ИЗВЕСТИЯ РАН. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ, 2014, том 78, № 1, с. 13-17
УДК 530.145;621.382
ДИНАМИКА СЦЕПЛЕННОСТИ В КВАНТОВЫХ ОПЕРАЦИЯХ НА СВЕРХПРОВОДНИКОВЫХ ФАЗОВЫХ КУБИТАХ
© 2014 г. Ю. И. Богданов1,2,3, Б. И. Бантыш1,2, В. Ф. Лукичёв1, А. А. Орликовский1, А. С. Холево45
E-mail: bogdanov@ftian.ru
Представлен анализ процессов возникновения, поддержания и разрушения сцепленности в квантовых операциях, имеющих важное значение для реализации полномасштабных квантовых компьютеров. Рассмотрено приложение развитого подхода к сверхпроводниковым фазовым кубитам.
DOI: 10.7868/S0367676514010062
ВВЕДЕНИЕ
Одно из наиболее узких мест в развитии квантовых информационных технологий связано с отсутствием должной методологии контроля квантовых состояний и процессов. Такая, основанная на квантовых измерениях, методология призвана обеспечить интерфейс между разработкой элементной базы квантовых компьютеров и ее практическим воплощением. С математической точки зрения, в основе такой методологии лежит количественная статистическая теория квантовых операций и измерений, основанная на использовании вероятностных операторно-значных мер (разложений единицы) и вполне положительных отображений операторных алгебр в гильбертовом пространстве [1, 2]. С технологической точки зрения, на базе рассматриваемой математической теории должны быть разработаны методы, алгоритмы и компьютерные программы, которые были бы способны обеспечить адекватную и полную оценку качества и эффективности конкретных квантовых информационных систем [3, 4].
Роль ключевого ресурса в квантовых информационных технологиях играет так называемая сцеп-ленность квантовых состояний (английский термин entanglement, который также переводится как
1 Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Физико-технологический институт Российской академии наук, Москва
2 Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский университет "МИЭТ", Москва.
3 Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", Москва.
4 Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт имени В.А. Стеклова Российской академии наук, Москва.
5 Международный центр квантовой оптики и квантовых технологий, Москва.
запутанность) [1]. Явление квантовой сцепленно-сти приводит к тому, что квантовое состояние многокубитовой системы не сводится к описанию состояний отдельных кубитов, ее составляющих. Входя в состав квантового регистра, отдельный кубит как бы теряет свою индивидуальность, становясь частью единого целого. Состояние системы, образованной двумя подсистемами, называется несцепленным, если оно может быть представлено в виде тензорного произведения векторов состояний отдельных кубитов. В противном случае состояние называется сцепленным.
Важное научное и практическое значение имеет задача анализа возникновения, поддержания и разрушения сцепленности при реализации квантовых операций с учетом влияния квантовых шумов. Физическая природа квантовых шумов обусловлена неизбежным воздействием окружения на изучаемую систему. В рамках настоящего исследования такая задача рассмотрена в приложении к квантовым системам на сверхпроводниковых фазовых ку-битах. В этих приборах основными источниками шума являются элементы электрической цепи и прежде всего источники тока, необходимые для формирования двухуровневой системы на основе джозефсоновского перехода, а также другие элементы, такие как конденсаторы, катушки индуктивности и соединительные провода, необходимые для реализации взаимодействия между кубитами [5].
СОСТОЯНИЕ ЧОЯ-ЯМИЛКОВСКОГО
И СЦЕПЛЕННОСТЬ В КВАНТОВЫХ ОПЕРАЦИЯХ
Состояния Чоя—Ямилковского (Choi—Jami-olkowski) играют важную роль в описании квантовых операций [1]. Пусть рассматриваемое квантовое преобразование E действует на систему A размерности s. Добавим вспомогательную систему (анциллу) B такой же размерности и рассмотрим совместную систему AB размерности s2. На вход
14
БОГДАНОВ и др.
системы АВ подадим максимально сцепленное состояние, описываемое следующим вектором состояния:
s
|ф> = 4= SI j ®l J).
(1)
Здесь первый множитель в тензорном произведении относится к подсистеме В, а второй — к подсистеме А. Пусть в подсистеме В осуществляется тождественное преобразование I. Тогда в системе АВ будет действовать преобразование I ® Е.
Оказывается, если на вход такой системы подается матрица плотности | Ф) (Ф |, то на выходе автоматически возникает состояние Чоя—Ямилков-ского, т.е.
(I ® Е)(| Ф)(Ф |) = р„, (2)
где рс/ — матрица плотности для состояния Чоя— Ямилковского.
Состояние Чоя—Ямилковского содержит в себе полную информацию о соответствующей квантовой операции. Можно надеяться, что исследование характеристик сцепленности состояния Чоя— Ямилковского способно дать важную информацию, связанную с возникновением, поддержанием и разрушением сцепленности в квантовых операциях.
Рассмотрим для определенности двухкубито-вую квантовую операцию, которая описывается четырехкубитовой матрицей плотности Чоя— Ямилковского рс/. Будем считать, что кубиты № 1, 2 образуют вспомогательную систему, а кубиты № 3, 4 задают изучаемую физическую систему. Рассмотрим два различных способа разбиения данной системы на две подсистемы.
При первом способе кубиты № 1, 2 образуют подсистему А, а кубиты № 3, 4 — подсистему В. В этом случае рассматриваемые подсистемы изначально находятся в максимально сцепленном чистом состоянии | ф) (1). Процесс декогерентизации подсистемы В под действием квантовых шумов приводит к постепенному разрушению сцепленно-сти между подсистемами (иначе говоря, канал характеризуется частичной или полной потерей сцеп-ленности). В квантовых информационных технологиях особый интерес представляют ситуации, когда подсистемы А и В пространственно разделены. В этом случае сцепленность между удаленными подсистемами позволяет решать такие специфические задачи, как телепортация квантовых состояний, сверхплотное кодирование, реализация определенных протоколов квантовой криптографии и т.п.
При втором способе разбиения одна из подсистем А образована кубитами № 1, 3, вторая подсистема В — кубитами № 2, 4. Здесь подсистемы изначально являются несцепленными друг с другом. В этом случае подобное исследование описывает
важное свойство двух- и многокубитовых вентилей, характеризующее их способность производить ресурс сцепленности и поддерживать его в условиях действия квантовых шумов. Возникающую в процессе эволюции сцепленность подсистем A и B можно рассматривать как квантовую корреляцию двух каналов, связанных с соответствующими физическими кубитами.
В качестве инструмента для оценки сцепленности подсистем будем использовать характеристику, называемую негативностью (negativity). Негативность — это мера сцепленности, которую легко посчитать. Негативность равна абсолютному значению суммы всех отрицательных собственных значений матрицы плотности, получаемой в результате операции частичного транспонирования (partial transpose). Расчет негативности осуществляется по формуле
Negativity = 1
S V Р\ - S *
V J
(3)
где X Р — собственные значения частично транспонированной матрицы плотности Чоя—Ямилковского рс/. Получение такой матрицы основано на преобразовании ТА ® 1В, которое транспонирует подсистему А и оставляет неизменной подсистему В. Такое преобразование не является физическим и может приводить к отрицательным собственным значениям частично транспонированной матрицы, но только в том случае, если подсистемы А и В сцеплены друг с другом. Таким образом, наличие отрицательных собственных значений у частично транспонированный матрицы плотности Чоя—Ямилковского рс/ является достаточным условием сцепленности подсистем [1]. Заметим, что если система АВ имеет размерность 2 х 2, 2 х 3 или 3 х 2, то рассматриваемое условие является и необходимым критерием сцепленности (так называемый критерий Переса—Городецких (Peres—Horodeckis)).
В соответствии с формулой (3) для вычисления негативности необходимо измерить матрицу плотности состояния Чоя—Ямилковского. Такое измерение может быть обеспечено методами квантовой томографии [6, 7].
РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Рассмотрим вначале результаты моделирования для разбиения первого типа. Если система размерности 8 подвергается действию так называемого шума деполяризации, то исходное состояние с вероятностью р заменяется на совершенно хаотичное:
Р ^ Р- + (1 - Р)Р,
s
где I — единичная матрица размерности s.
Рисунок 1а иллюстрирует разрушение сцепленности первоначально максимально сцепленного состояния под действием деполяризующего квантового шума для размерностей гильбертова пространства от s = 2 до s = 10. Заметим, что негативность на рис. 1а падает линейно от максимального значения (при отсутствии шума) до нуля при некотором критическом значении вероятности шума pc. Значение критической вероятности
Негативность
Pc =
s + 1
(5)
Отметим, что указанное значение рс можно найти также из теоретических соображений [2, 8].
Другим рассматриваемыми видами квантовых шумов являются процессы амплитудной и фазовой релаксации, которые задаются при помощи параметров Т1 и Т2. Одновременное действие этих процессов приводит к следующей эволюции матрицы плотности:
'а Ь Ь
V Ь* 1 - а)
с с
1 - (1 - a) exp
--I bexp
Л
b* exp
_t_
~T2
(1 - a) exp
(6)
Везде ниже времена T1 и T2, используемые при моделировании, выражены в относительных единицах (за единицу принимается среднее время выполнения базовых квантовых операций на фазовых куби-тах). В наших примерах мы использовали параметры, которые приблизительно соответствуют уровню, достигнутому в экспериментах [9].
Рисунок 1б иллюстрирует разрушение сцеп-ленности под действием амплитудной и фазовой релаксации для однокубитовых и двухкубитовых квантовых операций (s = 2 и s = 4 ) с параметрами T = 5, T = 3.
Заметим, что при разбиении первого типа значение негативности не зависит от того, однокуби-товые, двухкубитовые, или мног
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.