ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 5, с. 171-176
РОБОТОТЕХНИКА
УДК 531.82.
ДИНАМИКА, УПРАВЛЕНИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ РОБОТОВ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ ПРИВОДОМ*
© 2007 г. В. В. Евграфов, В. В. Павловский, В. Е. Павловский
Москва, ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, МГУ Поступила в редакцию 19.03.07 г.
Исследуются задачи синтеза траекторий, планирования и реализации движения мобильного робота. Постановка задачи определена необходимостью построения оптимального управления роботами с двумя независимо управляемыми колесами. Мобильные роботы с такой кинематической схемой называются роботами "с дифференциальным приводом".
Введение. Работа выполнена в рамках проекта по созданию методов управления группой роботов, решающих задачи, которые требуют их коллективного участия. В качестве примера рассматривается участие роботов в соревнованиях. Объединяются ранее выполненные исследования, включающие аналитическое решение и поиск решения задач синтеза траекторий, планирования и реализации движения мобильного робота. Постановка задачи определена необходимостью построения квазиоптимального управления роботами с двумя независимо управляемыми колесами и одним (возможно, двумя) пассивным колесом. Цель исследования - реализация динамически гладких движений колесных роботов, в частности роботов-футболистов. Актуальность и приложения рассмотренных задач обусловлены эффективностью данной кинематической схемы.
1. Постановка задачи. Управление колесным роботом. Описывается робот "с дифференциальным приводом" - с двумя независимыми активными колесами, оси которых лежат на одной прямой. Задача управления одним таким мобильным колесным роботом была изложена ранее в [1, 2]. Движение аналогичного колесного робота рассмотрено в [3]. Исследование движения цепочки подобных роботов приведено в [4-6]. В данной работе предлагается для гладкого управления роботом ввести дополнительные траектории, которые получены и исследованы аналитически, а также проверены с помощью компьютерного механического моделирования.
Система состоит из двух независимых соосных колес, управляемых электродвигателями, и жесткого корпуса, который движется плоскопараллельно. Робот установлен на горизонтальной абсолютно шероховатой плоскости. При условии плоскопараллельного движения корпуса положение системы описывается пятью лагранжевыми
координатами (х,у, 0, <р1, <д2). Центр масс корпуса объекта расположен в точке С (см. рис. 1). Длина полуоси равна а, радиус колеса - г.
Начальное состояние системы определяется
набором (х0, у0, 0О, <р?, <2), конечное - (х1, у1, 01). Пусть во время движения робота координаты (х, у, 0) вместе с угловыми скоростями вращения колес непрерывны и выполнено |<р\ < <ртах. Необходимо перевести робот из начального состояния в конечное. Пример ситуации - перемещение робота в заданную точку с фиксированной конечной ориентацией. Система имеет две степени свободы. В качестве независимых координат выбираются (<1, 0). Уравнения движения системы записываются по схеме Чаплыгина [2], уравнения связей имеют вид
х = (а 0 + г <<1) со8 (0),
у = (а0 + г <<1) 8Ш (0),
• , 2 а д <2 = <1 +— 0.
(1.1)
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант < 07-01-00065).
Рис. 1. Модель робота.
У
0
х
172
ЕВГРАФОВ и др.
Рассмотрение непрерывных по скоростям фь ф2 склеек окружности и прямой при помощи спиральной кривой исследовано в [2]. Разрыв фь ф2 означает неопределенность в управляющих напряжениях. В общем случае разрыв скоростей возникает на переходе с кривой на кривую, на котором происходит скачок функции ориентированной кривизны кривой
0 _ Г(<2- <<1 )
к о —
2 av
j— -1 -о -1
F = (р2 - (р2 - (р1
П = 0о-
• 0 ^+ .1 .0.1 .0 (р1, F = (р2- (р2 + (р1- (р1,
г, ■ 0 • 0Ч2
rT((2- (Р1)
4 aF
.1.0 .1.0,
2narT(((2((1 - ((1 ((2)
а' =
F F
а1 = а 'cos (п), а2 = а 'sin (n) sgn( F),
ß1 =
F
2 п aT
t + sgn (F)
rT 0 0 1 ((P2- (P1),
2 na Fl
ß2 = sgn (F)
rT 0 0 I ( Ф2 (p1 ) .
2 laF"
Формулы (1.2) зависят от интервала времени переходной кривой (Т), геометрических парамет-
ров модели. Для удовлетворения конечных условий при движении по спиральной кривой подставим в уравнения системы (1.2) соотношение t = Т
0(T) = 2004
0
(Р2
((1 + ((1
T + 00
1
(Р2
0
"(р2
(Р1
0
(Р1 ■
^ А0.
rT
(1.3)
(i + <2
где V = r —2--линеиная скорость корпуса робота. Для исключения разрыва (i, <р2 вводится дополнительный режим движения, угловые скорости колес меняются линеИно. Это определяет "склеивающую" кривую на плоскости (x,y). В [1, 2] приведены примеры подобных траектории.
При подстановке линеИного закона изменения <(1, (2 в уравнения связеИ (1.1) в координатах (x, y) получается
F+
x (t) = x0 + a—(sin (0O) -sin (0)) +
F
+ ai(C(Pi) - С(в2)) - a2(S(Pi) - S(P2)),
F+ (1.2) y (t) = Уо + a—(cos (0) -cos (0o)) + sgn (F) xv
F
x(ai(S(Pi) - S(P2)) + a2(C(Pi) - C(P2))),
0 = 0(t) = (rF/4aT)t2 + (r/2a)((2- <p?)t + 0O,
где a, F-, F+, 0O, ax, a2, P2 - константы, px - известная функция времени, C(x) и S(x) - интегралы Френеля (см. [2])
Согласно (1.3), для начальных угловых скоростей определяется зависимость между конечными угловыми скоростями, при которой конечная ориентация робота совпадет с заданной. Подставим (1.3) и t = Т в первые два уравнения системы (1.2). Уравнения не меняют свой вид. Меняются только коэффициенты
0( T) = 01, ß1 =
rT
2 п aF
• о -о
(Р1 - (Р2
>
ß2 =
rT 0 0 : ((2-(р1),
2 п aF
а'
1 Л . 1 . 0, , . 0 • 0, = — l((P1+ (pi )((pl- (р2)
F
П = 00-
4a0
■-T (1А0
2п arT
F
(1.4)
TV • 0 • 0ч2
-T((2- ((1 )
а1 = а 'cos (п),
4aF
а2 = а 'sin (n)sgn (F). Если начальные угловые скорости равны между собой ((? = ((2, то выражения (1.2) преобразуются к следующему виду:
х (T,(1) = Х0-B1+ B3 T - B2 (1t + A1T,
y( T,(1) = У0-B4 + B6T - B5(1 T + A2T.
Формула (1.5) описывает множество конечных точек для спиралей с одинаковыми начальными угловыми скоростями и фиксированной конечной ориентацией корпуса.
Пример. Начальные условия: х = 0,y = 0, 0О = 0,
ф° = 20, (2 = 20, конечный угол ориентации корпуса 0х = 3п/4. Построим графики двух множеств
значений переменных из (1.5): {(h = {фтах, (min }; Tе [0, TmJ}, {T = {5, 10, 15, 20}; (1 е [ (min, (max ]}. Получившиеся прямые (рис. 2 слева) ограничивают область, в которую попадет рассматриваемая система при заданных ограничениях на угловые скорости и промежутки времени - область достижимости. Выберем точку (х, y) = (8, 4) из области достижимости (рис. 2 слева). Подставим ее в
уравнения (1.5), тогда T = 12.81567785, (h = = 2.593924371. Введение этих значений в (1.2)
ДИНАМИКА, УПРАВЛЕНИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ РОБОТОВ
173
Рис. 2. Области достижимости. Спираль в точку (8, 4), конечный угол 3п/4. Спираль в точку (7, -3) с конечным углом ориентации 3п/4.
определяет график, приведенный на рис. 2 слева. Тем самым найдены значения параметров, при которых система попадает из начального положения в конечную точку с заданной ориентацией корпуса.
Аналогичные построения проводятся для уравнений, содержащих интегралы Френеля (начальные угловые скорости не равны), соответственно первых двух уравнений системы (1.2) с коэффициентами (1.4). Пример приведен на рис. 2 справа. Разрешаемая система состоит из двух уравнений, по одной из переменных наблюдается линейная зависимость, конечная точка выбирается из области достижимости, в которой существует решение этой системы, известны границы области изменения параметров, в которой ищется решение - эти утверждения являются обоснованием применения численных методов решения. Попадание в заданную точку с заданной ориентацией корпуса, полученное выше, позволяет строить переходы с кривой на кривую, а значит - составные траектории движения системы.
2. Моделирование движения робота. На основе теоретических исследований, представленных в работе, проводится моделирование движения робота с дифференциальным приводом. Данный раздел позволяет сравнить движения, построенные исходя из теоретических расчетов, с модельным движением робота на твердых колесах. Размерные и массовые характеристики выбираются близкими к реально существующему аппарату. Таким образом, есть возможность сравнить впоследствии результаты с реальным движением. Такой подход к изучению движения позволяет сопоставить расчеты и результаты на разных уровнях абстрагирования постановки задачи.
Рассмотрим общий план проведения экспериментов: проводится теоретический расчет желаемой траектории и необходимого управления; най-
денные законы управления подставляются в компьютерную модель робота и осуществляется моделирование; сравниваются траектории движения центра оси робота и угловые скорости вращения колес с теоретическими значениями. Компьютерная модель строится в программном комплексе "Универсальный механизм" [6] (рис. 3 слева), который представляет собой мощное средство для составления механической системы, автоматического синтеза ее уравнений движения, а также их интегрирования и выведения результатов на экран.
Размеры робота и массовые характеристики: диаметр платформы 0.36 м, диаметр колеса 0.08 м, база робота 0.26 м, масса корпуса 6 кг, масса колеса 0.056 кг. Начальные условия: точка (0, 0), угловые скорости колес 10 рад/с, ориентация корпуса -п/2 от положительного направления оси Ох. Для компьютерной модели робота сначала проводится моделирование разгона до необходимой скорости по прямой (оси Оу), а затем реализация закона управления. При обработке данных учитывается отрезок разгона.
В соответствии с приведенной выше теорией для данных начальных условий строится область достижимости. В этой области использована для примера точка с координатами (1.3, -2). Конечная ориентация корпуса выбрана равной п/8. В результате подстановки этих данных в уравнения (1.5) (также можно использовать (1.2)) получено следующее решение:
Т = 8.157 с, <<1 = 5.694545057 рад/с,
<<2 = 8.823910926 рад/с.
После вычисления конечных значений угловых скоростей колес и времени движения по траектории становится известен линейный закон изме-
Рис. 3. Компьютерная модель робота. Спиральная кривая - траектория движения.
нения угловых скоростей колес, котор
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.