ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 3, с. 286-294
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ^^^^^^^^^^^^ В ПЛАЗМЕ
УДК 533.951
ДИСПЕРСИОННЫЕ СВОЙСТВА МАГНИТОАКТИВНОГО ПЛАЗМЕННОГО ВОЛНОВОДА В МАЛОЙ ОКРЕСТНОСТИ ВЕРХНЕЙ ГИБРИДНОЙ ЧАСТОТЫ. ЧАСТЬ I
© 2014 г. В. И. Щербинин*, В. И. Ткаченко*' **, Г. И. Загинайлов*' **, К. Шунеманн***
* Национальный научный центр "Харьковский физико-технический институт"НАНУ, Харьков, Украина ** Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, Харьков, Украина *** Technische Universität Hamburg-Harburg, Hamburg, Deutschland e-mail: vshch@ukr.net, tkachenko@kipt.kharkov.ua, genzag@yahoo.com, schuenemann@tu-harburg.de
Поступила в редакцию 23.07.2013 г. Окончательный вариант получен 22.10.2013 г.
Исследованы дисперсионные свойства магнитоактивного плазменного волновода в малой окрестности верхней гибридной частоты ю1 = (юр + ю|)1/2, частотном интервале < Ю < Ю>1 +8. Здесь численный анализ спектра собственных частот и структуры собственных полей волновода является затруднительным вследствие того, что одно из поперечных волновых чисел становится большим и стремится к бесконечности при приближении к верхней гибридной частоте. Показано, что эта проблема может быть решена путем преобразования дисперсионного уравнения к виду, не имеющему зависимости от этого поперечного волнового числа. Установлено, что дисперсионное уравнение может иметь решением верхнюю гибридную частоту. Изучено влияние параметров магнитоактив-ного плазменного волновода на свойства таких решений. Приведен анализ структуры полей для волн, частоты которых равны верхней гибридной частоте, а модуль одного из поперечных волновых чисел обращается в бесконечность.
DOI: 10.7868/S0367292114030081
1. ВВЕДЕНИЕ
Использование плазменных волноводов в задачах ускорения заряженных частиц и генерации мощного электромагнитного излучения требует знания спектров частот собственных волн таких структур. Присутствие магнитоактивной плазмы в волноводе существенно обогащает физику происходящих в нем волновых процессов. В этом плане ключевой является структура в виде гладкого металлического волновода круглого сечения, который полностью заполнен однородной магнитоактивной плазмой. Ее рассмотрение позволяет установить основные особенности дисперсионных свойств магнитоактивных плазменных волноводов, знание которых может существенно облегчить анализ более сложных и реалистичных плазмонаполненных структур в конечном магнитном поле.
Несмотря на то, что анализу этих особенностей посвящено немалое число публикаций, некоторые из них к настоящему времени остаются малоизученными. Это, с одной стороны, объясняется необходимостью прибегать к численным методам при исследовании дисперсионных
свойств магнитоактивных плазменных волноводов, с другой — неудобством их использования в некоторых частотных областях.
К таковым, в частности, относится малая окрестность верхней гибридной частоты ю1 =
2 2 1/2
= (юр + юв) (юр и юв — ленгмюровская и электронная циклотронная частоты). Здесь становится затруднительным численный расчет одного из двух поперечных волновых чисел, который является большим в этой области частот и стремится к бесконечности при приближении к верхней гибридной частоте [1—3]. Эти волновые числа, которые традиционно обозначаются к1 и к2 [4, 5], входят в аргументы цилиндрических функций, определяющих дисперсию собственных волн и структуру их полей.
В этой связи следует отметить, что гидродинамическая модель плазмы применима в случае гй/Ь <§ 1, где гА — дебаевский радиус, Ь — характерный масштаб изменения полей в плазме. Это условие неизбежно нарушается при стремлении к верхней гибридной частоте. Тем не менее, анализ волновых процессов в данной области частот и разрешение указанных трудностей в рамках гид-
родинамического рассмотрения также представляется интересным, поскольку такое рассмотрение значительно проще кинетического и может позволить продвинуться в понимании этих сложных процессов. Это подтверждается и предыдущими исследованиями данной частотной области [2, 3, 6—9], которые были выполнены также в рамках гидродинамической модели плазмы.
Вблизи верхней гибридной частоты, в интервале [юь +5), который далее будем называть
верхней полуокрестностью , поперечное волновое число к2 принимает большое мнимое значение [1]. Поэтому вместе с ним в рассматриваемой полуокрестности большими по модулю являются функции Бесселя, содержащие в аргументах к2. Их численный расчет при частотах, достаточно близких к ю1 (когда гидродинамическое приближение остается все еще справедливым для типичных параметров многих плазменных сред), становится невозможным, также как и численное решение дисперсионного уравнения магнитоактивного плазменного волновода. Вместе с тем, имеющиеся на сегодняшний день публикации [2, 6—9] указывают на возможность существования собственных волн плазменного волновода с такими частотами. К ним, в частности, относятся высокочастотные (ВЧ) ветви ЕН-волн (см. рис. 1, на котором ю — частота, к1 — продольное волновое число). Как известно [6, 7], наличие плазмы приводит к разделению дисперсионных кривых для ЕН (ТМ) мод на высокочастотные (ВЧ) и низкочастотные (НЧ) ветви, если частоты отсечки этих мод в отсутствие плазмы расположены ниже циклотронной частоты. При наличии плазмы эти частоты сдвигаются и выступают в качестве частот отсечки НЧ-ветвей. В то же время ВЧ-ветви упираются в верхнегибридную частоту, как бы обрываясь на ней (см. рис. 1). Исследованию таких мод в основном и посвящена настоящая статья. В [9] эти моды выделены в отдельную группу, как моды, не имеющие частот отсечки.
Стоит отметить, что волны вблизи верхней гибридной частоты могут представлять интерес для использования в плазменных гиро-приборах [10] и наблюдаются при различных вариантах заполнения круглого волновода магнитоактивной плазмой [8, 11], а также в планарных [12], коаксиальных [13] и эллиптических [14] плазменных волноводах. Поэтому исследование их дисперсионных свойств, проведенное в работе, позволяет
ш, 1010 с-1 7
к = к*
см
Рис. 1. Области вещественных, мнимых и комплексных значений при = 3х 1010 с-1,
= 4 х 1010 с-1, а также ВЧ- и НЧ-ветви ЕН±1 1-волн при Я = 4 см.
продвинуться в понимании общих волновых процессов, происходящих в этих структурах.
Для выяснения вопроса о существовании частот отсечки у ВЧ-ветвей ЕН-волн прежде всего важно установить, является ли верхняя гибридная частота решением дисперсионного уравнения или нет. Если нет, то тогда следует признать, что при ю = ю1 распространение волн в плазменном волноводе невозможно и дисперсионные кривые ВЧ-ветвей ЕН-волны должны претерпевать разрыв. Такое утверждение содержится в [9, 15]. Из него также следует вывод об уникальности ВЧ-ветвей ЕН-мод [9], которая заключается в обладании разрывными дисперсионными кривыми и в отсутствии у этих ветвей частот отсечки.
В случае же, если ю = ю1 является решением дисперсионного уравнения, дисперсионные кривые ВЧ-ветвей ЕН-волн являются непрерывными в окрестности верхней гибридной частоты (пересекая ее), а их частоты отсечки могут быть расположены в области частот ю < ю1. Такая возможность будет показана ниже.
2. ДИСПЕРСИОННЫЕ СВОЙСТВА МАГНИТОАКТИВНОГО ПЛАЗМЕННОГО ВОЛНОВОДА В ВЕРХНЕЙ ПОЛУОКРЕСТНОСТИ ВЕРХНЕЙ ГИБРИДНОЙ ЧАСТОТЫ
Рассмотрим гладкий цилиндрический волновод радиуса Я, полностью заполненный однородной холодной бесстолкновительной плазмой с неподвижными ионами. Волновод расположен
0
во внешнем магнитном поле В0 конечной величины, направление которого совпадает с осью волновода OZ.
В линейном приближении в цилиндрических координатах {г, ф, ¿\ для возмущений собственных полей волновода и плотности плазмы справедливо представление А(г, ¿) = = А(г) ехр(/ю? - ¿к, - ¿/ф). Тогда для компонент полей нетрудно получить выражения [4, 16]
Е, (г) = Е„ (г) + Е,2 (г) = АЛ (к,г) + А*Г, (к2г), (1)
14
i = 1
Е, (r) = --f-f х
a J (kr )-Pi Z-2-Jl (kr) _ r
где 2б1к122 = -(б1 + б3)х2 — к2е2 ± ст, а = (б3 - б1) х х ^(к, + к2)2 + 4к2к, (ю2 -юр«В, х2 = к, - &1к2,
а 1,2 = а1,2(®, к,) = (к,кб2)2 + X 2/>1,2, р1,2 = р1,2(ю, к,) = = (к2Х2 + к2Ь1Л), ¿1,2 = Ьи(ю, к,) = (бзХ2 + бк^Х <;4 = = х4 (1 - а)(1 + а), а = а(ю,к1) = -62к2/х2, б1 = = (ю2 - ®2)Дю2 - ©В), 62 = - ю рюВ/|ю( ю2 - ©В
63 = 1 - юр/ю2, ю1 = д/ю^р + юВ — верхняя гибрид/ 2 \1/2 ная частота, юр = 14пе ле/ше) — электронная
плазменная частота, юВ = еВ0 /шес — электронная циклотронная частота, е и те — заряд и масса электрона, пе — электронная плотность, к = ю/с — волновой вектор в свободном пространстве, А1 и А2 — амплитуды полей, связь между которыми устанавливается граничными условиями на идеально проводящей металлической поверхности волновода
(2)
Ez\ R = 0,
zlr = R '
E r = R = 0-
(3)
Исследуем дисперсионное уравнение (4) в окрестности верхней гибридной частоты, которая
удовлетворяет условию |ю2 - ю^юВ 1. При выполнении такого условия выражения для поперечных волновых чисел к1 и к2, входящих в дисперсионное уравнение, можно заметно упростить:
k2 =S3k - kf
k2 _ k20
; 2 , , 2 k + К
S1 S2 k2 — k2
(5)
(6)
е1 е1 е1
Из (5) и (6) следует, что в рассматриваемой области частот одно поперечное волновое число к1 изменяется непрерывно, в то время как второе к2 имеет особенность при ю = ю1 вследствие обращения е1 в нуль. Когда частота волны ю стремится
к ю1 снизу, величина к2 ^ +да. Поэтому при конечном кг в нижней полуокрестности верхней гибридной частоты функция Бесселя от вещественного аргумент к2 К, ее производная, их суперпозиция, а также функция Д(ю, к,) в (4) имеют бесконечное число нулей. Этим объясняется известный факт — существование в данной полуокрестности плотного спектра циклотронных НЕ-мод. Когда частота ю стремится к ю1 сверху,
к2 ^ -да. При этом цилиндрические функции от чисто мнимых аргументов к2К в дисперсионном уравнении (4) и к2г в выражениях (1), (2) неограниченно возрастают по модулю. Как видно из (6), за исключением точек прямой ю (к,) = ю1 поперечное волновое число к2 в окрестности верхней гибридной частоты изменяется непрерывно.
Используя (5) и (6), можно также упростить отношение, содержащихся в д
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.