научная статья по теме ДИНАМИКА ВРАЩАЮЩЕГОСЯ СОЛНЕЧНОГО ПАРУСА В ПРОЦЕССЕ ЕГО РАСКРЫТИЯ Математика

Текст научной статьи на тему «ДИНАМИКА ВРАЩАЮЩЕГОСЯ СОЛНЕЧНОГО ПАРУСА В ПРОЦЕССЕ ЕГО РАСКРЫТИЯ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 79. Вып. 1, 2015

УДК 531.391.5

© 2015 г. А. В. Зыков,

В. П. Легостаев

, А. В. Субботин,

А. В. Сумароков, С. Н. Тимаков

ДИНАМИКА ВРАЩАЮЩЕГОСЯ СОЛНЕЧНОГО ПАРУСА В ПРОЦЕССЕ ЕГО РАСКРЫТИЯ

Рассматривается модель выпуска полотна солнечного паруса, в рамках которой парус, раскрываемый из уложенного состояния, представляется в виде четырех выпускаемых тросов. На начальном этапе развертывания солнечного паруса при учете центральной симметрии конструкционного расположения катушек с тросами моделируется выпуск одного из тросов в предположении, что все остальные тросы выпускаются синхронно и система управления выпуском обеспечивает динамическую симметрию процесса. Приведено дифференциальное уравнение малых поперечных колебаний в плоскости вращения точечной массы на невесомом тросе в процессе выпуска из вращающегося центрального блока. Получено аналитическое решение линеаризованного уравнения выпуска точечной массы, выраженное через функции Бесселя при равномерном выпуске и через гипергеометрические функции при равномерно замедленном выпуске. Численное моделирование, проведенное для двух случаев: когда трос представлен в виде совокупности материальных точек, последовательно соединенных невесомыми нерастяжимыми нитями, и в виде невесомой нерастяжимой нити с весомым грузом на свободном конце, подтверждает полученные аналитические результаты.

Ранее были найдены собственные формы вращающегося солнечного паруса в развернутом состоянии [1], разработана модель и исследована динамика его управляемого углового движения [2]. Имеется обзор технических решений конструирования космических платформ с центробежными бескаркасными крупногабаритными конструкциями [3], а также описание кинематической схемы эксперимента по выпуску полотна солнечного паруса [4]. Ниже предлагается математическое обоснование динамики процесса его раскрытия.

1. Режим развертывания вращающегося солнечного паруса. На начальном этапе развертывания солнечного паруса из вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг продольной оси цилиндрического контейнера, содержащего компактно уложенную полиамидную пленку (материал полотнища паруса), выпускаются на тросах точечные массы. В уложенном состоянии паруса тросы намотаны на катушки, которые равномерно распределены по ободу центрального цилиндра симметрично относительно оси вращения. По мере вытягивания тросов центробежными силами выпускается и расправляется связанное с тросами полотнище солнечного паруса. Количество синхронно вытягиваемых тросов с грузами на концах варьируется в зависимости от выбранной для конкретного аппарата кинематической схемы от четырех на японском аппарате "IKAROS" [4] до восьми в эксперименте "Знамя-2" [3].

Для описания режима раскрытия солнечного паруса на начальном этапе с учетом центральной симметрии расположения катушек с тросами достаточно рассмотреть динамику выпуска одного троса с точечной массой на конце в предположении, что все остальные тросы выпускаются синхронно и система управления выпуском обеспечивает динамическую симметрию процесса.

Фиг. 1

Рассмотрим уравнение движения точечной массы m, выпускаемой на невесомом тросе из вращающегося цилиндрического контейнера радиуса а. Введем систему координат Oxyz, вращающуюся вместе с контейнером. Ось х проходит из центра вращения через точку выпуска троса на ободе цилиндра, ось z совпадает с осью вращения цилиндра, ось у дополняет систему координат до правой тройки. Обозначим через а угол между тросом и осью х и через в — угол между радиус-вектором материальной точки и той же осью х (фиг. 1).

Предполагая, что движение вытягиваемой массы происходит только в плоскости вращения, положим составляющую силы натяжения троса Т по оси z равной нулю. Составляющие по осям х и у будут соответственно — Teosa и — Tsinа. Далее рассматриваем случай постоянной скорости V выпуска троса при постоянной величине скорости вращения контейнера Q. Используя геометрические соотношения между переменными и учитывая малость углов a и в, систему уравнений движения точечной массы m в плоскости вращения запишем в виде

x - 2 Qy - Q2x = - T/ m, y + 2 QX - Q 2y = - Ta / m (1.1)

При V = const имеем

_ У а _ У

х = 0, х = а + VI, а = —, В =

VI У а + VI

откуда получаем уравнение относительно переменной у

у + 2 П( П)уу + П2 а (VI)-1 у = - 2 П V

Поскольку нелинейное слагаемое К0-1уУ имеет второй порядок малости (при учете нулевых начальных условий), линеаризованное уравнение малых колебаний точечной массы, находящейся на конце невесомого троса, имеет вид

y + xfly = -20 V, X = OjO/Y (1.2)

Погрешность пренебрежения нелинейным членом оценивается в разд. 5 путем сравнения численного расчета, проведенного при учете всех нелинейных слагаемых, с полученным ниже аналитическим решением линеаризованного уравнения.

Уравнение (1.2) совпадает с линеаризованным уравнением, полученным А. Ю. Ишлин-ским при описании движения грузика, связанного нитью с точкой, перемещающейся по кругу, но при постоянной длине нити [5]. Путем замены

y = w - 2V2 (О a ft (1.3)

оно сводится к частному случаю уравнения Ломмеля, общее решение которого известно [6], и в рассматриваемом случае получаем

y = Jt[c'i Jx(2xJ■) + C2Y(2xJ')] + ys, C2 = const (1.4)

где

ys = -2 V2 t/(0a) (1.5)

Jx(z) и Y:(z) — функции Бесселя первого и второго рода первого порядка. Начальные условия имеют вид

y (0) = 0, y( 0) = 0 (1.6)

откуда находим c = 2 V2 (Q%a)-1 и c2 = 0.

Таким образом, получаем аналитическое решение задачи Коши (1.2), (1.6)

y = 2 V2(02 a )l4Vt/ajl( 2 Ojat/V) + ys (1.7)

При достижении конечной длины выпускаемого троса l = R — a, где R — максимальная длина радиуса вращения точечной массы, поперечная составляющая силы Корио-лиса становится равной нулю, и начинаются колебания груза на конце троса, которые описываются уравнением гармонического осциллятора

yR + K2yR = 0, к2 = 02a/l (1.8)

с начальными условиями, определяемыми конечными данными для уравнения (1.2):

ц v^ ( 2 ^^ i_) VVl

yR0 = 2--J11 —Jal) - 2 —

Va02a V V ) Oa

a (1.9)

■ /-j V y (2 O r) , V2 37 R0 = 2 0aJ0 V-y4*1) - 2 Oa

Решение задачи Коши (1.8), (1.9) имеет вид

yR = cos(к(t- l/V))yR0 + к 1 sin(к(t- l/V))y_

R0

Графическая иллюстрация "сшитых" решений уравнения выпуска и уравнения гармонических колебаний при

V = 0.01 м/с, а = 1 м, О = 1/2 рад/с, I = Я - а = 5 м (1.10)

Фиг. 2

представлена на фиг. 2 сплошными кривыми. На врезке изображен график отклонения Ду = у — ys решения от квазистационарного решения ys (1.5) в первые пять секунд выпуска.

Аналогично случаю равномерного выпуска троса получается решение системы (1.1) для равномерно замедленного выпуска.

Из системы (1.1) при x = — А, где А — постоянная величина ускорения, после замены переменной т = At/(2V), где V — начальная скорость выпуска троса, получим уравнение

d2y , k{y 7 { 0 ч 7 0Q2a , 0 7 0V3Q /1 11Ч

—2 + —-- = k 2 (1 - 2 т); k i = 2--- + 2, k 2 = - 8—— (1.11)

dT т( 1 - т) ^ ^

Соответствующее однородное уравнение — частный случай гипергеометрического уравнения. Введя для наглядности обозначение

Gn(ki, т) = F( 1/2 + n + J1/4 + ki, 1/2 + n - Ti/4 + k, 2 + n, т)

где в правой части стоит гипергеометрическая функция, его общее решение запишем следующим образом ([7], формула 2.260 (б)):

y = CtG0(k 1? т), C = const

Второе линейно независимое решение имеет в нуле неограниченную производную, поэтому должно быть отброшено как не имеющее физического смысла. Частное решение уравнения (1.11) ищем в виде

Ур = т( 1 - т)( ех + С2 т)

После подстановки в уравнение (1.11) находим

с1 = к2/(к1 - 6), с2 = -2к2/(к1 - 6) при к1 Ф 6

При к = 6 частное решение не приводится ввиду его громоздкости.

В итоге, определив постоянную С из второго начального условия (1.6), получаем решение уравнения (1.11). Возвратившись к переменной ?, запишем его в виде

У =

2

О2а - 2А

Оо I къ

А

2 У

-11 -

А1

2 У

1 -

А V

(1.12)

При А ^ 0 это решение переходит в решение (1.7).

При достижении конечной длины троса I = Я — а при ^=У/А дальнейшее поведение точечной массы описывается следующим образом:

Уя = ео8 (к(г - г$))у(г$) + к 1 зш(к(г - г$))у(г$)

где

У ( $)

У ($) =

2 У О

А(О2а - 2А) 2 У2О

Со(к1, 2)

О2а - 2А

Оо (к1

- к О11кь 1) + 1 4 1 ( 2/ 2.

Полученное решение при значениях определяющих параметров (1.10), I = Я — а = 2.5 м и А = 2 ■ 10-5 м/с2 иллюстрируется штриховой кривой на фиг. 2. Отклонение Ау = у — ур решения от частного решения ур, определяемого формулой (1.12) при О0 = 0, в первые пять секунд выпуска показано на врезке кривой, которая в масштабе фигуры сливается с кривой для случая равномерного выпуска.

2. Стационарная форма троса в квазистатической постановке задачи. Из предыдущего раздела видна роль силы Кориолиса: в результате ее действия при постоянной скорости выпуска возникает равновесное положение троса, около которого происходят колебания троса вследствие придаваемых в процессе выпуска возмущений (это отражается, например, в способе задания начальных условий). Получим общий вид квазистационарной формы троса при постоянной скорости выпуска V и постоянной скорости вращения О для весомого троса.

Уравнение поперечных колебаний вращающегося с постоянной угловой скоростью О троса с внутренним радиусом а и внешним Я при силе натяжения троса Т(х) берем в виде

рди = д(Т(х)ди\ + ро2 и- 2рОу, а < х < Я

дг дх ( д х \

т(х) = |ро2 % ^ = еО (Я2 - х2)

(2.1)

Я

х

Здесь р — плотность массы, распределенной по длине троса, U(t, x) — поперечное отклонение троса в плоскости вращения, pQ2U — центробежная составляющая, 2pQF— поперечная компонента силы Кориолиса, действующей на трос.

Для нахождения квазистационарной формы троса ищем U(t, x) в виде функции U(x), зависящей только от х, с краевыми условиями на левом конце х = а первого рода (закрепленный конец) и на правом конце x = R второго рода (свободный конец).

Сделав замену переменной х = R, перейдем к уравнению

|(( 1 - + ^ U = f (2.2)

Соответствующее однородное уравнение представляет собой уравнение Лежандра, и его решение — функция Лежандра первого рода: U = = Функция Лежандра вто

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»