Тер-Акопянц Г.Л., аспирант Санкт-Петербургского государственного морского технического университета
ДИСПЕРСИОННЫЕ КРИВЫЕ И МОДАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЛН В ОБОЛОЧКЕ С ЖИДКОСТЬЮ
В работе исследуется распространение волн в упругой цилиндрической оболочке, заполненной несжимаемой и сжимаемой жидкостью, в режиме изгибных колебаний. Рассматриваются модели несжимаемой и сжимаемой жидкости. В этих двух случаях найдены решения дисперсионного уравнения, найдены дисперсионные кривые и модальные коэффициенты. Проанализировано изменение модальных коэффициентов на частотах, где затухающие волны переходят в распространяющиеся. Исследовано влияние на модальные коэффициенты эффекта сближения дисперсионных кривых в случае сжимаемой жидкости.
Ключевые слова: упругая цилиндрическая оболочка с жидкостью, распространение волн, дисперсионные кривые, модальные коэффициенты, частота отсечки.
DISPERSION CURVES AND MODAL PATTERNS OF THE WAVE PROPAGATION
IN A FLUID-LOADED SHELL
Wave propagation in the elastic cylindrical shell filled with fluid has been studied for the case of the beam mode. Dispersion equation, dispersion curves and modal patterns are considered for the cases o f incompressible and compressible ^fluid. Changes in the modal patterns ^for ^frequencies at the transform point between evanescent and propagating waves are analyzed. The influence of the veering effect on the modal coefficients of the dispersion curves ^ for the case of a compressible ^ fluid is investigated.
Keywords: elastic cylindrical fluid-filled shell, wave propagation, dispersion curves, modal patterns, cut-on frequency.
Введение
Целью работы является исследование распространения упругих волн в тонкой упругой бесконечной цилиндрической оболочке, заполненной несжимаемой или сжимаемой жидкостью, анализ дисперсионных кривых и модальных коэффициентов.
Методы решения и полученные результаты.
Будем искать решения системы динамических уравнений равновесия в перемещениях, учитывающей наличие жидкости внутри оболочки, (см. [1]) в виде:
u ( z, ç, t ) = e
U cos mç
Vsinmç , (1)
W cos mç
где г - продольная безразмерная координата, О - частота, к - приведённое осевое волновое число, т - фиксированное число окружных волн.
Выбор перемещений в виде (1) означает, что чисто мнимые значения к соответствуют распространяющимся волнам, а чисто вещественные - затухающим волнам, не осциллирующим по продольной координате. Из пары волн, распространяющихся или затухающих в противоположных направлениях, будем рассматривать только одну, распространяющуюся ( 1т(к) > 0 ) или затухающую (Яе(к) < 0 ) в направлении оси 0г. Дисперсионное уравнение запишется в виде:
ёй Ь = 0,
(2)
где
(
Ь =
,2 1 — V 2 2
к--т + с
1+ V
2
1 ±V 2
vk
кт
кт
+ 4а)к 2 — (1 + а)т 2 + с2
2 3
т — а(2 — v)k т + ат
vk
23 — т + а(2 — v)k т — ат
1 + а (к 2 — т 2)2 — с2
'1(к)'
//
1 2 „2 1— V г>2г\2
со - приведенная частота, со = р
Я2^2, а = к2
р к
2 , р, рА - плотности оболочки и
Е /12 Я
жидкости , к - толщина, Я- срединный радиус оболочки, Е, V - упругие константы.
Jm (к ) Jm (к )
/т (к) =
д^ т (Гк ) тЗп (к) — к1 т+\ (к)
дт т=1
(т>1),
для несжимаемой жидкости,
/т (кС) =
(т>1), для сжимаемой, с, с ^ - скорости звука в оболочке и в жидкости соответствен-
но.
Дисперсионные кривые представлены на рис.1. Для сжимаемой жидкости они впервые получены, по видимому, в [3]. Для нахождения модальных коэффициентов использовался метод, отличающийся как от классического (см. [3]), по которому радиальное перемещение фиксировалось равным 1, а продольное и окружное находились из любой пары уравнений, так и от метода, описанного в [5], по которому модальные коэффициенты для оболочки без жидкости искались, как собственные вектора линейного оператора. В используемом методе для нахождения модальных коэффициентов к любой паре уравнений добавлялось условие нормировки, в результате чего определялись модальные коэффициенты с точностью до множителя ± 1; ± г. Для несжимаемой жидкости они показаны на рис.2.
2
Рис. 1. Дисперсионные кривые для оболочки с несжимаемой и сжимаемой жидкостью. Чёрной пунктирной линией для несжимаемой жидкости показаны полностью
комплексные корни.
Рис. 2. Модальные коэффициенты для оболочки с несжимаемой жидкостью.
Анализ рис.1 и 2 показывает, что для красной дисперсионной кривой, характеризующей распространяющуюся волну во всем диапазоне частот, окружное и радиальное перемещения синфазны по осевой координате, но находятся в противофазе с осевым во всем диапазоне частот. Распространяющаяся волна, зарождающаяся как радиально-окружная, становится, начиная с 0)~ 0.6, преимущественно радиальной. На частоте 0)~ 0.28 происходит перемена знака у продольного перемещения. Для синей дисперсионной кривой, которая до®~ 0.6 характеризует затухающую волну, а затем распространяющуюся, при 0<о<0.6 все перемещения синфазны, а, начиная с (0~ 0.6, осевое находится в противофазе с синфазными окружным и радиальным. На частоте О ~ 0.28 происходит перемена знака у окружного перемещения. На частоте О)~ 0.6 окружное и радиальное перемещения обращаются в ноль и меняют фазу, а продольное достигает максимума, равного 1. Зелёная дисперсионная кривая
до частоты 0)~ 1.06 характеризует затухающую волну, а после распространяющуюся. Все три перемещения синфазны до этой частоты, а после неё продольное находится в противофа-зе с синфазными окружным и радиальным. Продольное перемещение при О ~ 1.06 обращается в ноль и меняет фазу, а окружное достигает максимума. Распространяющаяся волна, зародившаяся при О)~ 1.06 как преимущественно окружная, с ростом частоты становится преимущественно продольно-окружной.
На рисунке 3 представлены модули модальных коэффициентов первых трёх волн для оболочки со сжимаемой жидкостью. Для более наглядного представления о поведении модальных коэффициентов на частотах, где дисперсионные кривые сближаются, не пересекаясь (veering), на рис.4 они показаны для пятой дисперсионной кривой. Обнаружено, что осевые и радиальные перемещения на этих частотах претерпевают резкие изменения, а радиальное перемещение близко к нулю, что полностью согласуется с упомянутыми в [2] процессами обмена энергией между перемещениями.
Рис. 3. Модальные коэффициенты для оболочки со сжимаемой жидкостью
Рис. 4. Модальные коэффициенты для оболочки со сжимаемой жидкостью
Заключение
Предложенный метод позволил проанализировать модальные коэффициенты для оболочки, заполненной несжимаемой или сжимаемой жидкостью, как с точки зрения их относительных величин, так и с точки зрения их нахождения в одинаковой фазе или в противофазе по осевой координате. Анализ влияния эффекта сближения дисперсионных кривых в случае сжимаемой жидкости на некоторых частотах (veering) показал, что на этих частотах продольные и окружные перемещения претерпевают резкие изменения, а радиальное близко к нулю.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тер-Акопянц Г.Л., Тер-Акопянц Л.Г. Влияние отношения плотностей жидкости и материала на дисперсионные кривые упругой цилиндрической оболочки // Современные про-
блемы науки и образования. - 2014. - № 5; URL: http://www.science-education.ru/119-15254
2. Филиппенко Г.В. Анализ потоков энергии в бесконечной цилиндрической оболочке контактирующей со сжимаемой жидкостью. XXVII сессия Российского акустического общества. Санкт-Петербург,16-18 апреля 2014г.
3. Fuller C.R., Fahy F.J. Characteristics of wave propagation and energy distributions in cylindrical elastic shells filled with fluid. // Journal of Sound and Vibration (1982) 81(4), pp. 501-518.
4. Leissa A. Vibration of shells, Acostical societe of America, 1-56396-293-4.
5. Yu-Cheng Liu,Yun-Fan Hwang, Jin-Huang Huang. Dispersion relations and modal patterns of wave in a cylindrical shell.// Wave process in classical and new solids, Prof. Pasquale Giovine (Ed.),2012, ISBN: 978-953-51-0821-4, in tech, D01:10.5772/50477.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.