ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2013, № 6, с. 13-24
ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ
УДК 621.391
ДИСКРЕТИЗАЦИЯ КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ГЛАДКИМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ ВРЕМЕН ПРЕБЫВАНИЯ В СОСТОЯНИЯХ © 2013 г. Ю. А. Горицкий, В. А. Казаков
Москва, Национальный исследовательский университет МЭИ, Мехико, Национальный политехнический институт Поступила в редакцию 16.04.13 г., после доработки 30.05.13 г.
При решении задачи требование к дискретизации состоит в том, чтобы вероятность пропуска состояния не должна превышать заданную величину. Из полученного общего решения можно конструировать приближенные процедуры различной точности. Выписаны формулы для распределений Эрланга времен пребывания и формулы, основанные на пересчете двух первых моментов. Даны расчетные характеристики и приведен иллюстрирующий пример.
Б01: 10.7868/80002338813050089
Введение. Работа посвящена построению процедур дискретизации и восстановления (ПДВ) для реализаций указанного в названии класса случайных процессов. Статья представляет собой продолжение и обобщение предыдущих публикаций авторов [1—4], в которых можно найти обзор имеющихся работ по данной теме. Здесь в кратком введении указываются лишь особенности предлагаемой работы; по этой причине список литературы сокращен до минимума.
Для непрерывных процессов типичным методом исследования ПДВ является правило условного среднего (см., например, [5] и цитированную там литературу). При описании ПДВ кусочно-постоянных процессов возникают особенности, которые обсуждались в [1—4]: 1) необходимость определять интервал дискретизации, исходя из заданной вероятности пропуска состояния; 2) необходимость оценивать случайный момент перехода на интервале смены состояния и определить ошибку оценки; 3) процедура дискретизации принципиально оказывается неравномерной.
В [1, 2] изучалась ПДВ для марковских цепей с непрерывным временем, особенностью которых является показательное распределение времен пребывания в состояниях. В [4] исследовалась ПДВ немарковских разрывных процессов с эрланговским (двухпараметрическим) распределением. В этом случае построение ПДВ основывалось на условном марковском процессе с введением ненаблюдаемой компоненты. В [3] рассмотрена задача с произвольными гладкими распределениями времен пребывания в состояниях, однако решение получено в виде, содержащем повторные интегралы; практическое использование этого решения оказывается затруднительным.
В предлагаемой работе построена ПДВ кусочно-постоянных случайных процессов с произвольными гладкими распределениями времен пребывания в состояниях. Очевидно, этот случай обобщает задачи, рассмотренные в [1, 2, 4]. По сравнению с [3] решение оказывается существенно более простым, оно сводится к пересчету моментов распределения случайных точек переключения. Из общего решения можно получать приближенные процедуры различной точности. Выписаны формулы для распределения Эрланга и формулы, основанные на пересчете двух первых моментов.
1. Постановка задачи. Пусть — случайный процесс с дискретным множеством состояний 1, N и непрерывным временем. Пусть время п его пребывания в состоянии] определяется произвольным гладким распределением; интервалы времени между переключениями независимы; переход из состояния] в состояние к происходит с некоторыми вероятностямирук; в начальный момент 10 = 0 задано начальное состояние = £,0.
Предполагается, что нет возможности наблюдать процесс непрерывно, можно лишь измерять его значения в дискретные моменты, которые необходимо определять. Обозначим через 10, ?1, ...
........*------ж---х- -ж
1 т - 1
'в - 1
1 т - 1
А.
Рис. 1. Схема обозначений
т
т
'
в
'
'
П
0
моменты измерений. Пусть известны измерения состояний Гф1) = е 1,N I = 0,п. В очередной момент 'в необходимо выполнить следующие действия:
1) в задаче дискретизации: найти временной интервал Тв, определяющий следующий момент дискретизации 'в+1 = 'в + Тв так, чтобы для любого следующего состояния к вероятность его пропуска не должна превышать заданный уровень у:
тах/'{пропустить к\ ) = I = 0,п} = у; (1.1)
к
2) в задаче восстановления: при ^('в) Ф ^('в-1) оценить момент перехода с минимальной дисперсией и определить дисперсию оценки.
2. Основные соотношения. На рис. 1 /,у, к е 1,N — состояния процесса соответственно в прошлом, настоящем и будущем; это означает ) = /, +1) = ... = = ], ^п+1) = к, I Фу,у Ф к,
= t¡ — левый конец предыдущего (с номером т — 1) промежутка переключения, Т*_1 = ^+1 -^ — его длительность, тт1(/,у) — ненаблюдаемый, отсчитываемый от случайный момент переключения из I в у, ^т-1(х; I, у) — его плотность распределения, 0 < х < Т*-1.
t*, Т *, тт(у, к), wm(y;], к), 0 < у < Т * — соответственно левый конец следующего (с номером т) промежутка переключения, его длительность, момент переключения из у в к и его плотность распределения. Как будет ясно из дальнейшего, плотность wm(y;у, к) момента перехода на следующем интервале переключения определяется по плотности ^т-1(х; /, у) момента перехода на предыдущем интервале переключения; по этой причине будем считать, что плотность ^т-1(х; ¡, у) после (т — 1)-го интервала известна.
Пусть также Пу — случайная величина (с.в.), время пребывания в состоянии у; /у(х), Ц(х) — ее априорные плотность и функция распределения (известные функции); ^у — случайный момент
выхода из у, отсчитываемый от левого конца t*_1 последнего промежутка переключения:
Су = Тт-1(/, у) + Щ (2.1)
ку(х) — соответствующая плотность распределения; ее получим по формуле полной вероятности с учетом независимости времени пребывания Пу от момента тт -1(/,у) выхода из состояния / и того, что /у(х) = 0 при х < 0:
тт(х,Т*-1)
Ну(х) = | (х - и)м>т_1(ы; I,])йи, 0 < х < да. (2.2)
о
В дальнейшем нас будут интересовать, очевидно, значения х > Т*_1, для которых в интеграле верхний предел равен Т*_1.
Пусть в состоянии у проведено несколько измерений (в том числе, возможно, только одно) и
— очередной момент такого измерения, ^(?п) = у, > t*_1 + Т*; 0 = — I*_1 — время, прошедшее
с момента t*_1 (известное неслучайное значение), 0 > Т*_1, 0 — это увеличенное на Т* измеренное время пребывания процесса в состоянии у к текущему моменту п
Далее с.в. в, которая подчиняется условному распределению с.в. а при условии осуществления события А, назовем условной случайной величиной и будем писать в = (а| Д). Пусть ^еу — остаток — 0) времени ожидания момента выхода из у при условии > 0 (т.е. при условии, что выхода из у за время 0 не было):
Се; = ((Су - 0) 1д > 0) = (Су1д > 0) - 0,
соответствующая плотность, очевидно,
кеу(х) = е1ку(0 + х), 0 < х < да (2.3)
с1 = с1(0) — нормирующий коэффициент:
да да
с-1 = Р{£у > 0} = ¡ку (0 + х)йх = | к (х)йх = у(0) = 1 — ^ у(0), (2.4)
0 е
Ру(и) — функция распределения с.в. Су.
Длительность Тп следующего интервала дискретизации определяем из условия (1.1) на вероятность пропуска следующего состояния к, численно решая уравнение
max Р{£еу + Пк < Тп} = max РЩк < Тп} = ^(Т,;у, к*, 0) = у, (2.5)
к: р^к >0 к: р^к >0
где ^(х;], к, 0) — функция распределения суммы случайных величин = ^еу + Щ (к произвольно); в уравнении (2.5) к* — наиболее опасное следующее состояние (т.е. состояние, которое дает наименьшее значение интервала Тп). Функция распределения ^(х; у, к, 0) с учетом (2.3) и независимости слагаемых выражается интегралом:
х 6 + х
¥$(х;], к, 0) = с11ку(0 + ы)Гк(х - ы)ёы = с1 | ¥к(0 + х - и)ку(ы)ёы. (2.6)
06
В следующий момент измерения 1п + Тп возможны две ситуации в зависимости от того, является ли очередной интервал (?п, 1п + Тп) интервалом переключения. Если £,(?п + Тп) = у, т.е. состояние не изменилось, увеличиваем значение 0 на величину Тп, 0 ^ 0 + Тп, и определяем по (2.5) длительность следующего интервала дискретизации. Если же оказывается, что £,(?п + Тп) = к Фу,
т.е. ^еу < Iп + Тп, то имеем следующий т-й промежуток переключения t* + Т*], где t* = 1п, Т* = Тп. На этом интервале определим новое, условное распределение момента ^еу выхода из у (момента перехода из у в известное к) при условии ^еу < Т*; кроме того, учтем предположение, что на t* + Т*] нет другого перехода, т.е. ^еу + Цк > Т*; получаем на промежутке переключения
^*, t* + Т *] ненаблюдаемый случайный момент тт(у, к) перехода из у в к, отсчитываемый от t*; иными словами, тт(у, к) - это условная случайная величина:
Хт(/, к) = (Сеу | Сеу < Ту, ^еу + Пк > Т*); соответствующая плотность распределения:
^еу < Т*, С0у + Пк > Т*} =
™т(у;у, к) = lim ~~ Р{с еу 6 (У - Ду, у)
Ду^-0 Ду
, . 1 Р{С еу 6 (У - Ау, у), С еу < Т*, С еу + Пк > Т*} (2 7)
= Ит~--= (2.7)
Ау^сАу еу < Т*, С еу + Пк > Т*}
= lim f P{Z9i ^ (y -AJ'y)% > T: -Z9j} = c2hej(У)РЩк > T* - y} = ch(0 + y)Rk(T* - y), 0 < у < T*, Ay^cAy P{Zej < t*, Zej + nk > T*}
где
R(x) = Р{Цк > x} = 1 - Fk(x), (2.8)
Fk(x) — функция распределения с.в. nk, с3 = с3(9, T*) — нормирующая константа:
т*
c-1 = P{Z0j < т*, Z0j + Пк > T*} = |h/0 + x)Rk(T* - x)dx. (2.8a)
c
Поясним последовательность выражений в (2.8). Во втором выражении в числителе под знаком
вероятности записано произведение трех событий; при значениях у, Ау < у < T*, первое событие влечет за собой второе, и потому под знаком вероятности остается произведение первого и третьего; при Ау ^ 0 имеем нужный результат.
Объединяя (2.2) и (2.8), получаем зависящий от времени 9рекуррентный пересчет плотности момента перехода wm-1(x; i, j) в wm(y, j, k):
Tm-1
Wm(y, j, k) = cRTT* - y) | fj(y + 0 - x)wm_i(x; i, j)dx, 0 < у < T*. (2.9)
c
По плотности wm(y,j, k) определяются моменты распределения. Момент порядка s, s = 0, 1, 2, ...:
T*
1m
ms(i, k) =|yswm(y; j, k)dy, m0(j, k) = 1. (2.10)
c
Лучшей (в смысле минимума дисперсии) оценкой тm(j, к) для неизвестного момента Tm( j, k) перехода является первый момент, а ее дисперсией — второй центральный момент:
Tm(j к) = Mtm(j, к) = m1( j, k), Dtm(j, k) = m2(j, k) - mj2(j, k), (2.11)
где M, D — операторы математического ожидания и дисперсии соответственно.
В заключение этого раздела отметим, что анализ, проведенный здесь, сделан в предположении,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.