ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2013, № 5, с. 65-77
ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ
УДК 621.391
ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И РЕКОНСТРУКЦИЯ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ
ТИПА "ШАХМАТНАЯ ДОСКА" © 2013 г. Ю. А. Горицкий, В. А. Казаков
Москва, Национальный исследовательский ун-т МЭИ,
Мехико, Национальный политехнический ин-т Поступила в редакцию 18.01.12 г., после доработки 18.03.13 г.
Разрабатывается статистическая процедура дискретизации и восстановления реализаций случайного бинарного поля. Реализации поля формируются с помощью двух марковских процессов, определенных на двух осях. Процедура включает две части. Первая часть связана с выбором интервала дискретизации, исходя из заданной вероятности пропуска состояния. Вторая часть состоит в определении оценки точек смены состояний, а также дисперсии оценки. Решается вопрос неопределенности начального состояния, который возникает из-за неоднозначного определения значений образующих процессов по измерениям поля. Приводятся иллюстрирующие примеры.
Б01: 10.7868/80002338813040094
Введение. Задача дискретизации реализаций случайных процессов и полей, а также построение оптимальных алгоритмов восстановления реализаций по имеющимся отсчетам с оценкой их качества относятся к числу классических задач, имеющих обширное поле приложений в многочисленных областях науки и техники. С этой задачей неразрывно связана теория и практика различных систем управления. Исторически сложилось так, что исследования в данной области были сконцентрированы в основном на изучении процедур дискретизации — восстановления реализаций (ДВР) случайных процессов. Дадим краткую информацию об этих задачах.
Для непрерывных процессов предполагается известной иерархия многомерных плотностей вероятности. Дискретизации подвергается одна из реализаций данного процесса, в результате образуется некоторое множество фиксированных отсчетов. Используя априорные сведения о процессе, по множеству отсчетов необходимо восстановить реализацию. Оценка реализации строится по правилу условного среднего [1]; оно обеспечивает минимальную дисперсию оценки, которой является условная дисперсия.
Для гауссовых процессов общие формулы для функций условного среднего и условной дисперсии известны (см., например, [2]). Восстанавливающие функции при этом являются линейными функциями отсчетов. Если процессы негауссовы, то необходимо специально определять функции условного среднего и условной дисперсии по условной плотности. При этом восстанавливающая функция оказывается нелинейной функцией отсчетов. Список публикаций на тему ДВР непрерывных случайных процессов трудно обозрим. Укажем здесь на известные обзоры [3,4], а также на несколько публикаций [5—8], в которых проблема ДВР изучалась на основе правила условного среднего.
Проблема ДВР разрывных случайных процессов практически выпала из поля зрения исследователей. Работы [9—11], в которых исследуется ДВР кусочно-постоянных случайных процессов, являются исключением. Кусочно-постоянные процессы могут задаваться числом состояний, распределениями времени пребывания в каждом из состояний, матрицей вероятностей переходов между состояниями. Реализация процесса подвергается дискретизации. Используя априорные сведения о процессе, необходимо по множеству отсчетов восстановить реализацию и оценить качество восстановления. Анализ ДВР этих процессов по сравнению с ДВР непрерывных процессов имеет существенные отличия. 1. Имеется специфический вид ошибок: пропуски состояний при дискретизации. Пропуск возникает, если между отсчетами реализация переключается в другое состояние и успевает выйти из него. Необходимо обеспечить заданную малую вероятность таких ошибок выбором интервалов дискретизации. 2. Если два соседних отсчета одинаковы, то вопрос о поиске восстанавливающей функции не возникает — это есть константа, равная значениям отсчетов. 3. Если следующий отсчет отличен от предыдущего, необходимо найти
оценку момента переключения на интервале между отсчетами, а также оценить качество этой оценки.
Описанию ДВР случайных полей посвящено существенно меньшее количество публикаций. Отметим работы [12—17], в которых, однако, информация о плотностях распределения вероятностей полей не используется. Марковские модели случайных полей обсуждаются в [18], где описываются непрерывные случайные поля с помощью стохастических дифференциальных уравнений. Статья [19] посвящена исследованию ДВР гауссовых полей на основе правила условного среднего. Однако существуют случайные поля с характерными скачками яркости. Простейший пример — голубое небо с белыми облаками. Для аналитического описания таких полей были предложены модели, сформированные с использованием случайных процессов со скачками [20—22]. По сведениям авторов, публикаций, связанных с ДВР случайных полей с конечным числом значений, просто нет. Упомянутые выше особенности ДВР случайных процессов обобщаются на описание ДВР случайных полей. При этом усложнение задачи связано с априорным описанием полей.
Для непрерывных гауссовых полей задачи ДВР решаются с помощью математического ожидания и пространственной корреляционной матрицы (примеры см. в [19]). Модели непрерывных гауссовых полей описывают сглаженные реальные образования.
Модели случайных кусочно-постоянных полей могут строиться различными способами на основе, например, процессов, заданных на координатных осях; некоторая функция от них задает поле. Проблема описания процедур ДВР такого поля включает в себя оценку точек переключений, вычисление дисперсии оценки, а также учет ошибок пропуска состояния. Наиболее простые варианты кусочно-постоянных случайных полей получаются на основе использования бинарных случайных процессов.
В настоящей статье впервые построена процедура ДВР случайного бинарного поля, образованного с помощью двух бинарных марковских процессов. Такое поле может быть названо "шахматной доской" со случайными размерами белых и черных прямоугольников. Как и при описании ДВР кусочно-постоянных случайных процессов [10, 11], задача имеет две части. В первой определяются интервалы дискретизации, исходя из заданной вероятности пропуска состояния. Во второй получаются оценки момента переключения состояний, а также вычисляются дисперсии оценок. Процедура восстановления поля основана на первоначальном восстановлении реализаций обоих бинарных процессов. В силу специфики формирования поля, отсчеты поля не позволяют определить значения каждого из процессов. Если начальные значения процессов неизвестны, приходится вычислять их апостериорные вероятности и решение задачи усложняется. В заключение даются примеры работы предложенных алгоритмов.
1. Дискретизация. Требуется провести дискретизацию случайного кусочно-постоянного поля типа "шахматная доска". Это поле имеет только два значения, изменение его состояния определяется точками переключения по двум пространственным осяи x и y. Его можно получить следующим образом. Пусть £,(х), n(y) — два независимых бинарных марковских процесса с непрерывным временем и состояниями 0 и 1. Процесс £,(х) задает точки переключения по оси x, процесс П(у) — по оси y. Как это принято для марковских процессов с непрерывным аргументом и дискретным множеством состояний, введем плотности Xi выхода процесса из состояния i (i = 0, 1),
X i = lim ^{выхода из i за Дх}/Дх, где P{А} — вероятность события А. Пусть плотности выхода из
Ах ^ о
0 и из 1 для £,(х) и n(y) соответственно А,^, (это параметры показательных распреде-
лений для промежутков пребывания в состояниях). Обозначим вероятности начальных состояний:
P^0 = Pß(0) = 0}, P^1 = P{^(0) = 1} = 1 - P^0, Pn0 = P{n(0) = 0}, Pn1 = P{n(0) = 1} = 1 - Pn0.
Введем функцию S(£,, n) двух бинарных переменных, отражающую совпадение значений аргументов:
ъ п)=10; ^
[0, £ * п
Анализируемое поле Z(x, y) определяется следующим образом:
Z(x, У) = S(£(x), n(y)). (1.1)
Заметим, что если перейти к инверсным значениям для £,(х) и п(у), то поле ^(х, у) не изменится. Случайное значение поля в начале координат
Г (0 0) = < с вероятностью Р^ = Р^ + РР ПРИ = л(0). „ 2)
^( ' ' [0 с вероятностью Рф = РфРц1 + Рр0 при £(0) ф п(0). ( . )
Это поле изменяет свое значение на противоположное при смене любого из значений £,(х), П(у). Не пропустить при дискретизации изменения поля ^(х, у) означает не пропустить переходов для £,(х) и для п(у). Требуется дискретизацию провести так, чтобы вероятность пропуска состояния не превосходила заданной величины у.
При анализе удобно аргументы х и у воспринимать как временные оси (различные); в этом случае расстояние между двумя соседними переходами на одной оси есть время пребывания в состоянии.
Обозначим через 0^ ~ Е(Х^), 0П- ~ Е(ХЦ) времена пребывания в состоянии / = 0, 1, распределенные по показательному закону Е(Х) с параметрами Х^ > 0, > 0 для процессов £,(х), п(у). Соответствующие плотности:
(х;X^) = Х%е^ /ц1 (у;X^) = ХеI = 0,1; х > 0, у > 0.
1.1. Процесс £,(х). Условное распределение точки перехода. Пусть х0, х1, ..., хп, хп + 1, ... — точки дискретизации, причем х0 = 0, хп + 1 = хп + Т, Т — интервал дискретизации, и на интервале (хп хп + Т) имеет место переход из / в у:
^(хп) = ^ + Т) = у, у Ф I.
Ненаблюдаемый момент перехода хп + Ту, 0 < Ту < Т, определяется случайной величиной Ту, распределение которой, согласно [7, 8], является усеченным показательным с параметром цу = цу) = Xу - Xу. Соответствующая плотность
Рт(х\1' у) =
ц%ехр(-ц%х)
—-— ц % = цу) * 0'
1 - ехр(-ц%Т) 4 4 1Ф у, 0 < х < Т. (1.3)
1/Т' ц % = ц у) = 0'
При ц ^ = 0 это распределение вырождается в равномерное. По плотности (1.3) определяется условное математическое ожидание е{т|/,у} = Е{т|£,(хп) = /, £,(хп + Т) = у}, которое при восстановлении является оценкой Ту для момента перехода ту
Ту = Е{т\ и у} = Т [0.5 + g(u)\, у ф I, (1.4)
где и = у)Т = (Xц -Xу)Т, g(u) = и_1[1 - и/(еи -1)] -0.5,причем g(u) — нечетная функция и #(0) = 0. Интервал дискретизации Т зависит от распределения суммы времен пребывания двух последовательных состояний и потому, в силу бинарности процесса, не зависит от состояния. Из (1.4) имеем
Т01 = Т(0.5 + б01)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.