ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 4, с. 352-358
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ
УДК 533.951
ДИСПЕРСИОННЫЕ СВОЙСТВА МАГНИТОАКТИВНОГО ПЛАЗМЕННОГО ВОЛНОВОДА В МАЛОЙ ОКРЕСТНОСТИ ВЕРХНЕЙ ГИБРИДНОЙ ЧАСТОТЫ.
ЧАСТЬ II
© 2014 г. В. И. Щербинин*, В. И. Ткаченко***, Г. И. Загинайлов***, К. Шунеманн***
* Национальный научный центр "Харьковский физико-технический институт"НАНУ, Харьков, Украина ** Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, Харьков, Украина *** Technische Universität Hamburg-Harburg, Hamburg, Deutschland e-mail:vshch@ukr.net, tkachenko@kipt.kharkov.ua, genzag@yahoo.com, schuenemann@tu-harburg.de
Поступила в редакцию 23.07.2013 г. Окончательный вариант получен 17.09.2013 г.
Исследованы дисперсионные свойства магнитоактивного плазменного волновода в окрестности
— 8 < Ю < Ю>1 верхней гибридной частоты ю1 = (юр + ю|)1/2. Показано, что здесь собственные волны плазменного волновода представляются в виде семейств ЕН- и циклотронных НЕ-волн, взаимодействие между которыми является малым везде за исключением окрестностей определенных точек на плоскости (ю, kz). Найдены уравнения, описывающие поведение дисперсионных кривых в этих окрестностях. Показано, что ВЧ-ветви ЕН-волн в результате взаимодействия приобретают частоты отсечки высших распространяющихся НЕ-волн. Установлено, что во взаимодействии с циклотронными НЕ-волнами также может участвовать анизотропная НЕ+Гволна. В этом случае ее дисперсионная кривая заходит в нижнюю полуокрестность верхней гибридной частоты, где испытывает модификацию в результате взаимодействия, а затем покидает ее.
DOI: 10.7868/S0367292114040088
1. ВВЕДЕНИЕ
Интерес к исследованию дисперсионных свойств плазменных волноводов связан с широким применением таких структур в технологических приложениях, включающих в себя генерацию и усиление СВЧ-излучения, а также коллективные методы ускорения заряженных частиц.
Одним из наиболее изученных является гладкий цилиндрический волновод, полностью заполненный холодной бесстолкновительной однородной плазмой, находящейся в конечном магнитном поле. Волнами в таком волноводе в общем случае являются гибридные НЕ- и ЕН-волны. Их дисперсионные кривые могут быть без труда идентифицированы по частотам отсечки, выражения для которых хорошо известны [1]. Исключение составляют высокочастотные (ВЧ) ветви ЕН-волн, частоты отсечки которых к настоящему времени не установлены (см. рис. 1, на нем ю — частота, кг — продольное волновое число, юр и юв — электронные плазменная и циклотронная частоты, соответственно).
Как показано в [2], в общем случае эти частоты отсечки не могут совпадать с верхней гибридной
частотой = ^юр + ю\; противоположное мне-
ние высказывалось ранее в [3]. Однако этот факт не доказывает высказанное в [2] утверждение об отсутствии частот отсечки у ВЧ-ветвей ЕН-волн. Как следствие, предпринятая в [2] попытка выделить эти ветви в отдельный класс волн из-за отмеченной особенности требует более строго обоснования. Таким обоснованием могло бы быть доказательство разрыва дисперсионных кривых ВЧ-ветвей ЕН-волн. Некоторые аргументы в пользу существования разрыва дисперсионных кривых плазменного волновода при условии ю = ю: можно найти, например, в [2] и [4]. Однако из результатов первой части данной работы [5], на которую далее будем ссылаться как на Часть I, следует, что дисперсионные кривые ВЧ-ветвей ЕН-волн при подходе к верхней гибридной частоте со стороны больших частот ("сверху") остаются непрерывными и включают в себя эту частоту. Поэтому возможен непрерывный переход этих кривых в область частот ю < ю1, где могут содержаться частоты отсечки ВЧ-ветвей ЕН-волн.
Проследить такой переход, используя только численные методы, не представляется возможным, поскольку в малом интервале (©! -5, ю^ вблизи верхней гибридной частоты — будем называть этот интервал нижней полуокрестностью ча-
стоты — дисперсионное уравнение при любом конечном имеет бесконечное число решений, сгущающихся к ш1в Это связано с наличием в дисперсионном уравнении цилиндрических функций от вещественного аргумента, принимающего в данной полуокрестности бесконечно большое значение (см. Часть I). В настоящей работе показано, что исследование поведения дисперсионных кривых в малой нижней полуокрестности верхней гибридной частоты можно упростить, зная некоторые особенности решений дисперсионного уравнения магнитоактивного плазменного волновода.
2. СЛАБОСВЯЗАННЫЕ СЕМЕЙСТВА ВОЛН В МАГНИТОАКТИВНОМ ПЛАЗМЕННОМ ВОЛНОВОДЕ
Как и в Части I, будем рассматривать гладкий металлический волновод круглого сечения с радиусом Я, который полностью заполнен однородной холодной бесстолкновительной плазмой с неподвижными ионами. Волновод находится во внешнем конечном магнитном поле, направление которого совпадает с осью волновода.
Дисперсионное уравнение для волн в рассматриваемом волноводе хорошо известно и неоднократно приводилось в литературе [1—3, 5—7]:
Дш, к,) = а2Ф/ (к2Я) 11(к1Я) --а^ / (кЯ )11 (к2 Я) = 0,
где Ф/ (х) = х1] (х) + Ш1 (х), // (х) - функция Бесселя 1-го порядка, остальные обозначения (введены ранее в Части I) суть а12 = а12(ш, к1) = (к1кг 2)2
2/ 2 , 72ч # 2 , 2 2 / 2 72 + X (ВзХ + ^1к1, 2), а = 2к /Х , X = К - 81к , 81 =
(1)
(ш2 -ш2)Дш2 -ш\),
8 2 = -ЫрЫв
ш2 -ш\)],
2 2 2 1/2 83 = 1 — шр /ш , шр = (4пе пе/те) , шв = еВ/тес,
к = ш/ с, с — скорость света в вакууме.
Исследуем решения дисперсионного уравнения (1) в тех случаях, когда один из коэффициентов уравнения а (/ = 1 или 2) по модулю много
меньше второго — а у (/ = 2 или 1) либо обращается в нуль.
Когда а = 0, уравнение (1) разделяется на независимые уравнения для поперечных волновых чисел
В( (ш, к,) = // (кЯ) = 0, (2)
В у(ш, к,) = Ф/ (к}Я) = 0, у ф I, (3)
и описывает дисперсионные свойства двух несвязанных семейств волн. Волны первого семейства характеризуются поперечными волновыми числами к = ц /, Я, второго — поперечными волновыми числами ку = у/, п/Я. Здесь 5 и у/? 5 ( = 1, 2...) — нули функций // (х) и Ф / (х), соответственно.
10 „—1
1010 с
— ЕН11
0 ЕН—1,] ^к? > 0 ^к22> 0 11111111^ = к2
—1
к^ см
Рис. 1. Области существования различных типов волн
при = 3 х 1010 с—1, юв = 4 х 1010 с—1, а также ВЧ- и НЧ-ветви ЕН±1 рволны при Я = 4 см.
Примером несвязанных семейств волн являются решения дисперсионного уравнения (1) при к = 0, когда а1 = 0 [8]. В этом случае (/ = 1, / = 2) решениями уравнений к1 = ц/,8/Я и ку = у/, п/Я относительно ю являются частоты отсечки ТМ/ 5 (ЕН/? и ТЕ/, п (НЕ/? п) волн, соответственно, см. [1]. Другим условием, при котором дисперсионное уравнение (1) сводится к независимым уравнениям
(2) и (3), является условие ю = ю1 при кг Ф 0 (см. Часть I). В этом случае в нуль обращается величина а2.
Рассмотрим частоты ш(к,) волн плазменного волновода, для которых |аау| < 1. При этом условии данные волны можно отнести к двум слабосвязанным семействам волн. Для случая кг < к,
когда |а^а2| < 1 (/ = 1,/ = 2), такое представление для волн магнитоактивного плазменного волновода было предложено в [6]. Слабосвязанными также следует считать волны, для которых выполняется
условие | 8^ к2 < к,, где 81 = (ш2 -ш2)Дш2 -шВ).
Как показано в Части I, для них |а 2/а 1 < 1 (/ = 2, / = 1).
Слабосвязанные волны преимущественно характеризуются одним поперечным волновым числом, а их дисперсионные кривые почти всюду близки к решениям дисперсионных уравнений к1) = 0 и Д(ш, к1) = 0 для несвязанных волн. Исключение составляют лишь окрестности совместных решений этих уравнений, где связь волн, принадлежащих различным семействам, не явля-
0
ется малой, а их дисперсионные кривые перезамыкаются [6].
Независимо от величины а1 и а2 нетрудно установить на плоскости (ю, kz) области, в которых могут существовать такие совместные решения при заданных юр и юн. Имя являются области,
удовлетворяющие неравенствам k]2 > 0 и k22 > 0. Необходимость выполнения этих условий для совместных решений уравнений (2) и (3) связана с вещественностью нулей функций Jl(x) и Ф,(x). Исключение может составлять первый нуль функции Ф, (x) [9]. Его рассмотрение выходит за рамки данной работы.
Одна из областей, в которых оба поперечных волновых числа являются вещественными, расположена в частотном интервале min (юр,юB) < ю < ю1 (см. рис. 1).
Найдем условия, при которых уравнения (2) и (3) имеют совместные решения в данной области. Следуя [7], нетрудно показать, что решения, для которых kj = ц,, S/R и kj = у,, „¡R, могут существовать только для s, удовлетворяющих условию
R >Vi,scl®B, (4)
когда i = 1, j = 2, либо n, удовлетворяющих условию
R >Yi, rfl®b , (5)
когда i = 2, j = 1.
Условия (4) и (5) определяют конечное число решений уравнения Д(ю, kz) = 0, которые попадают в частотный интервал min (юp, юв) < ю < ю^ На плоскости (ю, kz) эти решения имеют вид кривых. Точки одной такой кривой, имеющие фиксированное значение k1, различаются между собой величиной k2. Поэтому системе уравнений (2) и (3) могут удовлетворять несколько из этих точек [7].
Условие (4) совпадает с условием, при котором частота отсечки ЕН,^-волны находится ниже верхней гибридной частоты ю1. Как отмечалось в Части I, при выполнении этого условия ЕНг, s-волна имеет ВЧ- и НЧ-ветви.
В случае, когда условия (4) и (5) не выполняются при s, n = 1, уравнения (2) и (3) не могут иметь совместных решений в частотном интервале min (юp, юB) < ю < При этом дисперсионные кривые слабосвязанных волн, которые попадают в данный частотный интервал и для которых |аjjаj <§ 1, будут близки к линиям D2(®, kz) = 0. То есть для данных кривых связью волн можно пренебречь.
Наличие совместных решений уравнений (2) и (3) приводит к необходимости учета связи волн вблизи этих решений при сколь угодно малом значении |а ¡/ а j |. Рассмотрим поведение диспер-
сионных кривых слабосвязанных волн в одной из таких ситуаций.
Обозначим (ю0, кф) одно из совместных решений (2) и (3), для которого к1 = ц, 5/Я и к] = у,, Я. Учитывая, что около этого решения
к, = Н, /Я + Ак1, (6)
к) =у ,1Й/Я + Дк;, (7)
и ограничиваясь рассмотрением пары значений
(ю0, kz0), для которой |а¡/ аj < R|Дku
min (ц,, s, у
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.