ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2015, № 3, с. 142-155
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖУЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
УДК 629.7
ДИНАМИКА СПУТНИКА-ГИРОСТАТА, ПОДВЕРЖЕННОГО ДЕЙСТВИЮ ГРАВИТАЦИОННОГО МОМЕНТА; ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ
© 2015 г. С. А. Гутник12, Л. Сантуш3, В. А. Сарычев4, А. Силва3
1 Долгопрудный, МФТИ, 2 Москва, МГИМО, 3 Португалия, Ковильян, Университет Внутренней Бейры,
4 Москва, ИПМим. М.В. Келдыша РАН Поступила в редакцию 02.12.14 г., после доработки 09.12.14 г.
Исследована динамика вращательного движения спутника-гиростата, движущегося в центральном ньютоновом силовом поле по круговой орбите. Предложен метод определения всех положений равновесия (равновесных ориентаций) спутника-гиростата в орбитальной системе координат при заданных значениях вектора гиростатического момента и главных центральных моментов инерции, получены условия их существования. Для каждой равновесной ориентации получены достаточные условия устойчивости с использованием в качестве функции Ляпунова обобщенного интеграла энергии. Проведен детальный численный анализ областей выполнения условий устойчивости положений равновесия в зависимости от четырех безразмерных параметров задачи. Показано, что число положений равновесия спутника-гиростата, для которых выполняются достаточные условия устойчивости, в общем случае изменяется от четырех до двух при возрастании величины модуля гиростатического момента. Полученные в статье результаты могут быть использованы при создании гравитационных систем управления ориентацией искусственных спутников Земли.
Б01: 10.7868/80002338815030105
Введение. Ориентация искусственного спутника Земли может быть осуществлена как активными, так и пассивными методами. При разработке пассивных систем ориентации спутника можно использовать свойства гравитационного и магнитного полей, эффект сопротивления атмосферы и давление солнечного излучения, гироскопические свойства вращающихся тел. Важное свойство пассивных систем ориентации спутников заключается в их возможности функционировать на орбите продолжительное время без расходования энергии и (или) рабочего тела. Среди пассивных систем ориентации наибольшее распространение получили гравитационные системы, принцип работы которых основан на том, что в центральном ньютоновом поле сил спутник с неравными главными центральными моментами инерции имеет на круговой орбите 24 положения равновесия, четыре из которых являются устойчивыми [1—3]. Введение в конструкцию вращающихся с постоянной угловой скоростью относительно корпуса спутника роторов позволяет получить новые более сложные положения равновесия спутника-гиростата, интересные для практических приложений.
Задаче определения положений равновесия спутника-гиростата посвящено много работ. Подробное рассмотрение динамики спутников с гравитационными системами ориентации представлено в [4]. В [5—9] положения равновесия спутника-гиростата и их устойчивость были исследованы для частных случаев, когда вектор гиростатического момента параллелен одной из главных центральных осей инерции спутника-гиростата или находится в одной из плоскостей, образуемых главными центральными осями инерции. В [10] были исследованы положения равновесия и их устойчивость для осесимметричного спутника-гиростата.
Общий случай задачи был впервые рассмотрен в [11], где кратко представлены теоретические результаты символьно-численного исследования положений равновесия спутника-гиростата, подверженного действию гравитационного и гиростатического моментов. Показано, что на круговой орбите для спутника-гиростата с заданными вектором гиростатического момента и главными центральными моментами инерции существует не более 24 положений равновесия в орбитальной системе координат.
В [12] c использованием метода, основанного на алгоритмах построения базисов Гребнера и понятия результанта, было проведено исследование положений равновесия спутника-гиростата, определены бифуркационные значения параметров системы, при которых изменяется число положений равновесия, и проведен детальный численный анализ эволюции областей существования различного числа положений равновесия в пространстве параметров.
В разд. 1 данной работы предложена постановка задачи, приведены уравнения вращательного движения спутника-гиростата под действием гравитационного момента. В разд. 2 рассмотрен символьно-численный метод определения положений равновесия спутника-гиростата. В разд. 3 проведено исследование положений равновесия спутника-гиростата при заданных значениях параметров задачи. В разд. 4 приведены результаты исследования достаточных условий устойчивости положений равновесия спутника-гиростата в зависимости от четырех безразмерных параметров задачи с использованием в качестве функции Ляпунова обобщенного интеграла энергии.
1. Уравнения движения. Рассмотрим движение спутника-гиростата (далее также спутник или гиростат), представляющего собой твердое тело с расположенными внутри него статически и динамически уравновешенными роторами. Считаем, что угловые скорости вращения роторов относительно корпуса спутника постоянны и центр масс спутника-гиростата движется по круговой орбите. Для записи уравнений движения введем две правые прямоугольные системы координат с началом в центре масс O спутника-гиростата.
OXYZ — орбитальная система координат. Ось OZ направлена вдоль радиуса-вектора, соединяющего центры масс Земли и спутника; ось OX направлена вдоль вектора линейной скорости центра масс O спутника.
Oxyz — связанная со спутником система координат; Ox, Oy, Oz — главные центральные оси инерции спутника.
Определим ориентацию системы координат Oxyz относительно орбитальной системы координат с использованием углов Эйлера у, ф. Направляющие косинусы осей Ox, Oy, Oz в орбитальной системе координат выражаются через классические углы Эйлера с помощью соотношений [4]:
x y z
X an ai2 $13
Y a21 a22 a23
Z $31 $32 $33,
a11 = cos y cos ф- sin y cos & sin ф, a12 = - cos y sin ф - sin y cos & cos ф, a13 = sin y sin &,
a21 = sin y cos ф + cos y cos & sin ф,
a22 = - sin y sin ф + cos y cos & cos ф, (1.1)
a23 = - cos y sin &,
a31 = sin & sin ф,
a32 = sin & cos ф,
a33 = cos &.
Тогда уравнения движения спутника-гиростата относительно центра масс запишутся в виде [4, 11]
Ap + (С - B)qr - 3<»0(C - B)a32a33 - H2r + H3q = 0,
Bq + (A - C)rp - 3w02(A - C)a33a31 - H3p + H1r = 0, (1.2)
СГ + (B - A)pq - 3<l(B - A)a31a32 - H1q + H2p = 0;
p = p + ©2a21, p = у a31 + ó cos ф,
q = q + ©2a22, q = у a32 —ó sin ф, (1.3)
r = r + w2a23, T = у a33 + ф.
В уравнениях (1.2), (1.3) A, B, C — главные центральные моменты инерции гиростата; p, q, r, Hb H2, H- — проекции абсолютной угловой скорости гиростата и постоянные проекции вектора гиростатического момента на оси Ox, Oy, Oz; ю0 — угловая скорость движения центра масс гиростата по круговой орбите; точкой обозначено дифференцирование по времени t. Для уравнений движения (1.2), (1.3) справедлив обобщенный интеграл энергии [4]
- (Ap2 + Bq2 + Cr2) + - ®0[(A - C)a321 + (B - C)a322] +
2 2 _ _ _ (1.4)
+ - ^[(B - A)a2i + (B - Qal-] - Wo(Hi«2i + ^22 + H-^-) = const.
2. Положения равновесия спутника-гиростата. Положив в (1.2) и (1.3) у = у0 = const, О = = const, ф = ф0 = const, а также Ht = Ht/ю0, i = 1, 2, 3, получим при A ф B ф C уравнения
(C - B)(a22a2- - За-2а-з) - H2a2-- + H-a22 = 0,
(A - C)(a2-a2i - -a-a-i) - H-a2- + H^- = 0, (2.1)
(B - A)(a2ia22 - 3a-ia-2) - H^ + H2a2i = 0,
позволяющие определить положения равновесия спутника-гиростата в орбитальной системе координат. В дальнейшем исследовании удобнее использовать эквивалентную систему
4(Aa2ia- + Ba22a-2 + Ca^a--) + (H^-i + H2a-2 + H-a--) = 0,
Aaiia3i + Bai2a-2 + Ca^a^ = 0, (2.2)
(Aana2i + Bana22 + Caua2-) + (Hian + H2au + H-au) = 0,
которая получается проектированием уравнений (2.1) на оси орбитальной системы координат. Систему (2.2) с использованием безразмерных параметров h i = Hj(B - C)(i = i, 2, -), v = (B - A)/(B - C) можно представить в следующем виде:
-4(va2ia-i + a^a^) + (hia-i + h2a-2 + ha-) = 0,
v aiia-i + a13a33 = 0, (2.3)
vaiia2i + ai-a2- - (hiaii + h2ai2 + h-ai-) = 0.
С учетом (1.1) систему (2.2) или (2.3) можно рассматривать как систему трех уравнений с неизвестными у0, &0, ф0. Другой способ замыкания уравнений (2.2) заключается в добавлении шести условий ортогональности направляющих косинусов (1.1)
a2i + a22 + a2- = I, anan + ana22 + = 0,
a2i + a 22 + a2- = i, ana-i + ana-2 + a-a-- = 0, (2.4)
a-2i + 0-2 + a-2- = i, a^a-i + + ^-a-- = 0.
Система уравнений (2.2), (2.4) была решена для некоторых частных случаев. В [6—8] для случая, когда вектор гиростатического момента параллелен одной из главных центральных осей инерции спутника-гиростата (например, h2 Ф 0, hi = h- = 0, A Ф B Ф C), были аналитически определены в зависимости от двух безразмерных параметров задачи все положения равновесия, получены в виде простых неравенств достаточные условия устойчивости этих положений равновесия. Решение задачи для случая, когда вектор гиростатического момента параллелен плоскости любых двух главных центральных осей инерции (например, hi Ф 0, h2 = 0, h- Ф 0, A Ф B Ф C), рассмотрено в [5, 9]. И, наконец, в [10] были исследованы положения равновесия и их устойчивость для случая осесимметричного спутника-гиростата (hi Ф 0, h2 Ф 0, h- Ф 0, A Ф B = C).
Далее будем исследовать положения равновесия спутника-гиростата в общем случае, когда hi Ф 0, h2 Ф 0, h- Ф 0, A Ф B Ф C. Уравнения (2.2) и (2.4) образуют замкнутую алгебраическую систему уравнений относительно девяти направляющих косинусов, определяющих положения равновесия спутника-гиростата. Для этой системы уравнений ставится следующая (прямая) задача: при заданных A, B, C, Hi, H2, H- требуется определить все девять направляющих косинусов, т.е. все положения равновесия спутника-гиростата в орбитальной системе координат.
Как показано в [11], систему уравнений (2.2), (2.4) можно разрешить относительно а11 , «12, #13, «21? а22, а22 при А ф В ф С следующим образом:
ап = -4йз2йзз1 Г, а21 = 4[vа]2 - (1 - v)a^з]aзJГ,
«12 = 4(1 - v)aззaзl
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.