КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2008, том 46, № 1, с. 61-74
УДК 531.391
ДИНАМИКА СПУТНИКА-ГИРОСТАТА С ВЕКТОРОМ ГИРОСТАТИЧЕСКОГО МОМЕНТА В ГЛАВНОЙ ПЛОСКОСТИ ИНЕРЦИИ
© 2008 г. В. А. Сарычев, С. А. Мирер, А. А. Дегтярев
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва Поступила в редакцию 11.04.2006 г.
Исследуется динамика спутника-гиростата, движущегося в центральном ньютоновом силовом поле по круговой орбите. В частном случае, когда вектор гиростатического момента лежит в одной из главных центральных плоскостей инерции спутника, определены все положения равновесия и проанализированы условия их существования. Определены бифуркационные значения безразмерных параметров, при которых изменяется количество положений равновесия. Для каждой равновесной ориентации получены достаточные условия устойчивости в результате анализа обобщенного интеграла энергии. Исследована эволюция областей выполнения достаточных условий устойчивости при изменении безразмерных параметров системы.
PACS: 45.20.dc, 45.40.Cc
1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим задачу о вращательном движении спутника-гиростата (далее спутник или гиростат), представляющего собой твердое тело с расположенными внутри него статически и динамически уравновешенными роторами. Считаем, что угловая скорость вращения роторов относительно корпуса спутника постоянна и центр масс спутника движется по круговой орбите.
Введем две правые декартовы системы координат с началом в центре масс О спутника.
OX1X2X3 - орбитальная система координат. Ось OX3 направлена вдоль радиуса-вектора, соединяющего центры масс Земли и спутника; ось OX1 направлена вдоль вектора линейной скорости центра масс O.
Ox1x2x3 - связанная со спутником система координат; Oxi (i = 1, 2, 3) суть главные центральные оси инерции спутника.
Определим ориентацию системы координат Ox1x2x3 относительно орбитальной системы самолетными углами а, в, у (рис. 1). Тогда направляющие косинусы aij = cos(Xi, xj) задаются выражениями
a11 = cos а cos в, a23 = -cos в siny, a12 = sin а sin у -cos а sin в cos у,
a31 = -sin а cos в, a13 = sin а cos у + cos а sin в sin у, (1)
a32 = cos а sin y + sin а sin в cos у, a21 = sin в, a33 = cos а cos y -sin а sin в siny, a22 = cos в cos у,
а уравнения движения спутника-гиростата относительно его центра масс записываются в виде [1]
2
Ap + (C - B) qr - 3 ю0( C - B) a32a33 -
- h2 r + Нз q = 0,
2
Bq + (A - C)rp - 3ffl0( A - C)a33a31 -
- Нзp + h 1r = 0,
Cr + (B - A)pq -3ffl0(B - A)a31 a32-
- h1 q + h2 p = 0;
(2)
p = (a + ю0 )a21 + Y = p + ffloa21, q = (a + ffl0) a22 + 0 sin y = q + ю0 a22, (3) r = (a + ffl0 )a23 + в cos y = r + ю0 a23.
Здесь A, B, C - главные центральные моменты
инерции гиростата; p, q, r, h¡ (i = 1, 2, 3) - проекции абсолютной угловой скорости гиростата и вектора гиростатического момента на оси Ox; ю0 - угловая скорость движения центра масс гиростата по круговой орбите. Точкой обозначено дифференцирование по времени.
Рис. 1. Орбитальная и связанная системы координат.
2. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ СПУТНИКА-ГИРОСТАТА
В [2] после введения обозначений к /ш0 = к{ получена система уравнений
4 (Аа21 а 31 + Ва22 а 32 + Са23 а 33) + к 1 а 31 + к 2 а 32 +
+ к 3 а 33 = 0, Аа11 а 31+ Ва12 а 32 + Са13 а 33 = 0, Аа11 а 21 + Ва12 а 22 + Са13 а 23 + к 1 а 11 + к 2 а 12 + + к 3 а 13 = 0,
(4)
+ а 22 + а 23 = 1, а ц а 31+ а 12 а 32 + а 13 а 33 = 0,(5)
21
23
2 2 2 Здесь Г = к1а31 + к2а32 + к3а33, 13 = Аа 31 + В а 32 + Са 33,
а направляющие косинусы а31, а32, а33 определяются из трех уравнений
2 2 2 2 2 2 16[(В - С) а32а33 + (С - А) а33а31 +
+ (А - В)2а 131 а232 ] = (к 1 а31 + к2а32 + к3 а33)2,
4(В - С)(С - А)(А - В)а31 а32а33 + [к 1 (В - С) х х а32а33 + к2 (С - А) а33 а31 + к3 (А - В) а31 а32 ] х х( к 1 а 31 + к 2 а 32 + к 3 а 33) = 0,
(7)
222 а 31 + а 32 + а 33 = 1.
32
33
После решения системы (7) формулы (6) позволяют определить оставшиеся шесть направляющих косинусов. Отметим, что решения (6) существуют лишь в том случае, когда из трех направляющих косинусов а31, а32, а33 никакие два одновременно не обращаются в нуль. Случаи а31 = а32 = 0, а32 = а33 = 0, а33 = а31 = 0 являются особыми и их следует рассматривать непосредственно обращаясь к системам (4) и (5).
В предыдущей работе [3] был рассмотрен частный случай, когда вектор гиростатического момента коллинеарен одной из главных центральных осей инерции спутника (к1 = 0, к2 Ф 0, к3 = 0). Далее исследуем более общий случай, когда вектор гиростатического момента параллелен одной из главных центральных плоскостей инерции спутника. Пусть, например, к1 Ф 0, к2 = 0, к3 Ф 0. Тогда система (7) после введения безразмерных параметров
Н1 =
к1
Н3 =
к3
позволяющая определить все положения равновесия гиростата в орбитальной системе координат. При этом а{р как элементы ортогональной матрицы, удовлетворяют условиям
222
а 11 + а 12 + а 13 = 1, а ц а 21 + а 12 а 22 + а 13 а 23 = 0,
С - А
V =
А-В
С-А
(8)
222
а 31 + а 32 + а 33 = 1, а 21 а 31 + а 22 а 32 + а 23 а 33 = 0.
При А Ф В Ф С систему (4), (5) можно разрешить относительно а11, а12, а13, а21, а22, а23. В результате получим [2]
а 11 = 4 (С - В)а32а33/Г,
а12 = 4 (А - С) а33а31/Г,
а 13 = 4 (В - А) а31 а32/Г, (6)
а21 = 4(¡3 - А)азх/Г, а22 = 4(!3 - В)а32/Г,
а23 = 4(¡3- С)а33/Г.
С - А принимает вид
2 2 2 2 2 2 2 2 16[(1+ V) а32а33 + а33а31+ V а31 а32] =
= (Н1 а 31+ Н3 а 33)2, а32{4V( 1 + V)а31 а33 + [Н1 (1 + V)а33- Н3Vа31 ] х (9)
х( Н1 а 31 + Н3 а 33)} = 0,
222 а 31 + а 32 + а 33 = 1.
Заметим, что безразмерный параметр V, являясь по существу инерционным параметром спутника, сам по себе форму его эллипсоида инерции не определяет. Однако можно указать на связь V с безразмерными инерционными параметрами еА = А/В и еС = С/В,
V =
А - В
е а -1
с - а ес - еа
Рис. 2. (а): Н1 = 0.6, Н3 = 0.4; (б): Н1 = 0.31, Н3 = 0.4; (в): Н1 = 0.2, Н3 = 0.4.
При исследовании системы (9) необходимо рассмотреть два случая: а32 Ф 0 и а32 = 0. При а32 Ф 0 имеем
222 22 222 16[(1+ V) а32а33 + а33а31 + V а31 а32] =
= ( Н1а 31+ Н3 а 33)
4v( 1 + V)а31 а33 + [Н1 (1 + V)а33- Н3Vа31 ] х (10)
х( Н1 а 31+ Н3 а 33) = 0,
222 а 31 + а 32 + а 33 = 1
Из второго уравнения системы (10) следует, что если а31 = 0, то и а33 = 0, и наоборот. Существование решения, для которого
а31 = а33 = 0, (11)
исследуем путем анализа исходных уравнений (4), (5). При этом уравнения (4) после перехода к безразмерным параметрам (8) и условия ортогональности (5) сводятся к системе
а 13 а 23 + Н1 а ц + Н3 а 13 = 0,
а 32 = 1, а 12 = 0, а 22 = 0,
а 11 + а 23 = 1, а 11 а 21 + а 13 а 23 = 0,
22 а 21 + а 23 = ^
откуда следует уравнение четвертого порядка относительно х1 = а23
х 4 + 2 Н 3 х 3 + (Н1 + Н2-1) х 1-2 Н 3 х 1- Н 2 = 0. (12)
Каждому действительному корню этого уравнения отвечают два положения равновесия гиростата
а 11 — —х 1 а 32, а 12 — 0, а 13 — а21 а 32, Н1х 1
а21 =
, а22 = 0, а23 = х
21 Н 3 + х / а 31 = 0, а 32 = ± 1, а 33 = 0,
(13)
Если переписать уравнение (12) в виде У(х1) = = g(xl), где
/(х 1) = 1 — х l, g(х 1) =
Н1
(х 1+ Н 3) 2 + Н1
то становится очевидным, что оно может иметь либо 2, либо 4 действительных корня (см. рис. 2, где показан типичный вид функций / и g). Изменение числа корней происходит на поверхности, определяемой условиями
М) = g(Xl), АхО = Разрешая данную систему относительно х1, получим
(14)
н 2/3 + Н 2/3 = 1.
Таким образом, уравнение (12) имеет четыре
„2/3 , „2/3 . „2/3 ,
корня при Н1 + Н 3 < 1 и два корня при Н1 +
2/3
+ Н3 > 1. Следовательно, общее число равновесных ориентаций для случая (11), т.е. число решений группы I, в зависимости от соотношения между безразмерными параметрами Н1 и Н3 может быть 8 или 4.
Теперь рассмотрим систему (10) при а31 Ф 0 и а33 Ф 0. Разделив второе уравнение системы на
а 23 и обозначив х2 = а31/а33, перепишем его в виде
Н1Н 3 V х 2 + [ Н 2 V — Н 2 (1 + V) — 4 v( 1 + V)] 2 — — Н1Н3 (1 + V) = 0. Решение уравнения (15) имеет вид
—[ н2v — н 2 (1 + V) — 4 v( 1 + V)] ± Та
х2 = где
2 Н1Н 3 V
образующие в совокупности группу решений I. КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ том 46 № 1
а = [ н2v — Н? (1+ V) — 4 v( 1+ V)]2 + + 4 Н 2 Н 2 v( 1 + V).
(15)
(16)
2008
Тогда становится очевидным, что А > О при Г Н1( 1+ V) > -(Н ъ + 24\+V )2 V, IН 1( 1 + V) > -(Нъ-2.Л+ч)2V;
Н(1 + V) < -(Н3+2^1+ V)2V, Н1 (1 + V) <-(Н3-2^1 + V)2V.
либо
На рис. 3 соответствующие области в плоскости (Н3, Нх) заштрихованы.
Теперь перейдем к анализу условий > 0,
а33 > 0. С учетом (18) и соотношения
1 + V) х2
( Н1Х2 + Н3 ) = -
Рис. 3. Области выполнения условий (19) (Н* = , Н* = 241 + V ).
Первое и третье уравнения системы (10) при подстановке в них а31 = х2а33 приводят к системе
( Н1Х2 + Н3 )2 а32[(1 + V) + V Х2] + Х2а33 = -
Н1 (1 + V) - Н3 V х2
справедливого в силу второго уравнения (10), эти условия принимают вид
16[( 1+ V)3 + V2х2] - (Н1х2 + Н3)2 > 0,
V3( 1+ V)3( 1+ х2) - [Н1 (1+ V) - Н3Vх2]2 > 0,
или
22 а0х2 + а1 х2 + а2 > 0, Ь0х2 + Ь1х2 + Ь2 > 0, (20)
где
16
ак 1+ х2 ) + а^ = 1,
а0 = Ш - Н1, Ь0 = V [(1+ V) -Н3], а1 = -2 Н1Н3, Ь1 = 2Н1Н3 v( 1+ V),
а2 = 16( 1+ V)2-Н23; Ь2 = (1+ v)3(v3-Н1).
разрешая которую относительно а\2 и а\3, получим Введем также следующие обозначения к°эффи-
2 _ ( Н1Х2 + Н3 ) ( 1+ х1) -16 х\
а32 = 2-2 ,
16 [( 1 + V) + Vх2]
2 16[(1+ V)2 + V2х2] - (Н1 х2 + Н3)2
а33 =
(18)
16 [( 1 + V) + VХ2]2
циентов уравнения (15):
с0 = Н1Н3 V,
с1 = Н3V -Н21( 1+ V)1+ V), С2 = - Н1Н 3( 1+ V). Тогда, подставляя
-С1 ± ^с\-4 С0 С2
Для того, чтобы найденное решение отвечало положению равновесия спутника-гиростата, очевидно, должны выполняться условия А > 0, а32 > 0,
а323 > 0.
Проанализируем знак детерминанта. Ясно, что А > 0, если v(1 + V) > 0, т.е. при V < -1, либо при V > 0. Для того, чтобы определить знак А на интервале -1 < V < 0, запишем его в виде
А = [ Н 2( 1+ V) + (Н3 + 24\+\ )2 V] х х [ Н1 (1+ V) + (Н3-24\+\ )2 V].
Х2
2 сп
(21)
в неравенства (20), получим
(-С1 ± ^с1-4с0с .)(а1С0- а0С1) + + 2сд(а2С0- а0С2) > 0,
(-С1 ± л]с21 -4с0С2)(Ь1С0-Ь0С1) + + 2С0(Ь2с0- Ьс) > 0. Таким образом, решения системы (10) п
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.