АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2010, том 87, № 8, с. 822-827
УДК 523.9-337-46
ДИНАМО-ВОЛНЫ ВБЛИЗИ СОЛНЕЧНЫХ ПОЛЮСОВ С УЧЕТОМ МЕРИДИОНАЛЬНОЙ ЦИРКУЛЯЦИИ
© 2010 г. Е. П. Попова
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия Поступила в редакцию 12.01.2009 г.; принята в печать 05.02.2010 г.
В приближении Паркера с учетом меридиональной циркуляции рассматривается поведение динамо-волны вблизи солнечных полюсов. Построено асимптотическое решение уравнений генерации магнитного поля. Показано, в каких случаях меридиональная циркуляция приводит к существованию падающей на полюс и отраженной от него динамо-волн, а в каких приводит к суперпозиции стоячих динамо-волн.
1. ВВЕДЕНИЕ
Природу солнечной активности принято связывать с действием солнечного динамо и вызванного им распространения динамо-волн, которые проявляются как волны активности. Схема работы динамо была предложена в фундаментальной работе Паркера [ 1]. Тороидальное магнитное поле получается из полоидального под действием дифференциального вращения. Обратный процесс превращения тороидального магнитного поля в полои-дальное осуществляется в результате нарушения зеркальной симметрии конвекции во вращающемся теле. Сила Кориолиса при действии на поднимающиеся и расширяющиеся (опускающиеся и сжимающиеся вихри) приводит к преобладанию правых вихрей в северном полушарии (левых вихрей — в южном полушарии). В результате электродвижущая сила, возникающая в результате действия электромагнитной индукции Фарадея, после усреднения по пульсациям скорости приобретает компоненту аВ, параллельную среднему магнитному полю В. Она и замыкает цепь самовозбуждения в динамо Паркера.
Однако схема Паркера в своем классическом виде не дает полного описания эволюции магнитного поля во всей конвективной зоне, поэтому поведение динамо-волн вблизи солнечных полюсов и экватора необходимо изучать отдельно. В [2] было показано на основе наблюдений, что кроме динамо-волн, распространяющихся от полюсов к экватору, существуют волны, падающие на полюс. Более детально поведение динамо-волн в рамках простейших обобщений динамо Паркера было исследовано в работах [3] (вблизи полюсов) и [4] (вблизи экватора). В [3] было показано, что вблизи полюсов появляются падающая и отраженная от них волны.
Так называемый расширенный цикл солнечной активности может зависеть от характера меридиональных потоков вещества в конвективной зоне. В данной работе мы, следуя методам [3], покажем как меридиональная циркуляция влияет на поведение динамо-волн вблизи солнечных полюсов.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Напомним, что генерация крупномасштабного магнитного поля в Солнце, связанная с процессом динамо, описывается уравнением
«В
— = го!(аВ) + го^и х В] + /ЗДВ, (1)
где В — крупномасштабное магнитное поле, в — коэффициент турбулентной диффузии, параметр а описывает альфа эффект, вектор и включает в себя меридиональную циркуляцию и линейную скорость дифференциального вращения с угловой скоростью О:
И = У(г,в)+тП(т,в )йт(в)еу. (2)
Магнитное поле можно представить в виде суперпозиции полоидального и тороидального полей:
[Вр (г)+В4(г)]еЛ
в М)
(3)
где В4 — азимутальная компонента магнитного поля, Вр — радиальная компонента, 7 — собственное значение, которое должно быть найдено. Здесь Не 7 — скорость роста магнитного поля, 2п(1т 7)-1 — период динамо-волны.
Подставляя (3), (2) в (1) и усредняя по г получим, следуя Паркеру:
8А
д
1 дА sin в sin в дв
YB +
d(V (в) В)
дв
(5)
д
9(Asin0) ~DG{ß) дв + дв
1 dB sin в sin в дв
уравнений, исследованных в [6—8]. Для уравнений (4), (5) необходимо построить решение не только вблизи полюсов, но и в средних широтах. Так как в средних широтах эффектами кривизны можно пренебречь, то уравнения (4), (5) перейдут в уравнения
д2А
Здесь В — тороидальное магнитное поле, величина A пропорциональна тороидальной компоненте векторного потенциала, которая определяет по-лоидальное магнитное поле. Мы рассматриваем задачу в сферических координатах, где в — широта, отсчитываемая от полюса. Уравнения выписаны в безразмерных переменных, так что амплитуды альфа-эффекта и градиента угловой скорости и коэффициент турбулентной диффузии объединены в безразмерное динамо-число D. Во втором уравнении опущен малый вклад альфа-эффекта, т.е. мы пользуемся так называемым аш-приближением. В диффузионных членах присутствуют эффекты кривизны, рассмотрение влияния которых и есть предмет данной работы. Предполагается, что радиальный градиент угловой скорости не меняется с в в силу одномерности задачи. О формальной процедуре вывода подобных уравнений см. [5]. По соображениям симметрии (а(-в) = -а(в)) уравнения (4), (5) можно рассматривать лишь для одного (северного) полушария с условиями антисимметрии (дипольная симметрия) или симметрии (квадрупольная симметрия) на экваторе. Поскольку магнитное поле Солнца имеет дипольную симметрию, мы ей и ограничиваемся.
В уравнениях (4), (5) V — меридиональная циркуляция. Вопрос о ее точном виде остается дискуссионным. В работе [6] были исследованы случаи, когда вещество быстро уходит из слоя, в котором работает динамо (V(в) = V sin2e), и когда, напротив, вещество в процессе движения к полюсам нигде не накапливается и не уходит из слоя вплоть до непосредственной окрестности полюсов (V(в) = = V/sin 2в).
В [6] показано, что для средних широт возможно построение решения при таких видах меридиональной циркуляции. В данной работе мы рассмотрим оба варианта поведения меридиональной циркуляции вблизи полюсов, а также случай, когда V(в) = = const.
3. ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ В СРЕДНИХ ШИРОТАХ
Для исследования поведения динамо-волны вблизи полюса необходимо учитывать эффекты кривизны. Поэтому уравнения (4), (5), в которых они присутствуют, отличаются от аналогичных
дв2
дВ
д(У(в)В) ^ пдА д2В
(6)
(7)
которые рассматривались в [6—8]. Для построения асимптотического решения уравнений (6), (7) в средних широтах мы используем метод, аналогичный известному методу ВКБ в квантовой механике. Такой подход для решения уравнений Паркера без учета меридиональной циркуляции применялся в [3].
Для связности напомним основные этапы получения соотношения для частоты динамо-волны и ее волнового вектора.
Будем искать решение (6), (7) в виде
где
Y
= ex p(f|D|1/35 + Yt) х х (fo + IDI-1/3fi + ...),
= |D|2/3Г + |D|1/3Г1 + ...
(8)
fo =
f1 =
(9)
(10)
Здесь Б, ц, V, /л1 и — гладкие функции и \0\ » ^ 1. Величина Б — аналог действия, а ее производная к = Б' соответствует импульсу, или волновому вектору, который в данном случае является комплексным. Комплексное 7 определяет собственное значение: его действительная часть дает скорость роста, а мнимая дает длительность цикла активности. Множители \0\2/3 в комплексной скорости роста и \Б\1/3 в действии выбраны так, чтобы дифференциальное вращение, а-эффект, собственное значение и диссипация оказались одного порядка и вошли в старший член асимптотического разложения. Меридиональная циркуляция включена в тот же старший член асимптотического решения — при
V (в) = \П\1/3у(в). (11)
Подставляя (8), (9), (10) в (4), (5) и оставляя слагаемые при максимальной степени \ Б\, получим систему линейных алгебраических уравнений для ^
L
-0.4 4-0.2 0
M2 34
\
0.5
M1, 2
0.2
Mi
0.4 0.6
-0.5
-1.5
\ \ \
# 4\
м4'
Четыре ветви импульса k при v < vcrit (показаны сплошной линией, штрих-пунктирной линией, штриховой линией с короткии штрихом и штриховой линией с длинным штрихом) на комплексной плоскости (горизонтальная ось соответствует Re k/al/s, вертикальная — Im kjaj3) для случая V(в) = const.
и V. Условие разрешимости для этой системы представляет собой соотношение для частоты динамо-волны и ее волнового вектора — так называемое уравнение Гамильтона—Якоби
[Г + ikv(в) + k2]2 - iak = 0,
(12)
где a = a cos в.
Уравнение (12) при известном Г представляет собой алгебраическое уравнение четвертого порядка относительно k. Для произвольного вида меридиональной циркуляции метод поиска Г и k был описан в [6]. На рисунке изображена структура решения уравнения Гамильтона—Якоби для случая бегущей волны. Точки М/, М/2, М2^, М^4 и М4 соответствуют концам четырех ветвей. Верхний индекс обозначает номер ветви, двойной верхний индекс описывает двойную точку. Нижний индекс показывает значение a/а* в наблюдаемой точке, т.е. a = 0 или a/a* = 1. Для того чтобы волна распространялась от полюса к экватору, необходима сшивка ветви k = 2 и ветви k = 3. Это условие используется для поиска Г. В [6] было показано, что сшивка ветвей происходит при a*, где a достигает максимума. Чтобы решение существовало вблизи полюсов, необходимо сшить ветви 1 и 2, т.е. надо найти значение Г, при котором происходит сшивка ветвей. Для этого надо построить асимптотическое разложение более высокого порядка, чем приведенный в [6—8]. Ищем функции ¡л(п^ и v(n) в виде
^(n) = [Г) + (k(n) )2 + ik(n) v (в )]a (в )(n), (13)
v(n) = ik(n) sinва(в)(n),
(14)
где верхний индекс п соответствует номеру ветви к, ] — номеру ветви Г. Для поиска а(0) применяем
метод, описанный в [9]. Функция а = а(п) может быть определена из асимптотического разложения более высокого порядка. Для этого подставим (8), (9), (10) в (6), (7) и оставим второй порядок асимптотического разложения, который включает ц1 и v1. Условием разрешимости алгебраической системы относительно ¡л1 и v1 является так называемое уравнение диффузии
2i ( k(n) +
iv (в)
+
a
2(Г0') + iv (в )k + k2)
+
(ln a(n))' =
(15)
= Г/
i(k(n))'
1 +
2 ( k(n) +
iv (в)
Г0') + iv (в)k(n) + (k(n) )2
+ kv(ey (*<»> + x
1
' ГО) + iv(e)k(n) + (fcH)2
+
ctg в.
Это уравнение можно переписать в виде разложения в ряды Тейлора:
[Pa + Pi (в - в*)](в - в*)(ln a(n))' = [Qo + Qi (в - в*)],
где
= Г/
Po =
i(2ko k' (в* ) + iko)
2k' (в* )v (в*) '
T
(16)
(17)
Решение уравнения (15) имеет следующий вид: a (в)= (18)
= C exp
r*i - [Qo + Qi(0 - 0*)] [Po + Pi(e-e*)](6-e*)
dв
где С — константа. Так как функция а(0) — гладкая, то ее можно записать в форме ряда Тейлора:
а (0) = (0 - 0* )т [С0 + С (0 - 0*) + ...], (19)
гд
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.