычисления спин-орбитального вклада в сдвиг массы (СМ) [7] и доказывается сделанное ранее [8] утверждение о медленном изменении Дтяо как функции собственного времени. Периодические осцилляции Дтяо указывают на изменение излуча-тельной способности пучка вдоль трека.
2. Уравнения траектории и спина. Уравнения движения заряда в модели Френкеля могут быть представлены в виде (ко = е/АЛ)
- М . . 1 <1 А
-/м, (о)
KnFx--х -
М
М (1т
S = kFS + (к — Ko)x(xFS) -\——S • —(la.
Л4 ат
(4)
В правых частях уравнений (3) и (4) мы отбросили градиентные члены, поскольку силы Штерна-Герлаха в транспортных системах ускорителей обычно малы [1]. Уравнение (3) содержится в работе [5]. Уравнение (4) получено из оригинального френке-левского (¡1 = к[Р,(1] + к[х,(1а\) с помощью подстановки
(5)
где SQ
¡1 = fj,[x, S*]* единичный 4-вектор спина,
S — — х /л , fj,
fj, = Нк/2 = g ¡л в/2, /х в = eft/2mec.
(6)
Пространственная подобность Ба и выражается уравнениями
¿51 = 0, (7а)
х(1 = 0 (76)
(условия Тамма и Френкеля соответственно). Вектор аа(т) в уравнениях траектории и спина - лагранжев множитель, соответствующий связи (76). Важно, что масса
М=те + тРг, (8)
(см. (2)) отличается от массы электрона и, вообще говоря, зависит от собственного времени. Тем не менее членом — ^х в правой части (3) мы в дальнейшем пренебрегаем. (С помощью соотношения (9) можно показать, что этот член значительно меньше также отбрасываемого последнего члена в правой части (3), если ае, х "С 1.) Для вектора (1а Френкелем получено уравнение
аа = а ( Рх--х
V «
которое можно переписать в виде
(1 с1
jla = $r(iFx —
кМ (It
ца.
Здесь
= 1 -
2 тое ~gM
0(аегХ).
(9)
(10)
Используя соотношение (9) рекуррентно, можно убедиться в том, что последние слагаемые в правых частях уравнений (3) и (4) имеют порядок 0(§хх2/Тс), где тс = 1 /ше - комптоновское время электрона. В то же время оставшееся слагаемое коРх в уравнении (3) с учетом трг дает вклады порядка 0(х/тс) и
0(х2/тс). Удерживаемые в уравнении спина (4) первое и второе слагаемые имеют, соответственно, порядки 0(х/тс) и 0($?х/тс). Таким образом, с включением членов ~ Х2/Тс, Ъ^х/Тс система уравнений (3), (4) перепишется как
kqFX,
S = kFS + K$VX(XFS).
(П) (12)
Главным отличием уравнения (12) от уравнения БМТ является зависимость параметра ко и, следовательно, Зт = 1 — ко/к от собственного времени. При д = 2 второй член в правой части (12) не обращается в нуль, если трг ф^ 0. Система уравнений (11), (12), очевидно, сохраняет длины векторов Б ж х (х2 = — 1, Б2 = 1), а также связь (7а), поскольку
Sx + Sx = 0.
(13)
Будем называть уравнение (12) уравнением Френкеля-БМТ (Ф-БМТ). В случае постоянного поля решение уравнения Ф-БМТ может быть найдено точно, если считать известной зависимость М(т).
3. Решение уравнения Ф-БМТ для случая F = const. Метод Хонига, Шукинга и Вишвешвары [9], применявшийся для нахождения решений уравнения БМТ, основан на использовании репера Френе: = х, е^2\ 4-векторы которого удовлетворяют уравнению Лоренца (каждый по отдельности), а также системе уравнений Френе-Серре в пространстве Минковского:
¿(°) = кеМ) ,
¿W = jfee(°> +т1е(2) ;
¿(2) = _Tie(i) ¿(3) = _Т2е(2).
т2е
(3)
(14)
Здесь к, т\ и Т2 - кривизна, первое и второе кручения мировой линии х(т). Уравнения Лоренца и система (14) оказывались совместными при условии к = 7~1 = т"2 = 0, причем для к, т\ и Т2 авторы [9] нашли явные выражения через полевые инварианты а' = Е2 — Н2, ¡3 = ЕН. В нашем случае необходимо потребовать, чтобы в дополнение к (14) векторы е^ удовлетворяли уравнению (11):
¿(Л)
ко
Fe(A\ А = 0,3.
(15)
Уравнение (15) гарантирует постоянство длин векторов и их попарных скалярных произведений -необходимое условие для того, чтобы репер
710
С. JI. Лебедев
был репером Френе. Однако теперь вместе с зависимостью ко от собственного времени от г будут зависеть и коэффициенты к, т2. В связи с этим следует определить условия совместности уравнений (15) и (14).
Для вектора е= х уравнение (15) выполнено по определению. Дифференцируя обе части (15) при А = 0 и используя первое из уравнений (14), получаем
к-^к)еЫ+кёМ =к0кРеМ. (16)
«о /
Умножая скалярно обе части этого равенства на е находим, что к = (ко/ко) к, т.е. е^ действительно удовлетворяет уравнению (15). Аналогичным путем приходим к равенствам
П П
11
Т2
Ко к0'
(17)
которые выражают пропорциональность всех геометрических коэффициентов величине ко- При этом векторы е1-2) и еудовлетворяют (15), а отношения геометрических коэффициентов не зависят от собственного времени:
k Ti
— = const, — = const. П Т2
(18)
Легко проверяется, что явные формулы для определения к, Ti и т2 имеют тот же вид, что и в работе [9], с заменой те —>■ ./И (для их получения используются только уравнения (14), (15) и алгебраические свойства матрицы F):
k2 = -ale^FFe^,
к2{т1 -к2) = -~к\а!к2 - й^/32 ,
(19а) (196)
кт-2 = hiß. (19в)
Уравнения (19) демонстрируют упомянутую выше пропорциональность: к, ti, т2 сс ко-
Теперь решение уравнения (12) может быть найдено достаточно просто. Условие (7а) приводит к тому, что в разложении вектора S по тетрадному базису:
5 = СА(т)е^ = CieW + С2е^ + (20)
слагаемое с е^0) отсутствует (Со = 0). Продифференцируем уравнение (20):
S = СА(т)еМ + САё^ =
= кСА ■ F ■ е^)
После использования уравнений (14) и (15) получаем СА{т)е^ = ~ах
-пС2е^ + (ПС\ - т2С3)е™ + т2С2е^] . (21)
Обратим внимание на исчезновение в правой части (21) слагаемого с вектором ездесь введено обозначение а для "аномалии":
(2)
= (3)
а, = —= - — - 1
ко 2 тое
(22)
Согласно (21) коэффициенты СА удовлетворяют системе уравнений:
С\ = —ат\С2,
С2 = ä(riCi - т2С3),
С3 = ат2С2.
(23)
Вводя "медленную" фазу
Ф(т) = Г J о
ат\(1т
(24)
и учитывая, что т\ = Ако (т~1 > 0), где Л не зависит от г, имеем
С2(Ф) = С2(0) cos (yj 1 + т|/т2Ф
С!(Ф)=С!(0)-
С2{ 0)
2 /т-2
С3(Ф) =С3(0)
VTT^J
С2( 0) Vi +r(/ri
v/T+^Afi),
v/i + rl/r^),
Ф(г) = Л«о if - l) Г + Л«о Г — dT,
\l J J о me
(25)
(26)
«о = e/me. В решении (25) начало отсчета фазы выбрано так, чтобы С2(0) = 0, а в уравнении (26) сделана замена трг/Л4 т-рг/те. Поскольку |а| <С 1, вращение 4-вектора S относительно тетрады - "медленное". Сумма С\{т) = С\{0).
Уравнение (11) может быть проинтегрировано по такой же схеме. Вводя "быструю" фазу Фх:
Ф1(т)
ко j ^ — ат = т —
Шрг
/о «О
для 4-скорости получаем
dr, (27)
dx dx ( mFr\ tvf, wn
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.