МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <5 • 2008
УДК 531.383
© 2008 г. Л.И. МОГИЛЕВИЧ
ДИНАМИКА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СДАВЛИВАЕМОГО СЛОЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С УПРУГОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНОЙ
Исследуется гидродинамическая реакция тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости, сдавливаемого непроницаемыми стенками. Рассматривается распределение давления и силовых динамических характеристик слоя жидкости при вынужденных течениях вдоль зазора между вибратором (представляющим собой твердую плоскость), совершающим гармонические колебания, и статором (представляющим собой упругую трехслойную пластину со свободным опиранием). Учитываются силы инерции движения вязкой жидкости и упругие свойства статора. Найдены амплитудная и фазовая частотные характеристики упругой трехслойной пластины из решения плоской задачи.
1. Рассматривается сдавливание тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости плоскостями (фигура). Абсолютно твердая стенка I (вибратор) совершает гармонические колебания (с частотой ю) в вертикальном направлении относительно стенки II (статора), представляющей собой трехслойную упругую пластинку с толщинами к1 и к2 упругих слоев 1 и 2 соответственно и 2с сжимаемого заполнителя 3, со свободным опиранием. Длина вибратора I и статора II равна 21, что значительно меньше их ширины Ь > 21. В направлении оси у эти плоскости можно считать неограниченными и все производные по у значительно меньшими производных по х. Система координат (х, у, ¿) связывается со срединной плоскостью заполнителя. Ширина зазора к между статором и вибратором значительно меньше их длины 21 > к. Закон движения вибратора имеет вид
z = h (t) = к0 + zmf (ю t), f (mí) = sin (mí )
(1.1)
где к0 - среднее значение к; 1т - амплитуда колебаний стенки I в вертикальном направлении; ю - частота колебаний стенки I; Г - время; /(Ш) - закон движения.
Между статором II и вибратором I находится вязкая несжимаемая жидкость (ее истечение в направлении оси у отсутствует), динамика которой в двумерном случае описывается системой уравнений Навье-Стокса и неразрывности [1] в безразмерных переменных:
Re
rdU* /
"U+Ч U *
dU¡ d*
* dU
* + U—* 1
КЛ
dP 2
-э* + y
Э2 U*
d2 U *
d*2 dz2
(1.2)
y2 Re
rdU z "Эг"
„ ( dUz duz
+ 4.U* üi + Uz—
д Z Á
dP 2 dp + У
2 dU z d Uz
y —2" + —2"
d*2 dz2
dU* dUz
-* + -2 = O
d* + dC n
0 ^ -t л ^ m
y = J < 1 X = К'
D к°ю ^ , ^ r z - С - hi
Re = —, t = mí , * = z = —--
v l ^ hn
hi 1
2c
3 0 X
h2 2
Ux = zm м - U Uz = zmaU z, p = Pq-
II
PVZmM ,
hoV
2
где х, г - декартовы координаты, их, иг - проекции вектора скорости жидкости на оси координат; р - давление; р0 - уровень отсчета давления; р, V - плотность и коэффициент кинематической вязкости жидкости; у, X, Яе - параметры, характеризующие задачу.
Для краевых условий системы (1.2) учитывается, что скорость жидкости на вибраторе и статоре совпадает со скоростями этих стенок [2-4]:
z t 1/Y Ч Л Л Л df z X WmUu л umlд U1 TJ Wm1
z = 1 + Xf(x): Uk = Q, Uz = f, z = X—Wi: Uk = V--=5-, U = —(1.3)
где перемещения срединной плоскости верхнего слоя 1 статора в направлении осей Ох и Ог представлены в форме и1 = ит1П1(<^, т), = т).
Условие свободного истечения жидкости в направлении оси х и в противоположном направлении принимают вид для давления
\ =1: Р = 0; \ = Q: дР/д\ = Q
(1.4)
Второе условие является условием симметрии задачи и заменяет условие Р = 0 при \ = -1.
Для изотропных несущих слоев статора приняты гипотезы Кирхгофа, в жестком заполнителе принята линейная зависимость перемещений его точек от поперечной координаты г. На границах контакта используются условия непрерывности перемещений. Материалы несущих слоев 1 и 2 несжимаемы в поперечном направлении, в заполнителе учитывается его обжатие, деформации малые [5].
Уравнения динамики статора имеют вид для балки-полоски (трехслойного стержня со сжимаемым заполнителем) [5]
д3 w
д2и1 д2и2 д w1 dw2 d3w1
Fi + a1 U1 - a1U2 - a4— - a5— + + «3^ - 2a6— + «7 —
2
д x
д x
д x
д x
(1.5)
д2и1 д2и2 дw1 д w2 д3 w1 д3 w F2 - a1U1 + a1U2 - a5~Z~2 - «9—Г - «3-^ - «2-^ - «6— + 2«7 —
д x 2
д x 2
д x 3
д x 3
Z
m
b
y
h
I
m
m
Э и1 Э и2 Э3 и1 Э3и2 Э2 w1 д2w2 д4wl д4w2
- а17~ЭХХ + а10-;5Х2 + 2абТТ + абТГ + а11"—г - а12":—2 + «15—5- - а16—Г + дх дх дх дх дх дх
1 ЭРгх
+ а^1- а8w2 = Ргг +;"к1-ЭХ-
Э и1 Э и2 Э3 и1 Э3и2 Э2 w1 Э2 w2 д4w1 д4w2
- а 18+ «19";::^^ _ «7""--^ - 2а7Т~1Г - а12~:;^ 2Г + а14~~2 - «16"-:^ 4- + а13~ГТ -Эх Э х Э х Эх Эх Э х
- а8 w1 + a8w2 = 0
Р = ритю ( эти^эио
Ргх = ко¥ I д С + ¥ д£, Л = X=!т!^ = Аw1'
'т 'т (1.6)
Ри = - п0- - 2 I Р дГ г 1 wm, X
к0ж2 V А =1 — ^1=
О т <т ^т
где рк - плотность материала; 0к, Кк - модули сдвиговой и объемной деформации; к = 1, 2, 3 - номер слоя; К+ = Кк + 4/30к, Кк = Кк - 4/30к. При этом введены обозначения
203 ( кл К 3 ( к2Л К 3 + 2 К 3 с
«1 = «2 = 2 1 + у) --у; «3 = 2 О3 ( 1 + ^ j + _3; «4 = К+к1 + -33-;
К +с
а
5
К +ск
1 К 3 ск2
; а7 = —-Т-
К 3 + 2 К + с 03 ( к1\ К3
; «8 = 33-; а9 = К+ к2 + -з-; а10 = уV1 + i2C:J + У
_ К3к1 03с Л кЛ2 03с _К3(к1+ к2) °3с Л кЛ( к2^ °3с
а11 = "У ГV1 + "1Т; «12= 4 + У"V1 + 1 + "~бГ
_ К + к2 К+ъск22
«13 = -¡¿г + (5 ; «14
о^ (1 ^ 2- о^
2 2 V 2 с ) (5 ; «
К+к1 К+ск1
15 = УУ + ""б""
16
К 3 ск2к1 03 Л кЛ К - 03 Л М К-
-12-; а17 = У(1 + :Ы"У; а18 = У(1 + 2с) + У; а19
о,
к9Л К 3 1 + 2--1
Инерционные члены определяются соотношениями [5]:
1_ Эг2
( Эwl Э^ „ Э2 ( 0
[«и + т8и2 + 2т5-дх" - т7~дхх~); р2 = —2 Vт8и1 + т2и2 + - 2т7-;д:^)
3_ д;2
22
д и1 д и2 д w1 д w2
-2m5-:;--тс--—- + т, w1 + т8W9 - т3—- + т6—-
5 д х 5 д х 1 1 8 2 3 д х2 6 д х2
д х
а
6
2
2
F = ^ F4 = д7ч
22
)u1 ди2 д w1 д w2
m7-rr— + 2m7-r— + m8w1 + m9w9 + m6—^ - m4—r-
7)x 7)x 81 22 6дx2 дx2
m
22 1 = P1 h1 + 3 P3C; m2 = p2 h2 + 3 P3 С; m3
P1h3 P3ch2 P2h3 P3ch2í P3 ch1
"12Г + 6 ; m4 = -22- + -6-; m5 = "IT
m6 =
p3 Ch1 h2
12
m7 =
P3 Ch2
m8 =
PjC
ГГ3ГГГГГ
Краевые условия свободного опирания имеют вид
х = ±1: = дик/дх = д2жк/дх2 = 0 (к = 1, 2) (1.7)
Одно из условий, например при х = -I, можно заменить условием симметрии:
3 3
х = 0: ик = дЖк/дх = д Жк/дх = 0
2. Для тонкого слоя жидкости у ^ 1. В нулевом приближении по у уравнения динамики жидкости (1.2) и соответствующие граничные условия (1.3) упрощаются, так как в них можно положить у = 0.
Далее предполагаем, что перемещения вибратора значительно меньше ширины зазора между статором I и вибратором II, но одного порядка с прогибом Следовательно X = о(1), гт/жт1 = О(1). Тогда в нулевом приближении по X, полагая:
р = Р0 + хр1 + ..., и% = и%0 + хи^1 +..., и? = Ц-0 + X+...
получим задачу механики жидкости в виде уравнений
Re д U§ Q = д Р 0 д2 U
д Ро
дт д% дС
и граничных условий:
С = 1: и % 0 = 0, и
2 =Q, эс° = °,
д u§q )u
ZQ =
д§ дС
df
z 0 " dT
; С = 0: U^q = 0, U,
'ZQ
= 0
wm 1 )W 1 Zm д T
(2.1)
(2.2)
% = 1: р0 = 0; % = 0: дР0/д% = 0
При этом напряжения со стороны слоя жидкости на статоре принимают вид
р = ^^^д U§0
Pzx о -
hoV дС
_ РVZmм
, Рzz = - p0- 0 2 Р0
Z = 0 ho V
(2.3)
Z = о
Очевидно, что Р> Ргх и касательным напряжением Ргх можно пренебречь, полагая его равным нулю в уравнениях (1.5) с принятой точностью по у. Решение задачи динамики жидкости (2.1), (2.2) при гармоническом законе движения вибратора имеет вид:
Ро = 1 (^2-1)
2
~ 2 d f df 2 е а —О- + 12y-f-
dT2 dT
1 §
§ о
f 2 )2W1 дW^ 2 е2 а —0^ + 12y t-1 дт
V
дт
2
d§ d§
(2.4)
/
где введены обозначения [3]:
/- Г1 1 2
е(ю) = VRe/2, а(ю) = -=-2, у(ю) = --е (ю)
22 r1 + r2
22 r1 + r2
, Г1 = 1 +
Гз- ТА
е(ю)
Г2 =
r3 + r4
е(ю)
r3 = -sh е(ю)/(ch е(ю) + cos е(ю)), r4 = sin е(ю)/(ch е(ю) + cos е(ю))
Очевидно, что а ^ 1.2, а у ^ 1 при е ^ 0 для сильно вязкой жидкости и малых частот ю в то время, как а ^ 1, а у ^ (1/6) при е ^ «> для маловязкой жидкости и больших частот ю.
3. Учитывая краевые условия (1.7), решение уравнений динамики статора (1.5) представим в виде:
ut
х-™1 т^/ • 2m +1 x I Tk (юг) sin 2— п
ик = ^ тк (ю) -2-П1' Wk = ^ як (ю) -2-П / _ у*ткуук
т=0 т=0
Разложив все функции от входящие в формулу для Ргг в ряды по cos(2m + 1)л£/2, получим
I С(юí)
2m + 1 x cos—2— п у = wmtWir
(3.1)
Pz = I
4 (-1)
m +1
= 0\ (2 m + 1 ) п\Po~ K¥2
pvю
(2 m + 1 )п_
2 е а d h 12y d-h v ю2 dt2 + ю dt ,
p УЮ
" hoV
_(2 m + 1 )п_
2(2е2аd Ri 12у2m + 1 x —2--Г + —L~TT cos —-—ю-
ю2 dí2 ю dt )\ 2 у
(3.2)
Подставляя (3.1), (3.2) в уравнения (1.5), в которых положено Ргх = 0, и приравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях, получим систему четырех обыкновенных дифференциальных уравнений, которая с учетом
гармонического закона вибрации задающегося зависимостями: й2 Т"т /йг2 = -ю2 Т>т , й2ятк /йг2 = -ю2ятк (к = 1, 2) принимает вид:
Ьц тт+Ь12 тт+Ь13 ят+ь 14 ят = О (3.3)
тттт
Ь21 Т1 + Ь22 Т2 + Ь23 я + Ь24^2 = 0
йят _ 4 (-1 )т+1
b31 T1 + b32 T 2 + b33 R1 + b34 R2 + 2Km
dt
(2m + 1 )п
2
P M d h 2 K dh
P0-
mmmm b41 T1 + b42 T 2 + b43 R1 + b44 R2 = 0
pv ю
7 2 hoV
22е2а
_(2 m + 1 )п_
( 2m + 1 ^2
ю
2
2 K
12 ую
T 2
2е а
m„
( 2m + 1 ^2 2 , (2m +1 ^2
bn = ax + a4l ——— п1 - 11ю ; b12 = - aj + a51 ——— nl - m8ю
13
2m + 1 —7
- a2-2 a6 21
2m + 1 ^2
п| +2 m5 ю
m
, 2 m +1
b14 = -Wп
- a3 + a7 -
(2 m +1 ^2
21
п - m7ю
(2 т +1 ^2 2 , (2т +1 ^2
b21 = - a1 + a5(—nJ - m8 Ю ; b22 = a1+ a9(—2f- nJ - m2
(2m +1 ^2 2 ~ - m0 ю
2m + 1
3 = -ЦТ-П
(2 m +1 ^2 2
a3- a6( —— nJ + m5®
2m + 1 4 = П
a2 + 2a7
2 m +1 ^2 2"
IT V - 2m7 ю
2m + 1
31 =
2m + 1
a17-2a6l 21
^ 2 m + 1 2
п I + 2m5ra
32
21
a10 - a6
2m + 1 ^2
21
n + m5 ю
b33 = a8 - a
(2m + 1 ^2 (2m + 1 ^4
8_ "11l"
21
Я + a 151 -
21
n -
(2 m + 1 ^2
(2m + 1 ^2 (2 m +1 ^ 2 Г (2m + 1 ^ 21
b34 = - a8 + a 12 [ —2f~ nJ - a16l —"I - ......
m1 + m31 2¿ n J + M,
(2m + 1 m8 - m6l —27—П
ю
ю
41
42
2m + 1
-27-7
2m + 1
2-7 7
— a 18 + a7
a19 + 2a7
2m + 1 ^2
2/
n - m7ю
2m + 1 ^2 2"
-227--2 m7ю
(2m + 1 ^2 (2 m +1 V Г (2m + 1 ^ 2l
b43 = - a8 + a 12[ —— nJ - a16l —— - ......
m8 - m3l —— n
ю
(2m + 1 ^2 (2m + 1 ^4
b44 = a8 - a 14( —2^— "J + a13( —2^— -
(2 m +1 ^2 m2 + m4(-¿
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.