РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2012, том 57, № 9, с. 968-977
^=К 100-ЛЕТИЮ Я.Н. ФЕЛЬДА
УДК 621.372;537.86;537.87
ДИСПЕРСИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МОД ВОЛНОВОДА
ИЗ МЕТАМАТЕРИАЛА
© 2012 г. А. Б. Маненков
Институт физических проблем им. П.Л. Капицы РАН, Российская Федерация, 119334, Москва, ул. Косыгина, д. 2 E-mail: manenkov@kapitza.ras.ru Поступила в редакцию 14.02. 2012 г.
Исследованы собственные и несобственные моды планарного диэлектрического волновода, изготовленного из метаматериала. Рассчитаны дисперсионные зависимости и распределения полей мод для систем с кусочно-постоянными и параболическими профилями проницаемостей. Показано, что в волноводе с переменными профилями проницаемостей можно наблюдать эффект аномально сильного возрастания магнитного поля. Изучено влияние нелинейностей сред на коэффициенты распространения мод.
ВВЕДЕНИЕ
В последние годы значительно возрос интерес к изучению процессов распространения волн в открытых волноводах, изготовленных из искусственных материалов (композитов) [1—4]. При создании таких материалов появились новые возможности для разработки уникальных микроволновых и оптических устройств. Подобные устройства можно применять в системах телекоммуникации, при разработке различных датчиков, при конструировании биомедицинского оборудования и т.д.
Искусственные диэлектрики начали исследовать достаточно давно (см., например, [5, 6]), однако только сравнительно недавно успехи современной технологии позволили реализовать некоторые старые и многочисленные новые идеи, в частности создать среды с наперед заданными свойствами, в том числе метаматериалы [7], т.е. среды с одновременно отрицательными диэлек-
1
трической и магнитной проницаемостями . В последние годы были разработаны метаматериалы нового типа, параметры которых могут перестраиваться при воздействии внешних (обычно статических) полей [8]. Создание подобных материалов еще больше расширяет область применения таких сред.
Исследования задач распространения волн в направляющих структурах, изготовленных из ме-таматериалов, проводят уже более 10 лет, однако ряд важных вопросов, таких как анализ несобственных мод, влияние переменного профиля на свойства волн, влияние нелинейностей сред и
пространственной дисперсии материалов, исследован поверхностно или совсем не исследован. Цель данной работы — проанализировать некоторые из упомянутых выше вопросов, а также исследовать ряд эффектов, которые отличают волноводы из композитов от волноводов из "обычных" диэлектриков.
1. ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ
Будем исследовать планарный симметричный волновод, у которого характеристики среды при у > 0 и у < 0 совпадают (рис. 1а). В центральном волноведущем слое в области |у| < dg проницаемости е2 и ц2 зависят от поперечной координаты у и от амплитуды полей. Здесь ±dg — координаты плоскостей, выше и ниже которых параметры сред постоянны. В дальнейшем предполагаем, что волно-ведущий слой изготовлен в общем случае из нелинейного метаматериала. Этот слой окружен сверху и снизу (при У| > dg) линейными полубесконечными средами с проницаемостями е1 и ц1.
Для определенности рассматриваем моды ТЕ-типа, у которых электрическое поле имеет только одну компоненту Ех (рис. 1а), а магнитное — две компоненты: Ну и И7. Поля зависят от координат у и г, а также от времени Будем исследовать гармонические процессы, предполагая, что временная зависимость имеет вид ехр(—¡Ш), где ш — частота.
В центральном слое диэлектрическая е и магнитная ц проницаемости определяются соотношениями
1 Метаматериалы иногда называют "левыми" материалами, а также средами с отрицательными показателями прелом-
ления.
6 2 = sfV) + qe(y, \EX\2),
^ = ^20)(y) + qm(y,[\Hy (y)|2 + H (y)|2])>
где в 2 и ц 2 — линейные члены (в общем случае комплексные функции). Как обычно, вторые (нелинейные) члены в (1) предполагают малыми. Вблизи оси волновода действительные части про-
ницаемостей отрицательны: Ree 20) < 0 и Rep, 20) < 0, а в окружающей среде Res1 > 0 и Re^1 > 0. Считаем также, что все среды имеют диэлектрические и магнитные потери, т.е. во всех точках пространства Ims > 0 и 1тц > 0. Как будет показано ниже, наличие диссипации в средах в ряде случаев является необходимым условием для существования решения данной задачи.
Как известно, в волноводах, у которых нелинейности отсутствуют (qe = qm = 0) или нет потерь (Ims = 1тц = 0), поля направляемых мод (НМ) имеют вид волн, бегущих вдоль оси г. В этом случае все компоненты полей пропорциональны множителю exp[/(ßz — ш/)], где ß — комплексная константа распространения. Такое представление решения возможно, поскольку при указанных выше условиях в уравнениях Максвелла переменные разделяются. В общем случае, когда присутствуют и потери, и нелинейность среды, переменные не разделяются и решение становится более сложным [9, 10]. За счет потерь амплитуды полей будут убывать при увеличении координаты г, и, следовательно, величина s или ц будет дополнительно зависеть от координаты г (так как во вторых слагаемых в формулах (1) появится зависимость от продольной координаты).
Заметим, что затухание полей может быть не только за счет диссипации энергии в среде, но и за счет, например, излучения из волновода (из-за радиационных потерь), как у вытекающих мод. Если потери малы, т.е. |Imß| < |Reß|, а также малы нелинейные коэффициенты, то значения прони-цаемостей с ростом г будут изменяться в небольших пределах и медленно (в масштабе длины волны Следовательно все характеристики моды будут медленно меняющимися функциями координаты г [9].
Процесс распространения мод в рассматриваемой системе будет напоминать процесс распространения волн в волноводе с линейными средами, у которого медленно изменяются его параметры [11, 12]. Поэтому в первом приближении решение нелинейной задачи можно искать в виде бегущих волн с медленно изменяющимися вдоль оси г амплитудой, фазовой скоростью и распределениями полей. В таком случае приближенно электрическое поле пропорционально выражению
A(z)exp[i(q(z) -©01 (2)
где А(г) и ф(г) = ф(А(г)) — комплексные функции (А(г) — амплитуда поля на оси волновода). При этом производная комплексной фазы равна дф/дг = ß(A(z)), где ß — комплексный (с учетом потерь) коэффициент распространения моды,
(а) dg ' У еь M1
......... p-.(y) м-.(y)
......... p2v/> M2W
::::::::::::::::::: г
~dg
(б)
Re M(y) Re M1
0 2 /У* dg y
1
Рис. 1. Геометрия задачи: а — плоский волновод из ме-таматериала; б — профили магнитной проницаемости: 1 — кусочно-постоянный, 2 — параболический.
который медленно изменяется при изменении г. Для определенности ниже исследуем моды, у которых 1шР > 0.
Как отмечалось выше, рассматриваемая нелинейная задача похожа на линейную задачу распространения волн в нерегулярных волноводах с переменными параметрами [11, 12]. Ее можно анализировать при помощи методик, которые во многом похожи на методы, используемые в теории таких структур (например, метод возмущений или метод поперечных сечений). Вывод всех уравнений проводится по схеме, описанной в [9]. Для волновода с малыми потерями и нелинейно-стями распространение мод происходит "адиабатически", т.е. свойства моды медленно изменяются при изменении координаты г. В каждом сечении характеристики моды зависят от амплитуды А(г). В дальнейшем не будем рассматривать зависимости полей от продольной координаты, а исследуем только локальные свойства мод, т.е. рассматриваем структуру мод в произвольном фик-
сированном поперечном сечении волновода (как в методе поперечных сечений [11]).
Учитывая сказанное выше, из уравнений Максвелла при фиксированном значении г можно получить следующие приближенные уравнения для локальных полей:
дн
ду
- /р Ну = -1кгЕх
д_Ех_ у
(3)
= -кр.Н^, кр.Ну = р Ех,
где к = ш/с — волновое число в вакууме, с — скорость света. Таким образом, на каждом малом интервале оси г решается краевая задача при фиксированном ("замороженном") значении амплитуды поля А. Уравнения (3) должны быть дополнены условием на бесконечности (т.е. при |у| ^ да). Для численного решения системы (3) удобно использовать две вспомогательные функции:
и (у) = Ех, У(у) = -1Нг. (4)
Из формул (3) получим следующие два уравнения:
V = к^У, V = [р2/(кц) - к&\и. (5)
Для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (5) можно применить различные стандартные численные методики, в том числе и для случая, когда эта система является жесткой [13, 14].
Локальное дисперсионное уравнение (ДУ) для рассматриваемой моды в произвольном сечении волновода получается по следующей схеме. В силу симметрии геометрии задачи ниже будем рассматривать лишь верхнюю половину системы, изображенной на рис. 1а (при у > 0). Для определенности будем исследовать четные (симметричные) моды. С учетом условия на бесконечности поле вне волновода |у| > dg можно представить в виде
Ех = и = Вехр[-Л(у| - )], (6)
где dg — координата верхней границы волноведу-щего слоя, р1 — внешнее поперечное волновое число (в общем случае комплексное). Здесь через В обозначена амплитуда электрического поля моды на границе центрального слоя. Волновые числа мод связаны соотношением
Р2 * 2 2 2 2 = к щ + р, п = 6^!.
(7)
Для вывода ДУ интегрируем систему (5) в "обратном" направлении: от точки у = dg до точки на оси у = 0, используя начальные значения, которые получаются из (6):
и(^) = В, ) = -р\В. (8)
В конечной точке у = 0 полученное значение функции ¥(0) приравниваем к нулю в силу четно-
сти мод данного типа. Таким образом, для четных мод ДУ можно записать в виде ¥(0) = 0 [15]. Отметим, что значения корней этого ДУ в общем случае (для нелинейной задачи) зависят от амплитуды поля В.
2. ВОЛНОВОД С ПОСТОЯННЫМИ ПРОФИЛЯМИ
Рассмотрим сначала случай, когда нелинейные эффекты во всех средах отсутствуют. Прежде всего опишем кратко свойства мод в волноводе с кусочно-постоянными профилями проницаемо-стей (более подробно см. в [1, 3]). Вид профиля ц(у) для этой системы показан на рис. 1б (кривая 1). Для волновода, у которого е2 =
= 620)(0), ц = и20)(0) и де = дт = 0, для четных мод ДУ имеет вид
Р^ = И20))С?2^М,?2^), g2 = к46
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.