Автоматика и телемеханика, № 6, 2011
© 2011 г. И.В. РАСИНА, канд. физ.-мат. наук (Сибирская академия права, экономики и управления, Иркутск)
ДИСКРЕТИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ1
Дискретизация непрерывных процессов - типичная процедура при построении вычислительных алгоритмов. Однако наиболее простые способы дискретизации на основе кусочно-постоянного управления могут оказаться некорректными, когда ожидаемое решение имеет характер скользящего или импульсного скользящего режима. Для корректной и эффективной дискретизации предлагается использовать обобщенные решения непрерывных систем, описываемые регулярным образом посредством релаксационных расширений. Предлагается также неявная схема, использующая концепцию модели дискретно-непрерывного процесса. Приводятся примеры.
1. Введение
При исследовании сложных нелинейных систем математическими методами теории управления построение модели на этапе постановки задачи и ее активные преобразования, эквивалентные и упрощающие приближенные, рассматриваются как важный активный ресурс при построении методов поиска практически приемлемых решений. Его эффективное использование может быть связано с усложнением вычислений и возрастанием их объема, но становится реальным с учетом быстрого прогресса в компьютерном мире.
Все реальные процессы протекают во времени непрерывно, быстро или медленно, но их представление математическими моделями может быть как непрерывным, так и дискретным в зависимости от методов исследования и способов реализации.
Дискретные динамические модели управляемых систем - это весьма важный в теоретическом и практическом отношении класс математических моделей, охватывающий очень широкий круг реальных объектов и возможных подходов к исследованию задач управления.
Характерными объектами для дискретного представления являются процессы с поэтапным изменением описания (сложные процессы) [1-4]. Так, сложность современных практических проблем управления неизбежно заставляет рассматривать процесс реального управления как чередование этапов анализа ситуации и принятия решений. Другие примеры такого рода - многооперационный технологический процесс, межпланетный космический перелет, шагающий робот и т.п.
Дискретные модели, естественно, используются для применения развитых методов нелинейного программирования к решению задач оптимального управления [5-7].
Если исходное описание непрерывно по времени, то для его представления дискретной моделью требуется дискретизация в той или иной форме.
При использовании методов теории управления необходимость дискретизации непрерывных процессов неизбежно возникает на этапе численной реализации полученных теоретических результатов. Но на этом этапе результирующие процессы
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 09-01-00170-а).
представляются, как правило, некоторыми замкнутыми системами дифференциальных уравнений, так что дело сводится к применению известных методов численного интегрирования.
Обращение же к дискретным во времени моделям управляемых систем на более ранних этапах исследования дает то преимущество, что позволяет обойти обременительные теоретико-функциональные требования в применяемых схемах и алгоритмах таких, например, как известная схема Беллмана, глобальная или локализованная. Однако при этом сложности теоретико-функционального характера переносятся на сами процедуры дискретизации, которые здесь не сводятся к численному интегрированию. Хотя в любом случае процедура начинается с разбиения временного интервала на элементарные промежутки, дальнейшие шаги отличаются большим разнообразием в зависимости от гипотез о непрерывном управлении на элементарных промежутках (которые, в свою очередь, зависят от содержания задачи и целей дискретизации), так что одной и той же непрерывной модели могут отвечать различные дискретные модели и соответствующие процедуры дискретизации.
Главные трудности возникают в связи нерегулярностью непрерывных моделей, характерной для приложений, когда ожидаемое решение задачи управления представляет собой далекий от непрерывного процесс, порождаемый частыми (в пределе - бесконечно частыми) переключениями управления, ограниченного или неограниченно возрастающего по интенсивности (скользящий или импульсный скользящий режим). При этом наиболее простой известный способ дискретизации на основе кусочно-постоянного управления приводит к неадекватной или крайне неэффективной дискретной модели. С другой стороны, использование обобщенных решений непрерывных систем, представляющих регулярным образом указанные ситуации, дает возможность провести корректную и эффективную дискретизацию.
Цель данной работы рассмотреть теоретические вопросы применения обобщенных решений на фоне общих принципов дискретизации управляемых систем в наиболее типичных случаях и проиллюстрировать результаты наглядными примерами.
2. Непрерывная и дискретная модели управляемой системы
Рассматриваются следующие общие модели управляемой системы - непрерывная
(1) х = / (г,х,и), т е т = [г/, тр], ж е м™, и е и (т,х) с
и дискретная
х(г + 1) = /(г,х(г) ,и), г е т = [г11г1 + 1,...,гр},
(2) х е м™, и е и (г, ж) с мр.
Иначе они могут быть представлены в формах включений:
(3) х е V (г,х) = / (г,х, и (г,х)),
(4) х (г + 1) е п (г, х (г)) = / (г, х (г), и (г, х (г))).
Непрерывная система рассматривается при естественных для практических задач теоретико-функциональных предположениях о непрерывности правой части, кусочной непрерывности допустимых программ управления и(г) и кусочной гладкости соответствующих траекторий х(г). Наряду с допустимыми решениями - парами (х(г),и(г)), удовлетворяющими условиям (1) или (3), в зависимости от характера множества скоростей V могут быть обобщенные решения, т.е. такие недопустимые непосредственно пары (х(г),и(г)), которые аппроксимируются с любой точностью бесконечными последовательностями допустимых достаточно сложной структуры.
Обобщенные решения могут быть описаны регулярным образом посредством релаксационных расширений множества допустимых решений двух типов [8].
Расширения первого типа получаются путем овыпукления множества скоростей. Наряду с (3) рассматривается ослабленная система
(5) Х е Ус (т,х),
где ~Ус = соУ - выпуклое замыкание множества V. При естественных предположениях любая допустимая траектория системы (5) Х(£) может быть приближена равномерно на ограниченном отрезке времени последовательностью траекторий х8(£) системы (3) [8, 9]. При этом если Х(т) е V(т,Х(т)), то Хя(т) ^ Х(т) почти всюду, а в противном случае Хя(т), как говорят, сходится к скользящему режиму.
Расширения второго типа относятся к системам с неограниченным множеством скоростей. Рассмотрим наиболее распространенный случай - систему с неограниченным линейным управлением
(6) Х = д (т, х, мх) + к (т, х) «2, «1 е их(т, х), и2 е и порождаемую ею предельную систему
(7) ^-=}г{т,х)и<2, «2€М*, ар
которая описывает асимптотически поведение исходной системы (6) при больших значениях управления «2. Пусть предельная система при каждом т имеет семейство т-мерных гладких инвариантных многообразий (т ^ &)
Ц (т,у) = {х: ц (т,х)= у}, у е К"-т,
на каждом из которых она полностью управляема. Построим систему
(8) у = цжд (т,х,их)+ цт, е Их (т,х), х е Ц (т,у),
называемую производной по отношению к исходной (6). Это - управляемая система, аналогичная исходной, но имеющая меньший порядок. Тем самым вводится множество Ех кусочно-непрерывных функций х (т), играющих в этой системе роль управлений. Очевидно, любое решение системы (6) удовлетворяет (8), обратное неверно, так что С Ех, где - множество допустимых траекторий системы (6).
Однако для любой траектории х (т) е Ех существует последовательность {хя (т)} С Ох, сходящаяся к х (т) по мере на ограниченном отрезке т, причем хя (та) ^ х (та) для любого фиксированного конечного множества {та} С Т [8] (теорема 2.2, в ходе конструктивного доказательства которой эта последовательность фактически строится). Она может быть весьма сложной, такой что на ней неограниченно растет число точек разрыва управления «2 одновременно с неограниченным ростом его величины.
Решение производной системы (8) рассматривается как обобщенное решение исходной (6), называемое импульсным скользящим режимом. Производная система служит для регулярного описания множества обобщенных решений исходной системы.
3. Дискретизация: общий подход
Дискретизация состоит в преобразовании непрерывной модели (1) в дискретную (2) и выполняется точно или приближенно. В любом случае производится
разбиение непрерывного отрезка времени, на котором определена система, на элементарные промежутки конечным (или счетным в случае неограниченного отрезка [т/, тр]) числом точек то = т/, т/+1,..., тр, каждой из которых присваивается целочисленный номер г: г/,г/ +1,... ,гр.
Далее на каждом элементарном отрезке [т4,т4+1] любому состоянию х (г) в момент т ставится множество состояний х (г + 1), отвечающее точно или приближенно всевозможным решениям непрерывной системы (1) на этом промежутке, начинающемся из точки (т4,х (г)). Иными словами, строится точное или приближенное множество достижимости системы на этом промежутке, которое и принимается за множество переходов П (г,х (г)) дискретной системы в форме (4).
Напомним, что множеством достижимости Хд (в, , т) системы (1) или (3) в момент т, порожденным множеством в момент в называется множество точек г, для каждой из которых существует решение системы х (г), такое что х (в) е , х (т) =
Таким образом, принципиально возможна точная дискретизация непрерывной системы. В этом случае
п (г,х (г)) = Хд (т4, {х (г)},тт),
т.е. за множество переходов получающейся дискретной модели принимается множество достижимости непрерывной системы, порожденное в момент т одноточечным множеством {х(г)}.
Точная дискретизация представляет, главным образом, теоретический интерес, поскольку практически точно описать множество достижимости в общем случае невозможно. Она может быть использована (и действительно использу
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.