МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 6 • 2014
УДК 532.6
ДИСПЕРСИОННЫЕ СВОЙСТВА ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ, ПОКРЫТОЙ УПРУГОЙ ПЛЕНКОЙ
© 2014 г. Е. Л. АВЕРБУХ*, А. А. КУРКИН*, Ю. А. СТЕПАНЯНЦ*'**, Т. Г. ТАЛИПОВА*
* Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева, Н.-Новгород **Университет Южного Квинсленда, Тувумба, Австралия е-mail: aakurkin@gmail.com
Поступила в редакцию 16.05.2014 г.
Выведено линейное дисперсионное соотношение для волн на свободной поверхности бесконечно глубокой вязкой жидкости, покрытой упругой пленкой поверхностно-активного вещества. Решения дисперсионного соотношения изучены в широком диапазоне изменений вязкости жидкости и упругости пленки. Подробно рассмотрена динамика моды Марангони, обусловленной наличием упругой пленки. Найдены значения модуля упругости пленки, соответствующие волновым движениям в жидкости, а также движениям, монотонно затухающим во времени. Определены значения параметров упругости и вязкости, при которых качественно меняется характер движения жидкости.
Ключевые слова: поверхностно-активные вещества, дисперсионное уравнение, гравитационно-капиллярные волны, волны Марангони.
Пленки поверхностно-активных веществ на поверхности вязкой жидкости играют значительную роль в ее динамике [1—4], в основном меняя структуру течений в пограничных слоях [5]. За счет этого поверхностно-активные вещества (ПАВ) существенно изменяют свойства поверхностных гравитационно-капиллярных волн, способствуя их более быстрому затуханию, а также приводят к возникновению нового типа волновых движений — так называемых волн Марангони. Основополагающие работы по исследованию дисперсионных свойств волн на поверхности вязкой жидкости, покрытой упругой пленкой, были выполнены Лэмбом, Левичем, Доррестейном [6—8]. С помощью теории возмущений исследовались затухающие гравитационно-капиллярные волны на поверхности маловязкой жидкости. Существование второго возможного типа колебаний в системе пленка—жидкость показано в [9, 10]. Это движение представляет собой упругие волны в пленке — волны Марангони, сопровождаемые также колебаниями приповерхностного пограничного слоя жидкости. Эти волны являются практически продольными волнами. Влияние волн Марангони на коэффициент затухания гравитационно-капиллярных волн через резонансное взаимодействие обеих мод часто обсуждалось в литературе (см., например, монографию [11]). В связи с вопросом о возможных пересечениях дисперсионных кривых возникла потребность тщательного их рассмотрения.
В теоретических работах по исследованию свойств волн Марангони [9, 10, 12] обычно проводится анализ дисперсионных свойств волн для маловязкой жидкости, причем практически во всех моделях налагаются определенные ограничения на модуль упругости пленки. В этих предположениях удается получить аналитические выражения для дисперсионных зависимостей обеих мод в некотором ограниченном диапазоне значений вязкости и упругости, тогда как для произвольных значений этих па-
ди _ -1 д-Р + у| рдх 1 д2и
дг ~ удх + д?2 J
дм _ :-1 дР + у| рд? | д 2к + д 2к
дг ~ 1дх 2 д?,2
ди + ^ _ о д?
дх
раметров дисперсионное уравнение до сих пор не рассматривалось. Движение частиц в волнах Марангони для маловязких жидкостей и не слишком больших упругостях пленок описано в [9, 13].
В настоящей работе выведено дисперсионное уравнение для волн на поверхности вязкой жидкости, покрытой упругой пленкой, без ограничений на значения коэффициентов вязкости и упругости; численно исследованы решения дисперсионного уравнения в безразмерной форме при различных режимах течения.
1. Дисперсионное уравнение. Следуя работам [6, 7], приведем вывод линейного дисперсионного уравнения для волн на поверхности бесконечно глубокой вязкой жидкости, покрытой пленкой ПАВ. Запишем основные уравнения гидродинамики в линейном приближении
(1.1)
где u, w — горизонтальная и вертикальная компоненты скорости жидкости; p — давление; р — плотность жидкости; g — ускорение свободного падения; V — коэффициент кинематической вязкости. Ось z направлена вертикально вверх.
Обозначим через t:(x, 0 волновое возмущение свободной поверхности жидкости над уровнем z = 0 и запишем следующие граничные условия в линейном приближении [6, 7].
Кинематическое граничное условие
§ = =о (1.2)
дг
Динамические граничные условия равенства нормальных и тангенциальных напряжений на поверхности z = 0
_ р + = ^ди+д^| = Е^ (13)
р д? рдх2' \д? дх) рдх
Условие баланса органического вещества на поверхности z = 0
д1 + ди = 0 (1.4)
дг дх
Здесь Е = -Г0й?а/йГГ|г=Го — модуль упругости пленки, ст — поверхностное натяжение жидкости, Г0 — невозмущенное значение концентрации пленки на поверхности жидкости, предполагаемое величиной постоянной, у = ДГ/Г0, где ДГ — возмущение концентрации ПАВ.
Предполагается, что все возмущения убывают при удалении от свободной поверхности в глубь жидкости.
Решение системы уравнений (1.1) с граничными условиями (1.2)—(1.4) будем искать в виде гармонической волны частоты ю, состоящей из потенциальной и вихревой компонент
и = (1кЛвк1 - ¡Св1 )еикх-ш)
w = (кЛек' + 1кСек )е1(кх-а ° (1.5)
А к1 ¿(кх-ю Л
р = 1р<$Ле еу - рgz
2 2
где I = к - ;ю/у— волновое число вихревой компоненты волны, к — волновое число потенциальной компоненты волны, А и С — произвольные постоянные.
Заданной величиной в этих формулах можно считать либо волновое число к, либо частоту ю. В первом случае частота ю будет в общем случае комплексной величиной, определяемой из дисперсионного уравнения. Во-втором — комплексное волновое число к находится из дисперсионного уравнения. Далее считаем к заданной действительной величиной.
Поскольку рассматривается поверхностная волна, убывающая в глубь жидкости, то полагаем Яе/ > 0. Исключая у из уравнений (1.3) с помощью условия (1.4), а затем, подставляя в граничные условия (1.2) и (1.3) решение (1.5), после несложных преобразований получим алгебраическую систему уравнений относительно произвольных постоянных А и С
Л Г/ - 1 + -0 4 + 2у3 - 2у ^ 2 8 ; +1с §——— = о
Л (*- 2+Х) с(у' -1+-2у) 0
2 л С 2 л = 0 у - 1 у - 1
Здесь |0| = vk2/ю0 — безразмерный параметр вязкости жидкости, пропорциональный обратному числу Рейнольдса; ю0 = ^ gk + к3с/р — частота гравитационно-капиллярных волн в отсутствие вязкости и пленки ПАВ; % = Ек3/(рю2) — безразмерный параметр упругости пленки; у = //к — отношение вертикальных масштабов вихревой и потенциальной частей волны.
Система уравнений (1.6) в размерных переменных приводится в [6], где приведены также приближенные решения этой системы. Ниже с помощью численных расчетов исследуем полные решения этих уравнений в широком диапазоне определяющих параметров.
Приравнивая нулю определитель системы (1.6), находим уравнение для определения безразмерного вихревого волнового числа у, содержащего два безразмерных параметра — 1/92 (квадрат волнового числа Рейнольдса) и %/92
Л , 1Ч2
4,-2. . . 1
у + 2у - 4у +1 +
е
1 + ^-2 (1.7)
V е2(у - 1)(у +1)2) е2(у +1)2
Находим из этого уравнения сначала у при заданных значениях параметров, а затем частоту ю по формуле ю = ;9ю0(у2 — 1). Отношение параметров упругости и вязкости называется числом Марангони М^ = х/92, представляющим собой следующую комбинацию физических величин М§ = Е/ру2к. Несмотря на явно выделенные параметры — квадрат числа Рейнольдса и числа Марангони в уравнении (1.7), удобнее рассматривать это уравнение в терминах более физических параметров — обратного числа Рейнольдса 9, представляющего собой отношение вязкого декремента затухания к частоте волны, и параметра упругости %.
Фиг. 1. Нормированные дисперсионные зависимости ю/ю0 как функции параметра вязкости 0: 1, 2 — % = 0, 0.01
2. Дисперсионные свойства волн. Гравитационно-капиллярные волны на поверхности маловязкой жидкости. При х = 0, т.е. в отсутствие пленки, уравнение (1.7) переходит в известное дисперсионное уравнение гравитационно-капиллярных волн на поверхности вязкой жидкости [6, 8]
у4 + 2у2 - 4у + 1 + -1 = 0 (2.1)
0 2
Тщательный анализ соответствующего дисперсионного уравнения, сводящегося к уравнению (2.1), приведен в [14] . На фиг. 1 линиями 1 представлена универсальная зависимость ю/ю0 от параметра вязкости 0, пригодная для анализа дисперсионных свойств любых жидкостей. Отметим, что в точке бифуркации 0* = 1.31 гравитационно-капиллярное движение полностью утрачивает колебательный характер, при этом возникают две ветви монотонно затухающих движений с разными временами затухания.
Анализ дисперсионного уравнения для гравитационно-капиллярных волн на поверхности маловязкой жидкости в присутствии пленки ПАВ с произвольным модулем упругости приведен в [6]. Там найдена поправка к частоте и декремент затухания волны в присутствии пленки, однако пропущен максимум декремента затухания, который был обнаружен позднее в работах [7, 15—17]. Многие авторы связывают этот максимум с резонансным характером взаимодействия двух мод — гравитационно-капиллярной моды и моды Марангони при определенном для каждого волнового числа значении модуля упругости пленки. Подробное обсуждение этого эффекта дано в работе [18] и монографии [11].
Волны Марангони на поверхности маловязкой жидкости. Из уравнения (1.7) с помощью другого предельного перехода, когда параметр вязкости 0 ^ 0, а х/02 остается конечной величиной, можно выделить дисперсионное уравнение, описывающее только продольные волны в пленке в подлежащем пограничном слое жидкости
у 3 + у 2 _ у _ 1 + х / 0 2 = 0
(2.2)
1
Яе(у) 0
1
■2
3
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
х/е2
Фиг. 2. Зависимость реальной части безразмерного вихревого волнового числа от параметра упругости
В предположении х/02 > 1 и х < 1 уравнение (2.2) легко решается
Решение (2.3) было найдено в работах [9, 10, 12], где также неявно предполагалась малость параметра упругости х < 1. Например, для возмущений на поверхности воды с волновым числом к = 10 см-1 (соответствует диапазону оптических анализаторов спектра) это требование приводит к следующему ограничению на модуль упругости пленки Е < 80 дин/см. Известно [19], однако, что пленки ПАВ мо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.