УДК 524.8-337
ДИНАМО КОСМОЛОГИЧЕСКОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ
В РАННЕЙ ВСЕЛЕННОЙ
© 2007 г. С. М. Тарбеева1, В. Б. Семикоз2, Д. Д. Сколов1
1 Физический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, Ыосква, Россия 2Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н.В. Пушкова Российской академии наук, Троицк, Россия Поступила в редакцию 25.03.2006 г.; принята в печать 05.04.2007 г.
Изучается поведение крупномасштабного магнитного поля в ранней Вселенной под действием неустойчивости, связанной с нарушением отражательной инвариантности в слабых взаимодействиях. Показано, что корректный учет динамики Вселенной приводит к выводу о том, что существенно увеличивается магнитное поле, масштаб которого в настоящее время составляет всего лишь около 500 м и пренебрежим по галактическим масштабам. Делается вывод о том, что это магнитное поле едва ли может быть затравочным полем для галактического динамо. Отмечено, что полученный вывод мало связан с конкретным видом неустойчивости.
PACS: 98.80.Jk, 95.30.Qd, 98.80.Cq
1. ВВЕДЕНИЕ
Считается, что крупномасштабные магнитные поля спиральных галактик образуются из первоначально слабого затравочного магнитного поля под действием дифференциального вращения и спиральных вихрей межзвездной турбулентности. Этот механизм известен как галактическое динамо [1]. Природа затравочного магнитного поля в настоящее время является дискуссионной. В принципе, оно может образоваться в протогалактике в результате действия батарейных эффектов [2], однако не исключено, что это затравочное магнитное поле унаследовано от почти однородного космологического магнитного поля, заполняющего Вселенную как целое.
Впервые на возможность существования космологического магнитного поля обратил внимание Зельдович [3]. Оказывается, что это космологическое магнитное поле может быть достаточно большим (Н > 10"15 Гс), для того чтобы служить затравочным для галактического динамо, и достаточно слабым, для того чтобы не нарушать существенно изотропию Вселенной и, в частности, реликтового радиоизлучения [4]. Разумеется, возможность существования космологического магнитного поля представляет и независимый астрономический интерес.
Несмотря на проведенные поиски, космологическое магнитное поле не обнаружено в наблюдениях. Верхний предел на его напряженность со-
ставляет около 10 9 ... 10 10 Гс. Обзор наблюдательной и теоретической ситуации см. в статьях [2, 4].
В работе Зельдовича [3] космологическое магнитное поле рассматривалось как начальное условие, предписанное при рождении Вселенной. Такая постановка вопроса в принципе возможна, но она не соответствует духу современной космологии, в которой различные физические поля и частицы формируются по мере развития Вселенной. Известен ряд механизмов, которые могли бы привести к образованию квазистационарного магнитного поля в ранней Вселенной [4], скажем, во время фазовых переходов, происходящих по мере падения температуры Вселенной. Однако эти механизмы, как правило, ведут к образованию магнитных полей, масштаб которых определяется размерами элементарных частиц, тогда как нас интересуют магнитные поля космологических масштабов.
Вообще говоря, к образованию крупномасштабных магнитных полей в ранней Вселенной могли бы привести те же механизмы, которые приводят к образованию магнитных полей галактик, т.е. вращение и спиральные движения. Однако и вращение, и крупномасштабные движения плохо совместимы с имеющимися представлениями об однородной и изотропной Вселенной. Оказывается, однако, что нарушение пространственной четности (отражательной симметрии) в слабых взаимодействиях способно сыграть ту же роль, какую в галактическом динамо играют спиральные
турбулентные течения, и привести к самовозбуждению крупномасштабных магнитных полей в эпоху, непосредственно следующую за электрослабым фазовым переходом [5].
2. КОСМОЛОГИЧЕСКИЙ а-ЭФФЕКТ
В работе [5] показано, что вклад слабых взаимодействий в динамику крупномасштабного магнитного поля В можно описать как появление в уравнении индукции слагаемого с а-эффектом, так что
дВ
~дЬ
Здесь в — (4п х 137Т)-1 — коэффициент магнитной диффузии, Т — температура,
VxaB + f3V2B.
(1)
а = 2.8 х 10"
-34 ^ T V lv (T)
AV)
Afluid
С—)
V1 МэВ )
(2)
В последней формуле lv — длина свободного пробега, Afluid — характерный масштаб пространственных флуктуаций в распределении нейтрино, — химический потенциал соответствующего нейтрино. Для оценок полагалось Afluid = lV. Для химического потенциала нейтрино известна лишь верхняя оценка < 0.07, так что химический потенциал заменялся на эту оценку.
Далее уравнение (1) решалось методом Фурье, и в каждый момент в решении учитывался лишь вклад наиболее быстро растущей гармоники с k(t) = a(t)/2@(t), что дает
t \ a2(t')^
B (t)= Bmax exp J
ею
dt'
(3)
B(x) = Bmax exp í 25 J Шx10dx
(4)
где Жшах = 1, Ттах = 20 ГэВ.
Решение (4), конечно, переоценивает изучаемый эффект, поскольку в нем предполагается, что данная фурье-гармоника в каждый момент является наиболее быстро растущей, тогда как на деле со временем длина (к-1) наиболее быстро растущей гармоники меняется. Кроме того, в решении нужно корректно учесть изменение магнитного поля из-за расширения Вселенной. Это и составляет цель настоящей работы.
3. РОЛЬ ОСТЫВАНИЯ
В методических целях удобно сначала решить первую из этих задач и искусственно рассмотреть магнитное поле в остывающей, но не расширяющейся среде. Дело в том, что космологическое расширение приводит хотя и к очевидной, но очень сильной перенормировке величины магнитного поля, на фоне которой непросто заметить изучаемый эффект сам по себе.
Будем искать решение в виде
B(x, t) = у dkB(k, t)e Подставляя его в (1), получим
ikx
да
~at
= ia(t)k x B(k, t) - e(t)k2B(k, t).
Условие бездивергентности дает Вк = 0. Удобно перейти в такую систему координат, где к = = {0,0,к}. В силу бездивергентности, В3 = 0. Таким образом,
dBi dt dB2 dt
= -в(t)k2Bi - ia(t)kB2, = ia(t)kBi - в(t)k2B2,
Диагонализируя матрицу в правой части, получаем решение в виде
В(к, г) = Во ехр I [а(г')к - в(г')к2, (5)
Чшах /
где В0 — некоторая начальная амплитуда поля. Отметим, что при Т = Тшах
Здесь г(Т) = 3.84 х 1021 (Т/1 МэВ)-2 х х [(1 МэВ-1) / ^д*], где д* к> 100 представляет собой эффективное число степеней свободы частиц плазмы. Для проведения оценок в этом решении удобно положить х = Т/(2 х 104 МэВ), так что
1
™ 10,
0.07
Л
— = 3.2 х 10
1н " V1 МэВ/
T
-5
Afluid lv (T )
(\£Ve\)-1 - 1.4 x 10-11.
Здесь Л = (а/2в)-1 — пространственный масштаб наиболее быстро растущей гармоники магнитного поля, 1н —хаббловский радиус. Таким образом, на ранней стадии эволюции магнитное поле имело малые макроскопические масштабы по сравнению с горизонтом. Подобное отношение при Т = Т0 = = 102 МэВ равно уже Л
— — 4.5, н
т.е. пространственный масштаб превосходит горизонт.
Нам будет удобно измерять волновые векторы в
единицах
k = 0.25Л-1 \T=Tmax = 109 см
1
X
X
x
Отметим, что в этот момент 1н — 20 см. Численный множитель 0.25 введен из соображений удобства. Тогда
1
В(к, х) = В0 ехр
Р.к2
х4
= В0 ехр
Рк2 ( 1
3
х3
+ Qkx3) Сх
Qk
(7)
где Р — 21, Q — 45 — размерные константы. Отметим, что члены, пропорциональные Р, отвечают за омические потери, а члены, пропорциональные Q, отвечают за а-эффект. После несложных преобразований оказывается, что
3х3 (1 + х)(1 + х2)
kmax (х) = kmax (1)
4(1 + х + х2)
уравнения магнитной гидродинамики в нерасширяющейся плоской Вселенной, но при этом магнитное (В) и электрическое (Е) поля должны быть заменены на В = а2В, Е = а2Е, плотность тока — на J = а3], проводимость — на асо^ = астсош^, а оператор набла — на оператор V = а-1 V. Мы обобщили, используя методы [6], результаты этой работы на случай магнитной релятивистской гидродинамики с учетом слабых взаимодействий и пришли к следующему уравнению для магнитного поля:
да
~дЬ
V XV х В + V хаВ + V х]/<7сош1. (8)
При этом постоянная Хаббла равна
где 0 < х < 1. Усиление магнитного поля происходит для значений 0 < к < ктах.
На рис. 1 показано, как меняется отношение В/В0 для различных значений волнового вектора к = 0.1, 0.2, 0.5, 0.8, 1.5) в зависимости от переменной х, характеризующей температуру. На рисунке приведена также и огибающая этих решений (жирная сплошная линия), которая показывает, как ведет себя лидирующая в данный момент гармоника. Для сравнения штриховой линией на рис. 1 показана кривая, соответствующая решению (4). Наконец, жирными точками показана кривая, соответствующая случаю а = 0. Здесь для наглядности изображена только одна кривая (при к = 0.5). Аналогичные кривые для а = 0 и других значений к также идут существенно ниже соответствующих кривых с а = 0 (рис. 2, 3).
Мы видим, что последовательный учет изменения а-эффекта и проводимости с температурой приводит к существенно меньшим значениям магнитного поля, чем грубые оценки [5], однако магнитное поле все равно оказывается заметно больше, чем оно оказалось бы без учета а-эффекта.
4. УЧЕТ РАСШИРЕНИЯ
Для того чтобы провести учет расширения, нам,
прежде всего, необходимо восстановить в уравне-
нии индукции (1) члены, ответственные за расширение. Здесь мы следуем работе [6], в которой проводится последовательный вывод релятивистских уравнений магнитной гидродинамики в расширяющейся Вселенной. Основной вывод этой работы состоит в том, что уравнения магнитной гидродинамики в расширяющейся Вселенной с нулевой пространственной кривизной и метрикой ds2 = —dt2 +
+ а2(^х2 имеют тот же вид, что и релятивистские
Н = £ = 1= 8п39* И
~ а 2t V 90 Мр,
где д* & 100 — эффективное число степеней свободы частиц плазмы, Мр = 1.2 х 1019 ГэВ — масса Планка. Отсюда следует, что а^) = д/t/tmax.
В интересующем нас случае уравнение (8) принимает вид
дВ
— = V хаВ + в/2В.
дt
(9)
Здесь а = а^), в = в^); отметим, что в уравнении (9) фигурирует в, а в уравнении (8) — <тсоша, отметим также, что величина а одинакова в обоих уравнениях.
Решение уравнения (9) ищем в виде
В(Х^) = / СкВ(к,£)ё
гк х
Здесь к = ак, Х = ах. Возвращаяс
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.