ВОДНЫЕ РЕСУРСЫ, 2011, том 38, № 5, с. 538-547
ГИДРОФИЗИЧЕСКИЕ ^^^^^^^^^^^^ ПРОЦЕССЫ
УДК 551/461.24(262.81)
ДИСКРЕТНАЯ ДИНАМИКО-СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МНОГОЛЕТНИХ КОЛЕБАНИЙ РЕЧНОГО СТОКА1 © 2011 г. А. В. Фролов
Институт водных проблем Российской академии наук 119333 Москва, ул. Губкина, 3 Поступила в редакцию 04.03.2010 г.
Предложена модель многолетних колебаний речного стока, в основе которой используется разностное стохастическое уравнение водного баланса водосбора. Осадки и испарение на водосборе моделируются статистически зависимыми негауссовыми Марковскими процессами. Многолетние колебания речного стока описываются компонентой трехмерного негауссова Марковского процесса. Показана возможность отрицательности коэффициентов автокорреляции и асимметрии речного стока. Предложенная модель может быть использована для оценки влияния климатически обусловленных изменений режима осадков и испарения на водосборе на многолетние колебания речного стока.
Ключевые слова: многолетние колебания речного стока, динамико-стохастические модели, Марковские процессы, стохастическое уравнение водного баланса речного водосбора.
Моделирование многолетних колебаний речного стока относится к одной из основных задач гидрологии. Исторически существует два основных похода, применяемые при таком моделировании: динамико-стохастический и чисто статистический.
Физический базис динамико-стохастических моделей — уравнение водного баланса речного водосбора. Моделирование процесса многолетних колебаний речного стока на основе стохастического уравнения водного баланса водосбора впервые было предложено, по-видимому, М. Фийрингом [27] и в дальнейшем получило развитие в работах В. Клемеша [29, 30] и других исследователей, например [7, 24, 25, 33, 34].
В этих работах речной сток рассматривается как выходной процесс гидрологической системы осадки—испарение —»- сток с водосбора, зависящий как от статистических характеристик входных процессов — осадков и испарения, так и от параметров детерминированной зависимости речного стока от запасов воды на водосборе. Примеры динамико-стохастического моделирования речного стока для интервалов времени меньше года можно найти, например, в монографии [11].
Математическое описание многолетних колебаний стока при использовании чисто статистического подхода дается условными и безусловными функциями распределения вероятностей и/или дискретными уравнениями типа авторегрессии — скользящего среднего [2] (также другими, идейно
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 04-05-65010 и 08-05-01064).
подобными), полученными при статистической обработке рядов наблюдений за речным стоком. При этом, в отличие от динамико-стохастического подхода, при оценке параметров функций распределения никак не используется ни зависимость стока от основных стокоформирующих процессов — осадков и испарения по водосбору, ни физический механизм, формирующий колебания стока. Однако, как отмечали Д.Я. Раткович и М.И. Фортус [19], "... даже при точном знании статистических характеристик возможности чисто стохастических моделей ограничены. Гораздо предпочтительней модели, использующие одновременно и физические законы, и статистическую информацию". Разработка динамико-стохастических моделей, использующих уравнение водного баланса водосбора в качестве физического механизма формирования стока, представляется шагом в направлении преодоления упомянутой выше ограниченности чисто стохастических моделей.
Разработка дискретной (разностной) модели многолетнего речного стока, в дополнение к ранее полученной автором непрерывной (дифференциальной) модели [25], вызвана потребностью максимального учета многообразия режимов колебаний как собственно стока, так и основных стокоформи-рующих процессов — осадков и испарения на речном водосборе. В частности, необходим учет возможной отрицательной автокоррелированности основных стокоформирующих процессов — осадков и испарения по водосбору. Реальность отрицательной автокоррелированности осадков подтверждается статистическим анализом данных, приведенных в монографии [1], согласно которым
коэффициент автокорреляции для многолетних колебаний осадков, усредненных по крупным территориям, может достигать значений —0.14...—0.17. Заметим, что отрицательная автокоррелирован-ность некоторых других многолетних процессов оказывается совсем не редкостью, например, отрицательная автокорреляция отмечалась в изменениях (приращениях) объемов горных ледников (в 7 случаях из 26; до —0.3 [7]), в речном стоке (в 50 случаях из 339; до -0.33 [18]).
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Выбор моделей входных процессов - осадков и испарения по водосбору опирается на результаты многочисленных исследований, содержащихся в работах [1, 3-5, 7, 20, 21]. В монографии С.Г. Добровольского [7] изложены результаты анализа около 500 рядов наблюдений над осадками на различных метеостанциях. В преобладающем числе случаев наилучшие модели многолетних изменений осадков - либо марковские процессы первого порядка, либо процесс белого шума.
Результаты по стохастическому моделированию испарения с достаточно больших территорий приведены в работе Е.М. Гусева и др. [4]. В соответствии c результатами этой работы, многолетние колебания испарения близки к белому шуму или же к марковскому процессу с малым коэффициентом автокорреляции.
Физическое обоснование автокоррелирован-ности (фактически — свойства марковости) процессов многолетних колебаний осадков на водосбор и испарения с его поверхности представляется задачей, до сих пор не решенной в полном объеме. Можно только предположить реальность такой автокоррелированности (хотя бы и близкой к нулю), используя соображения относительно возможного свойства марковости метеорологических полей. Эти соображения, опирающиеся на гипотезу А.Н. Колмогорова об асимптотической марковости турбулентного потока в среде с исчезающей вязкостью, приведены в монографии А.С. Монина [13]. Если гипотеза о физически обусловленной марковости процессов многолетних колебаний осадков и испарения верна, то, несмотря на малую величину коэффициентов автокорреляции этих процессов (и, заметим, иногда формально статистически мало достоверную), эти коэффициенты должны приниматься во внимание.
Функции распределения осадков и испарения в общем случае негауссовы, что сразу следует из ограниченности снизу нулем значений этих процессов.
Таким образом, в качестве моделей многолетних колебаний осадков и испарения естественно принять дискретные (по отношению ко времени) негауссовы марковские процессы (процессы авторегрессии первого порядка). Коэффициенты авто-
539
корреляции этих процессов могут быть как положительными, так и отрицательными (свойство марковости процесса никак не связано со знаком его автокорреляции). Это обстоятельство существенно отличает дискретные авторегрессионные модели от непрерывных. Знаки коэффициентов асимметрии осадков и испарения также могут быть произвольными, что позволяет учитывать отрицательную асимметрию этих процессов.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ
Разностное уравнение водного баланса речного водосбора имеет вид
щ = щ-1 + Р( - е - я,, (1)
где wt — величина эффективных запасов воды на водосборе (суммарные запасы воды в речной сети, озерах, болотах, почвах вместе с подземными водами, участвующими в формировании речного стока), р, — осадки на водосбор, е, — испарение с водосбора, qt — величина годового стока с водосбора, , — время (годы). Без уменьшения общности будем считать, что входящие в уравнение (1) значения всех процессов представляют собой отклонения от средних значений. Использование уравнения (1) предполагает, что отсутствует водообмен с другими водосборами и рассматривается ненарушенный техногенным влиянием (изъятиями воды или дополнительным стоком из других речных бассейнов) режим колебаний речного стока. Все величины, входящие в (1), имеют размерность слоя. Поскольку уравнение (1) описывает колебания годовых величин эффективных запасов воды, то предполагается, что осадки р ,и испарение е, заданы годовыми значениями.
С учетом изложенного в предыдущем разделе, в качестве моделей процессов многолетних колебаний осадков р,(,) и испарения е,(,) используем марковские (авторегрессионные) негауссовы процессы первого порядка
Р, = ГрР,-1 + Пр,,, (2)
и
е = ж-1 + пе,,, (3)
где гр, ге — коэффициенты автокорреляции осадков и испарения соответственно, пр,, пе, — белые негауссовы шумы с нулевыми средними и дисперсиями
е = (Пе) и аП,Р ~(пр)'> угловые скобки здесь и в дальнейшем означают статистическую операцию усреднения. Если гр = 0, ге = 0, то осадки и испарение представляют собой белые шумы. Процессы
пр,, пе, предполагаются взаимно-коррелированными с коэффициентом корреляции гп
п, р ,е
Гп, р,е® п,е = (Пр, 1Пе,,) ,
(4)
таким, что обеспечивается заданная корреляция между осадками и испарением. Предполагается также, что белые негауссовы шумы имеют третьи центральные несмешанные моменты, обеспечивающие заданные значения асимметрии осадков и испарения.
Для замыкания уравнения (1) необходимо задать зависимость между запасами воды на водосборе и стоком с водосбора. В качестве таких зависимостей часто используются линейная q = ат и нелинейные зависимости вида q = в е/((т) или q = к g(w), где q — сток с водосбора, м> — эффективные запасы воды на водосборе, а, в, и к — числовые коэффициенты; /Щ) и g(w) — некоторые функции от эффективных запасов [8, 16, 17, 24, 25, 28-34]. Б.М. Долгоносов [8] получил на основе физического подхода действительно "фундаментальное соотношение между стоком и влагозапасом воды на водосборе" в виде степенной функции
д = к¥ .
(5)
Показатель степени Ь отражает доминирующий режим стока с водосбора — ламинарный, турбулентный или промежуточный, Ь изменяется от 3/2 до 3. Величина коэффициента к зависит от длины водосбора и от среднего уклона.
Во всех отмеченных выше работах водосбор рассматривался как некоторый проточный водоем с оттоком — речным стоком с водосбора. Исчерпывающее обоснование такого представления речного водосбора подробно изложено в работах В. Клемеша [29—31
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.